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1、 理论力学教程 第三版 周衍柏 编 高等教育出版社 1 0 1力学的研究对象 力学 mechanics 的研究对象是机械运动 mechanicalmotion 经典力学研究在弱引力场中宏观物体的低速运动力学 运动学 静力学 动力学 Natureandnature slawlayhidin night Godsaid letNewtonbe Andallwaslight 2 理论力学与普物力学的关系 理论力学是力学的延续与提高主要的概念和定律一样理论力学用高等数学方法处理物理问题分析力学 3 理论力学的任务 研究物体机械运动的一般规律 理论力学的研究对象有限个自由度的力学体系 质点刚体 两个模型
2、 4 理论力学研究的条件 宏观低速下 质量不变 绝对时间 绝对空间 5 v c 物体的尺度 原子 分子尺度 理论力学的学习 预备知识 普通力学 高等数学以公理 定律为依据 应用数学推演的方法导出其他定理和结论偏重于问题的提出 求解严格基础训练 强化现代技术应用注重问题的延拓分析培养科学精神 6 科学是一种方法 它教导人们 一些事物是怎样被了解的 什么事情是已知的 现在了解到什么程度 因为没有事情是绝对已知的 如何对待疑问和不确定性 证据服从什么法则 如何去思考事物 做出判断 如何区别真伪和表面 理查德 费曼 现象 参考书 梁昆淼 梁昆淼 赵凯华 卢德馨 力学 力学 力学 上册 第四版 高等教育
3、出版社 2009 下册 第四版 高等教育出版社 2010 第二版 高等教育出版社 2004 大学物理学 第二版 高等教育出版社 2003 7 0 2 理论力学的内容结构 矢量力学 即牛顿力学 分析力学 矢量力学是以牛顿运动定律为基础 从分析质量和物体受 力情况 由此探讨物体的机械运动规律 在矢量力学中 涉及的量多数是矢量 如力 动量 动量矩 力矩 冲量等 力是分析力学中最关键的量 分析力学以达朗贝尔原理为基础 从分析质量和质量系能量情 况 由此探讨物体机械运动规律 分析力学中涉及的量多数是标量 如动能 势能 拉格朗日函数 哈密顿函数等 动能和势能是最关键的量 8 0 3 力学简史 牛顿力学的建
4、立 在哥白尼 日心说 推翻了托勒密的地心说 和在第谷布拉赫积累的天文观察资料基础上 开普勒发现了行星三定律 总结万有引力定律 牛顿总结了三定律 自然哲学的数学原理 1687 分析力学 1788 拉格朗日力学建立 至此认为力学天衣无缝 近代力学 19世纪末 20世纪初出现了经典力学无法解释的矛盾 1 高速 与c比 相对论 爱因斯坦 2 微观粒子 量子力学 薛定谔 3 纳米技术 0 1 100nm尺度起关键作用 原子直径10 10m 人头发10 4m 人100m 9 0 4 力学单位制 物理理论组成 概念 概念的数学表示假定 方程组 物理量的关系 单位制通过以下步骤建立 选出几个相互独立的物理量作
5、为基本量 选取可以直接测量的物理量 通常基本量都是 1 由物理规律或定义推出用基本量表示的其他量 导出量 的关系式 称为导出关系式 确定出基本量的单位 基本单位 力学常用基本量为长度 米 m 质量 千克 kg 时间 秒 s 10 2 3 由导出关系式确定出导出量的单位 导出单位 基本量的量纲为其本身 并规定用基本量的符号的正体大写字母作为基本量的量纲的符号 导出量的量纲通过导出关系式用基本量的量纲表示 单位制 按照上述方法制定的一套单位 常用单位制 MKS CGS 自然单位制 单位制制订要考虑不易变化以及测量的方便程度 4 5 6 11 12 时间 time 的计量 以前定义 1秒为地球绕自身
6、轴线转动一周 1天 的1 86400 目前时间标准 1秒的长度等于与铯133原子基态两个超精细能级之间跃迁相对应的辐射周期的9192631770倍 未来定义 原子氢微波激射器 因为它比铯原子钟稳定度高100倍 13 时钟的改进 14 长度 length 的计量 空间反映物质运动的广延量 在三维空间里位置可由三个相互独立的坐标来确定 空间中两点间的距离为长度 1889年 第一届国际计量大会 法国国际计量局铂铱合金棒在0oC时两条刻线间的距离定义为1米 1960年 第十一届国际计量大会 采用氪86原子橙黄光波长的1650763 73倍定义为1米 实现了自然基准 1983年 第十七届国际计量大会 1
