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1、书 山 有 路数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.为虚数单位，则（ ）A.B.C. D.答案：C解析： 2. 若，则()A0BC D解析：选Cf(x)exxex，f(1)2e.3. 已知双曲线的一个焦点坐标是,则双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 答案：B解析：知双曲线的焦点在轴，且，又一个焦点是，双曲线的渐近线方程为4下列叙述：若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行；若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这
2、个平面平行.其中正确的个数是（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个答案：B解析：正确，错误.5学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有()A.7个B.12个C.24个D.35个答案：D6. 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A.设数列的前项和为.由，求出，推断：B.由满足对R都成立，推断：为奇函数C.由圆的面积，推断：椭圆的面积D.由，推断：对一切N*，答案：A解析：选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列an是等差数列，其前n项和等于Snn2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不
3、正确因此选A.7. 已知函数，若函数在上有3个零点，则的取值范围为()A(24,8) B(24,1C1,8 D1,8)解析f(x)3x26x93(x1)(x3)，令f(x)0，得x1或x3.当x2，1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(1,3)时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的极小值为f(3)24，极大值为f(1)8；而f(2)1，f(5)8，函数图象大致如图所示故要使方程g(x)f(x)m在x2,5上有3个零点，只需函数f(x)在2,5内的函数图象与直线ym有3个交点故即m1,8)答案D8. 抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线
4、准线的垂线，垂足为，则的最大值为A. B. C. D. 答案：A解析：试题分析：设，则二、 填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分9. 答案：4解析：10.已知，复数的实部为，虚部为1,则复数对应的点到原点距离的取值范围是 答案：解析：，11. 曲线C：在点(1，0)处的切线方程是 .答案：解析：设f(x)，则f(x).所以f(1)1.所以所求切线方程为yx1.12. 棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为 .答案：解析：，四点共面，的最小值即为点到底面的高.13. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而
5、丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 .答案:24解析：分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，有A种方法；A与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有A种方法；考虑A与戊机的排法有A种方法可知共有AAA24种不同的着舰方法14. 椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 = .答案：解析：椭圆的左、右顶点分别为(2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，则kPA1kPA2，而1，即y(4x)，所以kPA1kPA215.函数有两个不同的极值点，且，则实数的范围是 答案：解析：定义域为，令，则在内有两个不同的实数根，结合图象知三、解答题：本大题共6个小题，共75
6、分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）设:实数满足, 实数满足.(1)若且为真，求实数的取值范围；(2)若其中且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.解:（1）. 由得当时，,即为真时实数的取值范围是.2分由, 得, 得即为真时实数的取值范围是,4分若为真，则真且真，所以实数的取值范围是. 6分(2) 由得 是的充分不必要条件，即,且, 8分设A=,B=,则,又A=, B=x|x4或x2，10分则,且所以实数的取值范围是12分17. （本小题满分12分）如图,在三棱柱中,侧棱垂直底面,，.（1）求证:；（2）求二面角的大小.解：方法一：（1），又 （2）取的中点
7、为，在平面内过作于点，连接则，而是二面角的平面角，又二面角为60.18. （本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）.解：（1）因为时， 代入关系式，得，解得.4分（2）由（1）可知，套题每日的销售量，5分 所以每日销售套题所获得的利
8、润8分从而. 令，得,且在上,，函数单调递增；在上，函数单调递减， 10分所以是函数在内的极大值点，也是最大值点，所以当时，函数取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. 12分19. （本小题满分13分）设数列的前项和为(即)，且方程有一根为1，1,2,3.(1)求；(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明解：(1)当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.3分当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是2a2a20，解得a2.5分(2)由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即S2
9、Sn1anSn0.当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10.由(1)得S1a1，S2a1a2.由可得S3.由此猜想Sn，n1,2,3. 7分下面用数学归纳法证明这个结论()n1时已知结论成立8分()假设nk(k1，kN*)时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，10分即Sk1，故nk1时结论也成立12分综上，由()()可知Sn对所有正整数n都成立13分20. （本小题满分13分）已知椭圆：离心率为，且椭圆的长轴比焦距长. （1）求椭圆的方程；（2）过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐
10、标；若不存在，请说明理由解：（1）设椭圆的焦距为，则由题设可知，解此方程组得，. 所以椭圆C的方程是. 5分（2）解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理，得设点A、B的坐标分别为，则 因为及所以 9分当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，所以解得此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. 11分当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件. 13分解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是 若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是 7分由解得
11、.由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）. 8分事实上点T（0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T（0，1）； 当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得设点A、B的坐标为，则 10分因为，所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件. 13分21. （本小题满分13分）已知 （1）若，时，求证：对于恒成立；（2）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；（3）利用（1）的结论证明：若，则解：（1）设， 则.2分（-1，0）0（0，+）+0-最大值当时，有最大值0 恒成立。即对于恒成立。.4分（2）时，有单调递减区间，有解，即有解，有解， .6分时合题意时，即，的取值范围是 .8分 （3）证明： 当时，由（1）知 等号在即时成立。而， 所以成立。.13分9
