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1、书 山 有 路数学试题一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.为虚数单位,则( )A.B.C. D.答案:C解析: 2. 若,则()A0BC D解析:选Cf(x)exxex,f(1)2e.3. 已知双曲线的一个焦点坐标是,则双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D. 答案:B解析:知双曲线的焦点在轴,且,又一个焦点是,双曲线的渐近线方程为4下列叙述:若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反;若两个向量均为同一个平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线一定平行;若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直,则该直线与这
2、个平面平行.其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案:B解析:正确,错误.5学校体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,西侧有2个大门,某学生到该体育场训练,但必须是从南或北门进入,从西门或北门出去,则他进出门的方案有()A.7个B.12个C.24个D.35个答案:D6. 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A.设数列的前项和为.由,求出,推断:B.由满足对R都成立,推断:为奇函数C.由圆的面积,推断:椭圆的面积D.由,推断:对一切N*,答案:A解析:选项A由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列an是等差数列,其前n项和等于Snn2,选项D中的推理属于归纳推理,但结论不
3、正确因此选A.7. 已知函数,若函数在上有3个零点,则的取值范围为()A(24,8) B(24,1C1,8 D1,8)解析f(x)3x26x93(x1)(x3),令f(x)0,得x1或x3.当x2,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x(1,3)时,f(x)0,函数f(x)单调递增所以函数f(x)的极小值为f(3)24,极大值为f(1)8;而f(2)1,f(5)8,函数图象大致如图所示故要使方程g(x)f(x)m在x2,5上有3个零点,只需函数f(x)在2,5内的函数图象与直线ym有3个交点故即m1,8)答案D8. 抛物线的焦点为,已知点为抛物线上的两个动点,且满足.过弦的中点作抛物线
4、准线的垂线,垂足为,则的最大值为A. B. C. D. 答案:A解析:试题分析:设,则二、 填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分9. 答案:4解析:10.已知,复数的实部为,虚部为1,则复数对应的点到原点距离的取值范围是 答案:解析:,11. 曲线C:在点(1,0)处的切线方程是 .答案:解析:设f(x),则f(x).所以f(1)1.所以所求切线方程为yx1.12. 棱长均为3的三棱锥,若空间一点满足,则的最小值为 .答案:解析:,四点共面,的最小值即为点到底面的高.13. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架“歼15”飞机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而
5、丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法数是 .答案:24解析:分三步:把甲、乙捆绑为一个元素A,有A种方法;A与戊机形成三个“空”,把丙、丁两机插入空中有A种方法;考虑A与戊机的排法有A种方法可知共有AAA24种不同的着舰方法14. 椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上,记直线的斜率为,直线的斜率为,则 = .答案:解析:椭圆的左、右顶点分别为(2,0),(2,0),设P(x0,y0),则kPA1kPA2,而1,即y(4x),所以kPA1kPA215.函数有两个不同的极值点,且,则实数的范围是 答案:解析:定义域为,令,则在内有两个不同的实数根,结合图象知三、解答题:本大题共6个小题,共75
6、分,解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)设:实数满足, 实数满足.(1)若且为真,求实数的取值范围;(2)若其中且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.解:(1). 由得当时,,即为真时实数的取值范围是.2分由, 得, 得即为真时实数的取值范围是,4分若为真,则真且真,所以实数的取值范围是. 6分(2) 由得 是的充分不必要条件,即,且, 8分设A=,B=,则,又A=, B=x|x4或x2,10分则,且所以实数的取值范围是12分17. (本小题满分12分)如图,在三棱柱中,侧棱垂直底面,,.(1)求证:;(2)求二面角的大小.解:方法一:(1),又 (2)取的中点
7、为,在平面内过作于点,连接则,而是二面角的平面角,又二面角为60.18. (本小题满分12分)时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量(单位:千套)与销售价格(单位:元/套)满足的关系式,其中,为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)求的值;(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数).解:(1)因为时, 代入关系式,得,解得.4分(2)由(1)可知,套题每日的销售量,5分 所以每日销售套题所获得的利
8、润8分从而. 令,得,且在上,,函数单调递增;在上,函数单调递减, 10分所以是函数在内的极大值点,也是最大值点,所以当时,函数取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. 12分19. (本小题满分13分)设数列的前项和为(即),且方程有一根为1,1,2,3.(1)求;(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法给出严格的证明解:(1)当n1时,x2a1xa10有一根为S11a11,于是(a11)2a1(a11)a10,解得a1.3分当n2时,x2a2xa20有一根为S21a2,于是2a2a20,解得a2.5分(2)由题设(Sn1)2an(Sn1)an0,即S2
9、Sn1anSn0.当n2时,anSnSn1,代入上式得Sn1Sn2Sn10.由(1)得S1a1,S2a1a2.由可得S3.由此猜想Sn,n1,2,3. 7分下面用数学归纳法证明这个结论()n1时已知结论成立8分()假设nk(k1,kN*)时结论成立,即Sk,当nk1时,由得Sk1,10分即Sk1,故nk1时结论也成立12分综上,由()()可知Sn对所有正整数n都成立13分20. (本小题满分13分)已知椭圆:离心率为,且椭圆的长轴比焦距长. (1)求椭圆的方程;(2)过点(,)的动直线交椭圆于、两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点,使得无论如何转动,以为直径的圆恒过定点?若存在,求出点的坐
10、标;若不存在,请说明理由解:(1)设椭圆的焦距为,则由题设可知,解此方程组得,. 所以椭圆C的方程是. 5分(2)解法一:假设存在点T(u, v). 若直线l的斜率存在,设其方程为,将它代入椭圆方程,并整理,得设点A、B的坐标分别为,则 因为及所以 9分当且仅当恒成立时,以AB为直径的圆恒过定点T,所以解得此时以AB为直径的圆恒过定点T(0,1). 11分当直线l的斜率不存在,l与y轴重合,以AB为直径的圆为也过点T(0,1).综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1),满足条件. 13分解法二:若直线l与y轴重合,则以AB为直径的圆是 若直线l垂直于y轴,则以AB为直径的圆是 7分由解得
11、.由此可知所求点T如果存在,只能是(0,1). 8分事实上点T(0,1)就是所求的点. 证明如下:当直线l的斜率不存在,即直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆为,过点T(0,1); 当直线l的斜率存在,设直线方程为,代入椭圆方程,并整理,得设点A、B的坐标为,则 10分因为,所以,即以AB为直径的圆恒过定点T(0,1). 综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件. 13分21. (本小题满分13分)已知 (1)若,时,求证:对于恒成立;(2)若,且存在单调递减区间,求的取值范围;(3)利用(1)的结论证明:若,则解:(1)设, 则.2分(-1,0)0(0,+)+0-最大值当时,有最大值0 恒成立。即对于恒成立。.4分(2)时,有单调递减区间,有解,即有解,有解, .6分时合题意时,即,的取值范围是 .8分 (3)证明: 当时,由(1)知 等号在即时成立。而, 所以成立。.13分9