《高等传热学(导热部分)——林康整理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等传热学(导热部分)——林康整理（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等传热学笔记高等传热学笔记 导热部分 导热部分 吴一宁吴一宁老师 主讲 老师 主讲 流体机械硕流体机械硕 30143014 林康 整理 林康 整理 20142014 年春年春 QQQQ 502754405502754405 1 第一章第一章热传导理论基础热传导理论基础 本章基本为公式推导 目的 确定固体的温度分布 除了固体 本章内容也适用于静止的流体 工程上研究导热的目的不是只为了求出温度分布 而是求出物体的热变形 热应力及 导热量 温度分布是研究这些问题的基础 热传导 依靠微观粒子的热运动进行热量的传导 微观粒子包括原子 晶格等微粒 导热公式 傅里叶定律n t q 导热微分方程式 对于常物
2、性 cz t y t x t a t 2 2 2 2 2 2 其中 c a 第一节第一节 热流密度 傅里叶定律 热流密度 傅里叶定律 1 rtrq 性质 温度梯度与热流密度共线 方向相反 且热流密度方向与等温线垂直 若已知温度场 便可由傅里叶定律求出热流密度q 唯一被确定 正问题 若已知热流密度q 求温度场的分布 很困难 不易求出 反问题 直角坐标系中 k z t j y t i x t zyxq x方向分量 x t qx y方向分量 y t qx z方向分量 z t qx 合格的保温材料 1992 年 GB 规定 满足C 350以下时 12 0 kmw 一般情况下 导热性气体液体金属 工程中
3、 导热性最好 铜400 40 钢 6 0 水 02 0 空气 2 各项异性材料 热流密度导热系数 温度梯度 适用于 均匀连续介质中的t 稳态及非稳态 有或无内 热源均可 常物性或物性随着温度t变化 各向同性材料 n t q 若 n t 一样 则热流密 度取决于导热系数 2 导热系数 z t y t x t q z t y t x t q z t y t x t q zzzyzxz yzyyyxy xzxyxxx 对比tq 令 zxzxzx yxyxyx xzxyxx 导热系数分量在不同坐标系中的变换 新旧坐标间的关系 zzzzyyzxxx yzzyyyyxxy xzzxyyxxxx cos c
4、os cos cos cos cos cos cos cos 改写成 CXX 其中 z y x X z y x X zzzyzx yzyyyx xzxyxx C cos cos cos cos cos cos cos cos cos 在新坐标系中 z t y t x t zxzxzx yxyxyx xzxyxx z y x q q q 其中 zxzxzx yxyxyx xzxyxx 利用线性代数的知识可找到一个矩阵C 使得CCT 其中 为对角矩阵 因此 总是可以选择一个合适的坐标 记作 得 t t t q q q 则 t t t q q q 称为各向异性材料的主导热系数 例 1 二维问题 在
5、坐标中 t q t q 在 yx坐标中 y t x t yyyx xyxx y x q q x y q q q 平板 t1 t2 z x y y x z O 3 总可以找到一个矩阵C 使得CCT yyyx xyxx 0 0 其中 cossin sincos C为变换矩阵 将C T C代入 计算得 22 sincos xx 22 cossin yy cossin yxxy 代入q的计算式 得 y t x t qx sincos sincos 22 y t x t qy cossin sincos 22 将 x q y q代入导热微分方程的一般表达式得 对各向异性材料 yx t y t x tt
6、c 2 2 2 22 2 2 22 sincos 2 cossin sincos 若0 则 2 2 2 2 y t x tt c 对各向同性材料 2 2 2 2 2 2 z t y t x tt c 若平板上下表面的温度分别为 1 t和 2 t并保持不变 则0 x t 则 y t q y t q y x cossin sincos 22 0 x q时 则 2 0 或 即各向同性 将 y q与椭圆方程 22222 sincosbar 例 2 三维木材 选取柱坐标系 2 2 2 2 2 z tt rr t r rr t c z r x y 在 与 之间 z r 4 第二节第二节 热传导微分方程式
7、静止 各向同性 热传导微分方程式 静止 各向同性 一 方程的导出 列出能量守恒方程 导入控制体的净热流量 净 Q 控制体内热源的生成热 g Q 控制体热力学能的增量 E AA ddV q ddAnq rQ 体散度 面 净 dVdrQ V g dVd rt cE V p 代入能量守恒方程式 得0 dV rt crrq V p 对于微元体有 rt crrq p 将 rtrq 代入上式 得 rt crrt p 二 特例 1 是常数 1 1 2 rt a rrt 其中 p c a 2 是常数 0 1 2 rt a rt 其中 p c a 3 稳态 0 0 2 rt 例 见传热学 P104 76 题 关
8、于苹果问题 可简化为稳态 有内热源 三 其他形式 1 变物性 p c 随温度t变化 则导热方程为非线性的 求解很困难 V A dV dA n 3 mw r 3 mwq 导热体 其中 r 为热源 V 为控制体 5 2 各向异性 0 直角坐标 将 t cq z q y q x pzyx 转到主导热系数上 有 此时 t cqqq p 引入一个变换系数 2 1 0 X 2 1 0 Y 2 1 0 Z 其中 0 为参考导热系数 得到 t c Z t Y t X t p 0 2 2 2 2 2 2 3 传播速度有限大 傅里叶定律隐含条件是传播速度无限大 默认为光速 级别 尺度极小 小到分子 零度 温度极低