7、米定义为光在真空中传播 1 299792458 秒的时间间隔内所经路程的长度 15 质量 mass 的计量 物体所含物质的多少 惯性质量引力质量1889年 第一届国际计量大会 1千克质量的实物基准是保存在法国巴黎国际计量局中的一个特制的 直径和高均为39mm的铂钇合金圆柱体 称为国际千克原器 未来标准 是否采用自然基准 16 物质世界的层次和数量级 17 物质世界的层次和数量级 micron second us nano second ns 18 目前已知质量范围 已知宇宙银河系地球人灰尘烟草花叶病毒质子电子 1053kg2 2 1041kg6 0 1024kg6 0 101kg 10 10k
8、g 10 13kg 10 27kg 10 31kg 6 72 31 79 1 19 力学量的单位 20 力学量 MKS制 CGS制 工程制 长度质量时间速度加速度力动量冲量功 能 m 米 kg 千克 s 秒 m s 米 秒 m s2 米 秒2 N 牛顿 kg m sN sN m cm 厘米 g 克 s 秒 cm s 厘米 秒 cm s2 厘米 秒2 dyn 达因 dyn sdyn serg 尔格 m 米 kgf m s2 s 秒 m s 米 秒 m s2 米 秒2 kgf 千克力 kgf skgf skgf m g cm s 0 5 量纲 dimension 在不考虑数字因子时 表示一个物理量
9、是由哪些基本量导出的以及如何导出的式子 称为这个物理量的量纲 在力学中CGS和MKS单位制的基本量是长度 质量和时间 它们的量纲分别为L M和T 任何力学量Q的量纲为 Q L M T 式中 为量纲指数 21 量纲分析 定理 设我们在选定单位制中的基本量数目为m 它们的量纲为X1 X2 Xm 用 P 代表导出量P的量纲 则 Xam Xa1Xa2 P 1 2 m 上式取对数 ln P a1lnX1 a2lnX2 amlnXm 把lnX1 lnX2 lnXm看做m维空间的 正交基矢 则 a1 a2 am 相当于 矢量 ln P 在基矢上的投影 22 定理 P1 P2 Pn 设某物理问题内涉及n个物理
10、量 包括物理常量 而我们所选的单位制中有m个基本量 n m 则由此可以组成n m 个无量纲的量函数关系式 在物理量 之间存在的 P P P 1 2 n m 12 n f P1 P2 Pn 0可表达成相应的无量纲形式 F 1 2 n m 0 1 2 n m 或者从上式把 1解出来 n m的情况下 有两种可能 若P1 P2 Pm的量纲彼此独立 则不能由它们组成无量纲的量 如不独立 则还可能组成无量纲的量 23 例1虽然单个微粒撞击墙壁的力是局部而短暂的脉冲 但大量粒子撞击的平均效果就是均匀而持久的压力 如设粒子流中每个粒子的速度都垂直于墙壁 并大小一样 皆为v 粒子质量为m 单位体积内的粒子数为n
11、 试导出墙壁受到的压强与上述三个物理量之间的关系 这是一个力学问题 有三个基本量 质量 长度和时间 即m 3 本题涉及的物理量 n m v P m 4 的量纲分别为 解 ln n 0 lnM 3 lnL 0 lnT0 lnT ln m 1 lnM ln v 0 lnM 0 lnL 1 lnL 1 lnT 1 ln P 1 lnM 1 lnL 2 lnT 由于只有3个基本量 相当于3维基矢空间 所以上述4个量只有3个是线性无关的 设前3个是无关量 则有 24 ln P x1ln n x2ln m x3ln v 将 1 式代入 则有1 lnM 1 lnL 2 lnT x1 0 lnM 3 lnL
