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1、书 山 有 路第二章 Langevin方程与数值模拟问题：系统的作用量或Hamiltonian量为S平衡态分布为，（这里温度已吸收到S）。假设系统时处于一初始状态系统如何演化至平衡态？如果初始状态不是平衡态，这便是一个驰豫动力学过程。如果初始状态是平衡态，这是平衡态的动力学涨落问题。第一节 单自由度的Langevin方程和Fokker-Planck方程Langevin方程对固定 这里的 t 通常也是介观时间。 如果没有随机力，平衡态为，即能量取极小值。如果存在随机力，体系会被推离能量极小，处于某种能量较高的平衡态。例如：布朗运动 花粉在液体中的运动一维解如如，这便是随机行走。在布朗运动的方程中
2、加入自身的相互作用可以理解为广义的Langevin方程。设想这一方程是真正的微观运动方程，对时间做某种介观的平均，常常加速度的项可以忽略。 由于随机力的存在，Langevin方程有他的复杂性，因为我们必须考虑对随机力平均带来的奇异性。为了简单起见，我们对时间分立化在数值模拟中应用较直观，Z =Langevin方程令 方程的解 是随机变量，在数值模拟中给定初始值还不确定，与随机力有关。也就是说，在t时刻，x 遵从一个分布。物理量的平均值问题：的含义？答：必须对t之前的所有随机力做平均。 又 这里做分步积分时，假设另一方面Fokker-Planck方程显然 思考题：试讨论为平衡态的条件第二节 多自
3、由度的Langevin方程和自由场这里是空间指标时空分立化 关于Kernel 练习：推导F-P方程，证明平衡态为。自由场动量变换关于Kernel的作用 Kernel不改变平衡态，但可以改变动力学演化过程。e.g.如 ，演化极慢，我们可取，则这主意似乎可应用于解决临界点附近的临界慢化问题，称为Fourier加速法。但在有相互作用时，如何选取可以达到“加速”的目的，是重合悬而未决的问题。第三节 Langevin方程的路径积分表述 生成泛函对的微商，可以得到任何物理量的平均值。恒等式对单自由度如果 只有唯一解这恒等式对任意成立。作积分变换 在积分号内， 是 的任意函数。 但积分后，由于 函数的作用，
4、 取 的解。关键：令，则积分后为Langevin方程的解。i.e.由于函数的存在，这里的可以看成和无关。引入辅助场玻色场，费米场第四节 复Langevin方程自然延拓 注意:保持为实数。问题：这样的Langevin方程是否给出平衡态分布?引入复分布，令注意：这里为实数练 习形式上不难推导 假设当 似乎也有平衡态 作相似变换 注意：在类似于量子力学的框架下，定义内积 则假设为实函数，则为正定算符 设假设 的基态没简并0,0但是，如果为复函数，失去正定性，可以小于零，情形变得不确定。第五节 动力学临界现象和临界慢化设描述的平衡态处于二级相变点（临界点）附近Langevin方程描写的动力学行为是一种
5、动力学临界现象。当然，也存在没有平衡态的动力学临界系统，即动力学二级相变系统。更广义的动力学临界现象包括自组织临界现象等。动力学临界现象的特征行为是发散的关联时间和动力学标度形式。例如，定义假设足够大，二、三十年前人们便发现， 为相变温度:称之为动力学临界指数，：任意标度因子动力学标度形式代表一种自相似性，这一自相似性具有普遍意义。例： 把的单位“恰当”地改一下，后果只是把M的单位改一下（相似性）令 除了一个相似因子只与 有关，平衡态的空间关联长度，所以 所以，应当代表一空间标度。事实上，它是t时刻的空间关联长度。 空间单位的改变，仅导致M的单位的改变！ 动力学标度形式可用重整化群方法导出,而
6、且可以推广重有限尺度体系。足够大，足够小。但是，重整化群方法的结果只能与实验或准确结果定性比较。当然，我们可以数值求解Langevin方程，但运算量太大，特别是当时，由引起的误差难以控制。一般相信，Monte Carlo动力学和Langevin动力学处于同一普适类。 MC模拟可以给出较好的定量结果。但是，MC模拟仍受临界慢化的困扰。时间关联函数 ，足够大 包括随机力平均和对平均， 称之为关联时间* ，当， 标度形式的物理基础* ，当 ， 临界慢化 无法获得独立的自旋构形，这不仅仅困扰动力学MC模型，而且困扰平衡态MC模型， 这称之为临界慢化。设假设当然显然，指数上的b的因子必须自身抵消掉 思
7、考 题为什么 传统的测量的方法两难境地：要测准，需要大 但当大，临界慢化。第六节 Ising 模型的Monte Carlo模拟Ising model称之为哈密顿量，代表能量置于格点上，例如正方格点为外磁场 对随机状态有序状态 极小当体系和大热源接触达到“平衡”时，遵从正则分布物理量的平均值 归一化常数 配分函数对MC模拟，可以给予概率分布的意义。引入恰当随机过程，产生一系列自旋构形当足够大时，遵从分布例格点尺度关键：构造算法各态历经细致平衡单自旋翻转法每次只试图改变一个自旋的值，称迭代顺序扫描法按规则依次迭代点阵上所有自旋Heat-bath algorithm选定，取注意：这一算法的跃迁概率与
8、的值无关！这与Metropolis的方法不同。的能量的能量由于每次只迭代一个自旋，与无关的自旋的能量不必计算。设 各态历经是显然的。细致平衡练习：构造Metropolis算法构造二自旋迭代的Heat-bath和Metropolis算法在计算机上实现Heat-bath的算法选定计算产生随机数，均匀分布如果否则01 概率磁化强度及其次矩1当 是二级相变点，亦称临界点，临界点附近的现象称临界现象，特征标度行为为任意标度因子验证：对有限尺度体系普适性只与对称性和空间维数有关。我们的任务：测量在有限体系测量的方法Binder cumulant当 MC方法*计算机上的实验*可以逼进准确解普适标度行为关联系
9、统的普遍规律过去几十年留下的重要概念之一以标度行为基础，可测量广泛应用于自然和社会第七节 短时临界动力学问题1. 如何解决临界慢化困难？杰出的工作：Cluster方法 非局域的迭代方法局限性 不能研究定域的动力学 不能任意推广例如：无序系统 格点规范理论问题2. 当不太大，甚至相当小时，是否存在普适的标度行为？传统答案不存在近十年的答案存在并且，可以给出问题1的一种答案，原则可以应用于任何体系。关键：*区分微观和宏观时间标度*认真对待宏观初始条件初始条件很小对Ising model或理论，磁化的次矩Janssen等人，1989年 展开 微观足够大特征行为1、足够小 有趣，几乎总有 磁化的初始增加。2、 回到1、的结果 t0 幂次行为被修正 t=0 寻找幂次行为最好的温度， t0即得到，曲线的斜率即 。 3、 4、时刻的空间关联函数 足够大 在指数上，空间标度维数为零。设 应有 当不太大时，之间的空间关联长度不太大。 定出 5、 足够大可能会涨落大取 : 取正确的z，优点：涨落小缺点：会有有限尺度效应小结：初始条件 ， 23
