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1、求解流程图 微分方程求解总结 1 1 折线积分 2 凑全微分 3 定积分 转为z的一阶线性 关于u一阶 2 二阶变系数 二阶 一阶 二阶常系数 解的结构 3 P338 P348 4 一 一阶微分方程求解 1 一阶标准类型方程求解 关键 辨别方程类型 掌握求解步骤 2 一阶非标准类型方程求解 1 变量代换法 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 2 积分因子法 选积分因子 解全微分方程 四个标准类型 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 全微分方程 5 例1 求下列方程的通解 提示 1 故为分离变量方程 通解 1 一阶标准类型 6 方程两边同除以x即为齐次方程 令y ux 化为分 离变量方程 调换
2、自变量与因变量的地位 用线性方程通解公式求解 化为 7 方法1这是一个齐次方程 方法2化为微分形式 故这是一个全微分方程 8 例2 求下列方程的通解 提示 1 令u xy 得 2 将方程改写为 伯努利方程 分离变量方程 原方程化为 二 非标准类型 9 令y ut 齐次方程 令t x 1 则 可分离变量方程求解 化方程为 10 变方程为 两边乘积分因子 用凑微分法得通解 11 例3 设F x f x g x 其中函数f x g x 在 内满足以下条件 1 求F x 所满足的一阶微分方程 2 求出F x 的表达式 解 1 所以F x 满足的一阶线性非齐次微分方程 12 2 由一阶线性微分方程解的公
3、式得 于是 13 二 两类二阶微分方程的解法 1 可降阶微分方程的解法 降阶法 令 令 逐次积分求解 14 2 二阶线性微分方程的解法 常系数情形 齐次 非齐次 代数法 15 二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤 1 写出相应的特征方程 2 求出特征方程的两个根 3 根据特征方程的两个根的不同情况 按照下列规则写出微分方程的通解 求解二阶常系数线性方程 16 非齐 通解 齐次通解 非齐特解 难点 如何求特解 方法 待定系数法 17 3 上述结论也可推广到高阶方程的情形 18 解答提示 P353题2求以 为通解的微分方程 提示 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 P353题3求下列微分方程的通解 提示 6 令 则方程变为 19 特征根 齐次方程通解 令非齐次方程特解为 代入方程可得 思考 若 7 中非齐次项改为 提示 原方程通解为 特解设法有何变化 20 P354题4 2 求解 提示 令 则方程变为 积分得 利用 再解 并利用 定常数 思考 若问题改为求解 则求解过程中得 问开方时正负号如何确定 21 思考 设 提示 对积分换元 则有 解初值问题 答案 22