12、0 lnT 0 lnT x2 1 lnM x3 0 lnM 0 lnL 1 lnL 1 lnT 由于lnM lnL lnT是正交基矢 在上式中它们的系数应分别相等 0 x1 1 x2 3 x1 0 x2 0 x1 0 x2 0 1 x3 1x3 1 1 x3 2 x1 1 x2 1 x3 2 求解上述方程组 得到 25 于是我们得到 ln P 1 ln n 1 ln m 2 ln v 从而得到P knmv2k是一个无量纲的数学常数 根据具体情况不同 k可能变化 而压强与这三个物理量的关系是不变的 总结 利用量纲分析 虽然不能完全定量的给出物理问题的答案 但是能够对物理问题提供一个简便的分析思路
13、 甚至不需要知道定律和物理机制的细节 26 例2解 用量纲分析法证明勾股定理直角三角形的面积A可由它的一边 例如斜边c 和一个锐角 如 所决定 是无量纲的 所以 A c2 如图 作c边的垂线将三角形分成两个与原来相似的小直角三角形 它们各有一个同样的锐角 故它们的面积应分别为 A a2 A b2 1由A A1 A2得 2 c a c2 a2 b2 c2 a2 b2 消去 即得 b 这样我们就利用量纲分析定量的得到了勾股定理 27 0 6 微积分预备知识 常见函数的导数 1 n dy dx xn y nxn 1 y dxdy dx dsinx y sin x y cosx dxdy dxdcos
14、x y cos x y sin x dx dxdlnxdx dydx 1x y lnx y x dy de ex y ex y dx dx 28 导数运算定理 2 d du dv u x v x dxd dx dx du dv u x v x v x u x dx dx dx du dv u x v x d u x dx dx v x 2 dx v x d dudv u v x dx dvdx 29 3常见函数的幂级数展开式 函数 展开式 收敛范围 x 1 2x 3 2x 5 2x 1 2x 3 2x 5 2x 1x 2 x2x2x2 x3x3x3 x4x4x4 1 1 1 1 1 1 1 1
15、 1 1 1 x 1 1 1 1 3 1 1 3 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 xxxxx 2 43 1 2 4 63 1 1 2 4 6 83 1 1 3 23 xx 25 2 45 3 2 4 65 3 1 2 4 6 85 3 1 1 2 4 2 4 61 3 5 2 4 6 8 2 x2x2x2x2 x3x3x3 x4x4x4 1 1 1 x 1 3 1 3 5 7 1 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 3 xx 3 5 3 5 7 3 5 7 9 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 5 7 5 7 9 5 7 9 11 5 x 2 4 2 4 6 2 4 6 8
16、2 x3 x4 1 x xx 1 2x 3x2 4x3 5x4 30 x31 x51 sinxcosx x 1 x417 1 x 3 5 x2 x6 1 x3 1 x 2 4 6 x5x2 x7 x9 tan x x 1 2 62 x 3 15 315 2835 exln 1 x3 x4 1 1 x x 1 1 1 1 x 1 2 3 4 x2 x3 x4 1 1 1 x 1 x 2 3 4 x x2 x3 x4 ln 1 1 1 1 1 x 1 x 2 3 4 31 4基本不定积分公式 函数 不定积分 f x f x dx n 1 x xn n 1 C n 1 cosx Csinx C sinx cos1 x ln x C xex ex C 32 5积分运算定理 i 如果f x a是常量 则 a u x dx a u x f x dx ii 如果f x u x v x 则 f x dx u x dx v x dx u v v x 则 u v v x dx 如果f x iii u v dv f x dx 33 0 7 矢量基本知识 标量 scalar 物理学中像质量 密度 能量 温度
