数列知识点总结及例题讲解

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1、人教版数学必修人教版数学必修五五 第第二二章章 数列数列 重难点解析重难点解析 第二章 课文目录 2 1 数列的概念与简单表示法 2 2 等差数列 2 3 等差数列的前 n 项和 2 4 等比数列 2 5 等比数列前 n 项和 重点 重点 1 数列及其有关概念 通项公式及其应用 2 根据数列的递推公式写出数列的前几项 3 等差数列的概念 等差数列的通项公式 等差数列的定义 通项公式 性质的理解与应 用 4 等差数列 n 项和公式的理解 推导及应用 熟练掌握等差数列的求和公式 5 等比数列的定义及通项公式 等比中项的理解与应用 6 等比数列的前 n 项和公式推导 进一步熟练掌握等比数列的通项公式

2、和前 n 项和公式 难难点 点 1 根据数列的前n项观察 归纳数列的一个通项公式 2 理解递推公式与通项公式的关系 3 等差数列的性质 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 4 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题 5 灵活应用求和公式解决问题 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 6 灵活应用等比数列定义 通项公式 性质解决一些相关问题 一 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 数列的定义数列的定义 按一定次序排列的一列数叫做数列数列 注意注意 数列的数是按一定次序排列的 因此 如果组成两个数列的数相同而排列次序 不同 那么它们就是不同的数列 定义中并没有规定

3、数列中的数必须不同 因此 同一个数在数列中可以重复出现 数列的项数列的项 数列中的每一个数都叫做这个数列的项项 各项依次叫做这个数列的第 1 项 或 首项 第 2 项 第 n 项 数列的一般形式数列的一般形式 321n aaaa 或简记为 n a 其中 n a是数列的第 n 项 数列的通项公数列的通项公式式 如果数列 n a的第 n 项 n a与 n 之间的关系可以用一个公式来表示 那 么这个公式就叫做这个数列的通项公式 注意注意 并不是所有数列都能写出其通项公式 如上述数列 一个数列的通项公式有时是不唯一的 如数列 1 0 1 0 1 0 它的通项公式 可以是 2 1 1 1 n n a 也

4、可以是 2 1 cos n an 数列通项公式的作用 求数列中任意一项 检验某数是否是该数列中的一项 数列的通项公式具有双重身份 它表示了数列的第 项 又是这个数列中所有各项的 一般表示 通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系 给了数列的通项公式 这个数列 便确定了 代入项数就可求出数列的每一项 5 5 数列与函数的关系 数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集 N 或它的有限子集 1 2 3 n 为定义域的函数 n af n 当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 反过来 对于函数y f x 如果f i i 1 2 3 4 有意义 那么我们可以得到一 个数列f 1 f 2 f 3 f

5、4 f n 6 6 数列的分类 数列的分类 1 根据数列项数的多少分 有穷数列有穷数列 项数有限的数列 例如数列 1 2 3 4 5 6 是有穷数列有穷数列 无穷数列无穷数列 项数无限的数列 例如数列 1 2 3 4 5 6 是无穷数列无穷数列 2 根据数列项的大小分 递增数列 从第 2 项起 每一项都不小于它的前一项的数列 递减数列 从第 2 项起 每一项都不大于它的前一项的数列 常数数列 各项相等的数列 摆动数列 从第 2 项起 有些项大于它的前一项 有些项小于它的前一项的数列 7 7 数列的表示方法 数列的表示方法 1 1 通项公式法 通项公式法 如果数列 n a的第 n 项与序号之间的

6、关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫 做这个数列的通项公式 如数列 的通项公式为 的通项公式为 的通项公式为 2 2 图象法 图象法 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形 具体方法是以项数 为横坐标 相应的 项 为纵坐标 即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点 以前面提到的数列 为例 做出一个数列的图象 所得的数列的图形是一群孤立的点 因为横坐 标为正整数 所以这些点都在 轴的右侧 而点的个数取决于数列的项数 从图象中可以 直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势 3 3 递推公式法 递推公式法 如果已知数列 n a的第 1 项 或前几项 且任一项 n a与它的前一项 1 n a

7、 或前 n 项 间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法 如下数字排列的一个数列 3 5 8 13 21 34 55 89 递推公式为 83 5 3 2121 naaaaa nnn 4 4 列表法 列表法 简记为 典型例题 例例 1 1 根据下面数列的前几项的值 写出数列的一个通项公式 1 3 5 9 17 33 2 3 2 15 4 35 6 63 8 99 10 3 0 1 0 1 0 1 4 1 3 3 5 5 7 7 9 9 5 2 6 12 20 30 42 解 解 1 n a 2n 1 2 n a 12 12 2 nn n

8、3 n a 2 1 1 n 4 将数列变形为 1 0 2 1 3 0 4 1 5 0 6 1 7 0 8 1 n a n 2 1 1 n 5 将数列变形为 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 n a 1 1 n n n 1 例例 2 2 设数列 n a满足 1 1 1 1 1 1 n n a an a 写出这个数列的前五项 分析 分析 题中已给出 n a的第 1 项即1 1 a 递推公式 1 1 1 n n a a 解 解 据题意可知 3 21 1 2 1 1 1 2 3 1 21 a a a aa 5 8 3 51 1 5 3 4 a a a 例例 3 3 已知2 1 a nn aa2

