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1、书 山 有 路绝密启用并使用完毕前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（理工类）本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题），第卷1至2页，第卷2至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。命题人：雅安中学 黄潘 第卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。第卷共10小题。一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1已知集合,，则（A）（B） （C） （D）2若复数为虚
2、数单位)为纯虚数，则实数的值为（A） （B） （C）（D）3函数是（A）最小正周期为的奇函数（B）最小正周期为的偶函数（C）最小正周期为的奇函数（D）最小正周期为的偶函数4等差数列中，已知，则使得的最小正整数为（A）7（B）（C）（D）5直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（A）（B）（C）（D）6用数字组成无重复数字的五位数，要求不在首位，不在百位的五位数共有（A）个（B）个（C）个（D）个7定义某种运算，的运算原理如右框图所示，设，则输出的的最大值与最小值的差为（A）（B）（C）（D）8下列命题:若直线上有无数个点不在平面内,则；若直线与平面平行,则与平面内的任意一条直线都平行；来
3、源:学科网如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行；若直线与平面平行,则与平面内的任意一条直线都没有公共点其中正确的个数是（A）（B）（C）（D）9已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上任意一点，且在第一象限，垂足为，则直线的倾斜角等于（A）（B）（C）（D）10已知函数对定义域内的任意都有，且当时，其导函数 满足，若，则（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用黑色签字笔或钢笔在答题卡上作答。第卷分为填空题和解答题。二、填空题：本大题共5 小题，每小题5分，共25分，将答案书写在答题卡对应题号的横线上。11二项式的展开式中第四项的系数为
4、 12一个几何体的三视图如右图所示，其中网格纸上的小正方形的边长为1，则该几何体的体积为 13点在不等式组表示的平面区域内，若点到直线的最大距离为，则实数 14的外接圆半径为，圆心为,且，则的值为 15已知函数，且，给出下列命题：；当时， 其中所有真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分，将答案书写在答题卡对应题号的方框内，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）已知为等比数列，其中，且成等差数列()求数列的通项公式；()设,求数列的前项和17（本小题满分12分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从
5、装有个红球与个白球的袋中任意摸出个球，再从装有个蓝球与个白球的袋中任意摸出个球，根据摸出个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖 2红1蓝 10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级()求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；()求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列与期望18（本小题满分12分）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为，在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后
6、，再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，()求索道的长；()问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？()为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？CBA19（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5()求证：AA1平面ABC；()求二面角A1-BC1-B1的余弦值；()证明：在线段BC1存在点D，使得ADA1B，并求的值20（本小题满分13分）已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为 ()若为等边三角形，求椭圆的方程；()若椭圆的短
7、轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程21(本小题满分14分)已知函数=，=，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线 ()求,的值；()若-2时，求的取值范围绝密启用并使用完毕前2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学模拟试题（理工类）参考答案CDABD BAABC11. 12. 13. 14. 15. 【答案】解:(1), , 根据得 (2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则 即 时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理得(m) 乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步
8、行速度为V ,则 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内【答案】解: (I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1 AC. 因为平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1平面ABC. (II)由(I)知AA1 AC,AA1 AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以ABAC. 如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设平面A1BC1的法向量为,则,即, 令,则,所以. 同理可得,平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角
9、,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为. (III)设D是直线BC1上一点,且. 所以.解得,. 所以. 由,即.解得. 因为,所以在线段BC1上存在点D, 使得ADA1B. 此时,. 【答案】解(1)设椭圆的方程为. 根据题意知, 解得, 故椭圆的方程为. (2)容易求得椭圆的方程为. 当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为. 由 得. 设,则 因为,所以,即 , 解得,即. 故直线的方程为或. 21【答案】()由已知得, 而=,=,=4,=2,=2,=2; ()由()知, 设函数=(), =, 有题设可得0,即, 令=0得,=,=-2, (1)若,则-20,当时,0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,=0, 当-2时,0,即恒成立, (2)若,则=, 当-2时,0,在(-2,+)单调递增,而=0, 当-2时,0,即恒成立, (3)若,则=0, 当-2时,不可能恒成立, 综上所述,的取值范围为1,. 9
