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1、第六章 ARIMAX模型一、ARIMAX模型的概念有时考虑其它序列对一个时间序列的影响，如太阳黑子对某地区降雨量的影响，石油价格对股价的影响。带有输入序列的一般ARIMA模型也称为ARIMAX模型。Box和刁锦寰提出ARIMAX模型。例子 1)9.11事件对道琼斯指数的影响 2）广告对销售量的效应 3）美国月批发物价指数对零售价指数的影响 4）1960年前后时间X1、冬季X2、夏季X3对臭氧数据Yt）固有股减少X1、道琼斯指数X2、石油价格X3对上证指数数学模型设，是时间序列，（i=1,k） 其中，称为传递函数模型，称为输入因子（干预因子），称为输出因子。Xt(1)Xt(2) xt(k).注：
2、为减少参数个数，通常考虑简化为：其中（i=1,k）= 称上述模型为ARIMAX模型，又称为带有干预序列的ARIMA模型或动态回归模型。这个模型把相应序列表示为随机波动的过去值和其它序列（称为输入序列）的过去值的结合。响应序列也称为相依序列或输出序列，输入序列也称为独立序列或预测因子序列。二、两个独立滑动平均过程之和它是阶数分别为的两个独立平均过程之和即均是均值为零的白噪声且相互独立记可得的自相关函数当时为零故可表示成阶的单一滑动平均过程 为零均值白噪声（证明可参考Hamiton 时间序列分析）三、附加噪声对一般模型的影响考虑ARIMA 设本身不可观测，只能观测到 表示有关的附加的噪声，则对有若
3、对有即 则有 四、带有回归项和时间序列误差的模型 为解释变量，而误差是一个ARMA（p,q），生成。该式可以写为：。在传统模型中我们有，的最小二乘估计为，并具有性质。但在自相关误差的情形下，这种性质不再成立。此时最小二乘估计的 协方差阵为。因此一般的样本性质和统计推断的 方=1法，如关于估计的通常标准差公式，t-统计量及置信区间等就不再有效。例：，的子协方差为。的最小二乘估计为，它的方差为：如果模型中误差为不相关的，我们会取，而这会引起明显的错误推断。当对时间序列数据拟合回归模型时，总是需要考虑误差项存在自相关的可能性的。通常，对于误差识别一个恰当模型的可行方法是首先得出最小二乘估计，然后再得
4、到相应的回归模型的残差这个残差序列可以用通常的时间序列方法来考察，这样可以对误差项建立一个实验性的模型。是渐近最优的，由此计算的自相关、偏相关等也是渐近最优的。而一般最优的线性估计，也称为广义最小二乘估计为。在实际中，根据噪声项确定具体的ARMA模型，可以确定协方差的具体形式，并可找到一个下三角阵，使得。令得到广义最小二乘估计为。因为的时间序列模型中的参数是未知的，所以必须在计算和极大似然估计以及模型中的参数之间迭代。（BOX JENKINS p415-420）三、 附加噪声的传递函数模型干扰或噪声和的水平独立，且添加到有关的影响上，它们可以写成干预序列如果噪声模型可以用ARIMA(p,d,q
5、)过程表示这里是白噪声，则模型最终可以写成：互协方差和互相关系数一般地，一个双变量随机过程无须是平稳的，但适当进行差分后的过程是平稳的，这里。一般，但称之为互协方差，和互相关系数一般，它关于不是对称的。（P470）互协方差和互相关的估计假设对原始的输入输出序列作了d次差分后有n=N-d对数值，那么滞后k互协方差系数的估计值为：传递函数模型的识别对预白噪化输入的传递函数模型的识别如果系统的输入是白噪声，则识别过程将很大程度被简化。假设适当差分后的输入过程是平稳的，并且可由ARMA模型来描述，那么可以对用通常的识别和估计方法得到一个模型：该式把相关的输入序列转化为非常接近不相关的白噪声。同时我们可
6、以由的平方和得到的估计。如果我们对使用同样的变换得到：则原模型可以写为：其中转换后的噪声序列有将上式两边同时乘以并取数学期望，我们得到：于是因此，将输入白燥化后，在白燥化输入和经相应变换的输出之间的互相关函数直接与脉冲相应函数成正比。在实际中我们并不知道理论互相关函数，故我们可以用其估计量替代：噪声模型的识别假设模型可以写成（如果必要，做适当的差分之后）用前面所述方法给出传递函数的初步估计后，噪声序列的估计由下式得到：还可以用初步识别所确定的试用传递函数模型来替代。于是的计算：先通过写为递推计算出，然后由计算噪声序列。噪声的识别还可以利用经过白燥化后的输入和输出的相关函数来进行，即按照下列方法
7、进行。假如输入可以被完全白燥化，如果可以找到一个随机模型，那么由上式可以对，从而对导出模型。记，便有，同时由于给出了独立性的假设，从而也独立。由此计算得到模型识别后可以用条件平方和法进行参数的计算。干预模型其中 代表干预事件的影响是噪声它表示在没有干预影响时序列的变化一般可设是一个ARIMA（p,d,q） 即干预序列分为脉冲式干预序列和持续式干预序。列。脉冲式干预序列：持续式干预序列：一般有两种通用的形式 它表示在时刻T之后干预的影响仍保留下去的情形 它可表示暂时或瞬间干预的影响干预分析模型可表示为+持续式干预序列需预白噪声化，即先将干预序列拟合ARIMA模型。预白噪声：用途：对非脉冲干预因子