9、1 写出前 5 项 并猜想 n a 解 法一 解 法一 2 1 a 2 2 222 a 32 3 222 a 观察可得 n n a2 法二 法二 由 nn aa2 1 1 2 nn aa 即2 1 n n a a 1 1 2 3 2 2 1 1 2 n n n n n n n a a a a a a a a nn n aa22 1 1 二 等差数列二 等差数列 1 1 等差数列 等差数列 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它前一项的差等于同一个常数 这个数列就叫做等差数列 这个常数就叫做等差数列的公差 常用字母 d 表示 公差 d 一定是由后项减前项所得 而不能用前项减后项来求 对于数列

10、 n a 若 n a 1 n a d 与 n 无关的数或字母 n 2 n N 则此数列 是等差数列 d 为公差 2 2 等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 dnaan 1 1 或 n admnam 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 奎屯 王新敞 新疆若一等差数列 n a的首项是 1 a 公 差是 d 则据其定义可得 daa 12 即 daa 12 daa 23 即 dadaa2 123 daa 34 即 dadaa3 134 由此归纳等差数列的通项公式可得 dnaan 1 1 已知一数列为等差数列 则只要知其首项 1 a和公差 d 便可求得其通项 n a 由上述关系还可得 dma

11、am 1 1 即 dmaa m 1 1 则 n adna 1 1 dmnadndma mm 1 1 即等差数列的第二通项公式 n admnam d nm aa nm 3 3 有几种方法可以计算公差 有几种方法可以计算公差 d d d n a 1 n a d 1 1 n aan d mn aa mn 4 4 结论 性质 结论 性质 在等差数列中 若 m n p q 则 qpnm aaaa 即 m m n p q n p q qpnm aaaa m n p q m n p q N N 但通常 由 qpnm aaaa 推不出 m n p q nmnm aaa 典型例题 典型例题 例例 1 1 求等差

12、数列 8 5 2 的第 20 项 401 是不是等差数列 5 9 13 的项 如果是 是第几项 解 解 由35285 8 1 da n 20 得49 3 120 8 20 a 由4 5 9 5 1 da 得数列通项公式为 1 45 nan 由题意可知 本题是要回答是否存在正整数 n 使得 1 45401 n成立解之得 n 100 即 401 是这个数列的第 100 项 例例 2 2 已知数列 n a 的通项公式qpnan 其中p q是常数 那么这个数列是否一定 是等差数列 若是 首项与公差分别是什么 分析 分析 由等差数列的定义 要判定 n a是不是等差数列 只要看 1 nn aa n 2 是

13、不 是一个与 n 无关的常数 解 解 当 n 2 时 取数列 n a中的任意相邻两项 1 n a与 n a n 2 1 1 qnpqpnaa nn pqppnqpn 为常数 n a 是等差数列 首项qpa 1 公差为 p 注 注 若 p 0 则 n a 是公差为 0 的等差数列 即为常数列 q q q 若 p 0 则 n a 是关于 n 的一次式 从图象上看 表示数列的各点均在一次函数 y px q 的图象上 一次项的系数是公差 直线在 y 轴上的截距为 q 数列 n a 为等差数列的充要条件是其通项 n a pn q p q 是常数 称其为第 3 通项公式 判断数列是否是等差数列的方法是否满

14、足 3 个通项公式中的一个 例例 3 3 求等差数列 3 7 11 的第 4 项与第 10 项 分析 分析 根据所给数列的前 3 项求得首项和公差 写出该数列的通项公式 从而求出所求 项 解 解 根据题意可知 1 a 3 d 7 3 4 该数列的通项公式为 n a 3 n 1 4 即 n a 4n 1 n 1 n N N 4 a 4 4 1 15 10 a 4 10 1 39 评述 评述 关键是求出通项公式 例例 4 4 求等差数列 10 8 6 的第 20 项 解 解 根据题意可知 1 a 10 d 8 10 2 该数列的通项公式为 n a 10 n 1 2 即 n a 2n 12 20 a

15、 2 20 12 28 评述 评述 要注意解题步骤的规范性与准确性 例例 5 5 100 是不是等差数列 2 9 16 的项 如果是 是第几项 如果不是 说明理由 分析 分析 要想判断一数是否为某一数列的其中一项 则关键是要看是否存在一正整数n 值 使得 n a等于这一数 解 解 根据题意可得 1 a 2 d 9 2 7 此数列通项公式为 n a 2 n 1 7 7n 5 令 7n 5 100 解得 n 15 100 是这个数列的第 15 项 例例 6 6 20 是不是等差数列 0 3 2 1 7 的项 如果是 是第几项 如果不是 说 明理由 解 解 由题意可知 1 a 0 d 3 2 1 此

16、数列的通项公式为 n a 2 7 n 2 7 令 2 7 n 2 7 20 解得n 7 47 因为 2 7 n 2 7 20 没有正整数解 所以 20 不是这 个数列的项 例例 7 7 如果在a与b中间插入一个数 A 使a A b成等差数列数列 那么 A 应满足什么条 件 解 解 由定义得 A a b A 即 2 ba A 反之 若 2 ba A 则 A a b A 由此可可得 2 ba ba A 成等差数列 例例 8 8 在等差数列 n a 中 若 1 a 6 a 9 4 a 7 求 3 a 9 a 分析 分析 要求一个数列的某项 通常情况下是先求其通项公式 而要求通项公式 必须知 道这个数列中的至少一项和公差 或者知道这个数列的任意两项 知道任意两项就知道公 差 本题中 只已知一项 和另一个双项关系式 想到从这双项关系式入手 解解 an 是等差数列 1 a 6 a 4 a 3 a 9 3 a 9 4 a 9 7 2 d 4 a 3 a 7 2 5 9 a 4 a 9 4 d 7 5 5 32 3 a 2 9 a 32 三 等差数列的前三 等差数列的前 n n 项和项和 1 1 等差