9、 接近绝对 激光加热可能会发生 作用时间极短 K0 s10 10 10 8 当C常数 0 时 为松弛时间传播速度有限大时 传播速度无限大时 0 0 2 2 2 2 11 1 a c t c t a t t a t 第三节第三节不同正交坐标系中的热传导方程不同正交坐标系中的热传导方程 讨论 广义正交曲线坐标系内热传导方程的变换 在直角坐标系下 kuuuZjuuuYiuuuXkzj yi xr 321321321 2 1 2 1 2 11 dzdydxdl x y z u1 u2 u3 du3 du2 du1 dl3 dl2 dl1 6 又由 1 1 3 1 1 du u X du u X dx
10、i i i 同理 1 1 1 du u Y dy 1 1 1 du u Z dz 将 1 dx 1 dy 1 dz的代入 1 dl的表达式可得 1 2 1 2 1 2 1 1 du u Z u Y u X dl 同理可得 2 2 2 2 2 2 2 2 du u Z u Y u X dl 3 2 3 2 3 2 3 3 du u Z u Y u X dl 其中可设 2 1 2 1 2 1 1 u Z u Y u X H 2 2 2 2 2 2 2 u Z u Y u X H 2 3 2 3 2 3 3 u Z u Y u X H 1 H 2 H 3 H称为拉梅系数 又叫尺度系数 则 iii d
11、uHdl 且设 321 HHHH 例 圆柱坐标的拉梅系数 由 321 uuu zr zyx 并知 zz ry rx sin cos 得到10sincos 22 1 H rrrH 0sincos 2222 2 1100 3 H 3232321 duduHHdldldA 3131312 duduHHdldldA 2121213 duduHHdldldA 321321321321 duduHdudududuHHHdldldldV 则EQQ g 净 可改写为 321 duduHdudVQg 321 duduHdu t cdV t cE pp 3 1 i ii ii dldA l t l Q 净 因此
12、正交曲线坐标下的热传导方程为 t c u t H H uH p ii i i 1 2 3 1 第四节第四节 定解条件及问题的性质 齐次定解条件及问题的性质 齐次 非齐次 线性非齐次 线性 非线性 非线性 一 定解条件 初始条件 边界条件 IC BC i dA i q i i i i dl l q q i dl 7 1 第一类边界条件 IBC 给定了边界上的温度 rft i 在边界 i S处 特例 使方程变为齐次 则取过余温度 处 则方程为齐次边界 0 00 tttt St i 2 IIBC 给定边界上的温度梯度 rf n t i i 若0 i n t 对称面 绝热 时 为齐次方程 3 IIIB
13、C 对流换热边界 rfth n t ii i i 要使0 th n t i i i 齐次 则需满足0 t或者 0 tt 此时 采用过余温度 tt 4 初始条件 0 rfrft 是简单的初始条件为 0 tt 5 补充说明 理想接触的边界 在边界 i S处有 n t n t x t x t tt 2 2 1 1 2 2 1 1 21 或 有接触热阻 在边界 i S处 n t Rt c 1 1 其中 c R为接触热阻 与接触面积有关 n t n t 2 2 1 1 在工程上 通常用导热性好 延展性好的铜来填充缝隙以增强导热 也有用焊锡 熔化 后填入缝隙 利用热胀冷缩的方式来减小缝隙 从而减少热阻 二
14、 问题的性质 1 齐次 非齐次 方程和边界条件均为齐次 齐次问题 0 0 0 1 2 内 在区域初始条件 处 在边界边界条件 内 在区域方程 Rrft Srfth n t R t a r t i iii i i 当0 r 和时 为齐次问题 1 S 2 S i S N S tth n t is i i i 恒成立 导热 对流 i n h t i S 21 1 t 2 tx i S 1 t 2 t t 8 2 线性 非线性 未知数及其导数均是一次方 则为线性问题 可叠加 方程中 若 t 则为非线性方程 边界条件中 若 n i tfrf 有相变 自然对流 辐射问题 3 1 4 1 4 th T 时
15、均为非线性方程 三 求解思路 分析结果解方程数学描写物理问题 简化 假设 四 求解方法 1 精确解 分析解 本课程主要解决线性问题 运用的方法是分离变量法 2 近似解 用积分法 3 数值解 第二章第二章分离变量法 重点章节 分离变量法 重点章节 第一节第一节 分离变量法分离变量法 一 方法特点及适用范围 1 线性 齐次 2 线性 非齐次 部分可解 二 基本思想 无内热源 线性齐次非稳态 内 在区域 处 在边界 内 在区域 0 0 0 0 1 2 RrFrt Sth n t R rt a rt ii i i 方法的实质 满足以上问题非零解 0 t rrt 将温度分成只与空间有关的 r 和只与时间
16、有关的 的乘积 分离变量后 解依旧唯一 解的唯一性 数学上已经得到论证 分离变量法的方法可行 方法的实施 代入方程中 22 1 1 d d a r r 方程两边对不同变量求导相等 则只可能方程两边 均为常数 设此常数为 2 则有 da d 2 2 a e 当0 0 t 时 9 得到 0 0 22 处在边界 内在区域 ii i i Srh n r Rrr 此方程称为 Helmholtz 方程 在数学上 这种方程叫做特征值问题 为特征函数 为特征值 2 1 r m m m 因此 1 2 m a mm m erCrt 其中 m C为系数 无穷级数 0 时 rFrt 1 m m rCrF 得出 R m R m m dVr dVrrF C 2 说明 rF 可用级数表示 r m 在区域R内正交 第二节第二节 有限大物体的非稳态导热有限大物体的非稳态导热 一 物理问题 一维无限大平板 无限大是指 个相对面绝热 不满足 但是有四 长宽远大于厚度 求 xt 二 数学描述 采用变量分离法 线性齐次非稳态 0 0 0 0 0 00 0 0 1 22 11 2 LxxFt Lxth x t xth x t L