8、，有可能计算机不好计算估计干预因子对应的传递函数的推移算子有关附加异常值与新息异常值模型1设ARIMA（p,d,q）若在时刻T附加异常值，则有称之为附加异常值模型 （AO Model）2新息异常值（IO）模型= 统计诊断引论韦博成 东南大学出版社第三节 SAS实现计算一、差分输入序列的差分由CROSSCORR=选项来指定，并且如同相应序列的差分那样工作。例如Identify=var=y(1) crosscorr=(x1(1) x2(1)表示对Y作一阶差分，对X1,X2作一阶差分，在随后的ESTIMATE语句中，任何在INPUT=选项中用到X1和X2时，这些名字指差分序列。二、使用输入序列为了使
9、用输入序列的过去值和过去误差，你也可以使用被称为输入序列的其它序列的当前和过去值来对响应序列建模。此时要在identify语句中。的crosscorr=选项中列出输入序列，并在随后的ESTIMATE语句中用INPUT=选项说明它们是如何进入模型的。Proc arima data=a;Identify var=sales crosscorr=price;Estimate input=price;本例使用一个称作price的序列来帮组对sales建模。执行了一个sales关于price的简单线性回归，生成和proc reg过程相同的结果。由这些语句所得出的估计模型的数学形式为：模型中可以使用任意多
10、个输入变量，例如：Proc arima data=a;Identify var=sales crosscorr=（price income） ;Estimate input=(price income);由这些语句所得出的估计模型的数学形式为：三、延迟和差分输入序列proc arima data=a; identify var=sales(1) crosscorr=price(1); estimate input=( 1 $ price ); run;这些语句给出估计模型其中price的一阶滞后由input=( 1 $ price ).说明。四、带ARMA误差的回归可以把输入序列与关于误差的A
11、RMA模型结合起来。建立回归模型，但回归模型的误差（噪声序列）假定是一个时间序列模型。 proc arima data=a; identify var=sales crosscorr=(price income); estimate p=1 q=1 input=(price income); run;这些语句给出估计模型：五、平稳性和输入序列注意到噪声序列的平稳性，如果没有输入变量，那么响应序列（在差分或减去均值后）和噪声序列相同，但是如果存在输入，则在输入的影响消除后，噪声序列变为残差。对于输入序列并没有平稳性的要求。 如果输入非平稳，那么响应变量也是非平稳的，尽管噪声是平稳的。当使用输入序
12、列时，你可以首先不假定误差为ARMA模型的情况下拟合输入变量，然后再对噪声部分拟合一个ARMA模型前考虑一下残差的平稳性。识别带有ARMA误差的回归模型对于ARIMA模型可以用identify语句进行识别。当响应序列依赖于输入变量时，这种识别过程并不适用。这是因为我们需要拟合一个ARIMA模型的噪声过程；并且当包括输入序列时，均值调整后的序列不再是噪声序列的一个估计。然而，如果输入序列独立于噪声序列，你可以使用来自回归模型的残差作为噪声序列的估计，然后对此残差序列应用ARIMA模型识别过程。通常此时我们假定噪声过程是平稳的。ESTIMATE语句中的PLOT选项为模型的残差生成与IDENTIFY
13、语句为响应序列生成的一样的散点图。PLOT选项打印出 残差序列的自相关、偏相关和逆相关系数图。下列语句演示了识别带回归变量，噪声过程为ARMA(1,1)模型 proc arima data=a; identify var=sales crosscorr=(price income) noprint; estimate input=(price income) plot; run; estimate p=1 q=1 input=(price income) plot; run;此例中，IDENTIFY 语句包括NOPRINT选项是因为响应变量的自相关图在序列依赖于输入变量时是没有什么作用的，所以
14、不显示出来。第一个ESTIMATE语句拟合了不带噪声的回归模型。平且该语句中还用PLOT选项生成了对于pricehe 和income回归的残差的自相关、偏相关和逆相关系数图。通过PLOT选项的残差输出，你可以确定残差序列的平稳性，并识别出是个ARMA(1,1) 。第二个ESTIMATE 语句拟合最终的模型。尽管这些讨论的是带回归模型，同样的耶适用于包括复杂的传递函数作为输入序列的，噪声为ARIMA模型的识别。六、干预模型和中断时间序列脉冲干预干预可以是一个单一时间事件。例如你想了解一个短期广告攻势对一种产品的销售量的影响。此时，输入变量在某时刻为1而在其它时间为0。这类干预变量也称为脉冲函数。下列语句假设 SALES 是月度数据，一个广告是在 March 1992。下列语句假设saless是ARMA(1,1)。估计干预的效果。 data a; set a; ad = date = 1mar1992d; run; proc arima data=a; identify var=sa
