计算流体力学讲义(任玉新)清华大学 基础篇

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1、 计算流体力学讲义 基础篇 任玉新 清华大学工程力学系 流体力学研究所 2003 年 7 月 1 第一章第一章 绪论绪论 1 计算流体力学 概念与意义计算流体力学 概念与意义 一 什么是计算流体力学一 什么是计算流体力学 任何流体运动的规律都是由以下 3 个基本定律为基础的 1 质量守恒定律 2 牛顿第二定律 力 质量 加速度 或者与之等价的动量定理 2 能量守 恒定律 这些基本定律可由积分或者微分形式的数学方程 组 来描述 把这些 方程中的积分或者 偏 微分用离散的代数形式代替 使得积分或微分形式的方 程变为代数方程 组 然后 通过电子计算机求解这些代数方程 从而得到流 场在离散的时间 空间

2、点上的数值解 这样的学科称为计算流体 动 力学 Computational Fluid Dynamics 以下简称 CFD CFD 有时也称流场的数值模 拟 数值计算 或数值仿真 在流体力学基本方程中的微分和积分项中包括时间 空间变量以及物理变 量 要把这些积分或者微分项用离散的代数形式代替 必须把时空变量和物理变 量离散化 空间变量的离散对应着把求解域划分为一系列的格子 称为单元体或 控制体 mesh cell control volume 格子边界对应的曲线称为网格 grid 网格的交叉点称为网格点 grid point 对于微分型方程 离散的物理变量经常 定义在网格点上 某一个网格点上的

3、微分运算可以近似表示为这个网格点和相邻 的几个网格点上物理量和网格点坐标的代数关系 这时的数值方法称为有限差分 方法 对于积分型方程 离散物理量可以定义在单元体的中心 边或者顶点上 单元体上的积分运算通常表示为单元体的几何参数 物理变量以及相邻单元体中 物理变量的代数关系 这时的数值方法称为有限体积方法和有限元方法 所谓 数值解就是在这些离散点或控制体中流动物理变量的某种分布 他们对应着的流 体力学方程的用数值表示的近似解 由此可见 CFD 得到的不是传统意义上的 解析解 而是大量的离散数据 这些数据对应着流体力学基本方程的近似的数值 解 对于给定的问题 CFD 研究的目的在于通过对这些数据的

4、分析 得到问题 的定量描述 在这一点上 CFD 与实验研究有类似之处 另一方面 CFD 直接 处理的是描述流动的数学模型 微分或积分形式的方程组及其边界条件 在这一 点上 CFD 与理论流体力学又是相同的 CFD 可以应用于所有与流体运动相关的领域 无论在那个领域中 为了获 得问题满意的答案 CFD 的研究通常应该遵循下面的步骤 第一 问题的界定和流动区域的几何描述 应明确要解决的问题中流场的几 何形状 流动条件和对于数值模拟的要求 几何形状通常来源于对于已知流动区 域的测量 如果处于设计阶段 流场的几何形状可能不是完全确定的 在这种情 况下 必须知道对于流场的几何形状有哪些限制条件 并根据这

5、些限制条件或其 他初步设计手段确定流场的假定形状 然后根据模拟的结果对几何形状进行不断 调整 在多次模拟的过程中 逐步确定最终几何形状 流动条件可以包括流动的 2 雷诺数 马赫数 边界处的速度 压力等等 对于数值模拟的要求包括 数值模 拟的精度和所花费的时间 所感兴趣的流动参数等 第二 选择主控方程和边界条件 主控方程指在数值计算过程中要求解的方 程 在问题确定后 必须选择流动的主控方程和边界条件 一般认为 在牛顿流 体范围内 所有的重要流动现象都可以用 Navier Stokes 方程来描述 但是 为 了提高计算的效率 有时可以选择经过简化的数学模型 如果这种简化仍能保留 流动的物理本质 满

6、足对于数值模拟的要求的话 简化模型包括势流方程 Euler 方程 边界层方程 薄层近似的 N S 方程等等 根据问题的特点 可以 考虑定常或非定常 可压或不可压的流动模型 边界条件可以有固体壁面条件 来流 出流条件 周期条件 对称条件等 边界条件通常依赖于主控方程 如在 固体壁面 Euler 方程要求采用不可渗透条件 而 N S 方程要求无滑移条件 如果有必要 我们还需要采用一些附加的物理模型 最典型的例子就是湍流模型 虽然 N S 方程可以描述湍流流动 但是直接采用原始的 N S 方程计算湍流流 动 称为直接数值模拟 要求网格点的数量非常多 因而计算量非常大 这是目 前的计算机所不能承受的

7、所以人们通常采用经过 Reynolds 平均的 N S 方程 为了封闭这个方程就必须采用某种湍流模式 第三 确定网格划分策略和数值方法 在 CFD 中 网格划分可以有各种不 同的策略 如结构网格 非结构网格 组合网格 重叠网格等 网格可以是静止 的 也可以是运动的 动网格 还可能根据数值解动态调整 自适应网格 CFD 中的数值方法有有限差分 有限体积 有限元 谱方法等 数值方法和网 格划分策略是相互关联的 例如 如果采用有限差分方法 通常要选用结构化网 格 而有限体积方法和有限元方法则可以适应于结构和非结构网格 根据网格划 分策略和数值方法 最终应该形成数值求解基本方程和边界条件的计算机程序或

8、 软件 这些程序 可以是针对某一问题自行编制的 也可以应用已有的程序和商 业软件 第四 数值解的评价和解释 通过在计算机上调试 运行上述软件 可以得 到数值解 对数值解进行分析是 CFD 中非常重要的环节 也称为后处理 Post processing 后处理包括计算感兴趣的力 力矩 包括应用流场可视化的软 件对于流场进行显示 分析 包括对于数值方法和物理模型的误差进行评估等等 二 二 计算流体力学的特点及其与理论和实验流体力学的关 系 计算流体力学的特点及其与理论和实验流体力学的关 系 自从 1687 年牛顿发现宏观物体运动的基本定律以来 直到 20 世纪 50 年代 初 研究流体运动规律的主

9、要方法有两种 实验研究和理论研究 流体力学从其 发展历史来看 最早是一门实验科学 在 17 世纪 法国和英国的科学家奠定了 实验流体力学的基础 在 18 和 19 世纪 理论流体力学得到了持续的发展 Euler Lagrange Navier Stokes 等人建立了描述流体运动的基本方程 在 20 世纪 由 于军事和民用航空工业的需要 人们建造了以风洞 水洞为代表的多种实验装置 用来显示飞行器运动时的流场和测量飞行器受到的空气作用力 在这个过程中 实验流体力学得到了迅速发展 实验研究也促进了理论流体力学的发展 代表性 的工作有 Prantl 的边界层理论和 Von Karman 在空气动力学

10、方面的成果 随着流 3 体力学研究的进展 实验和理论研究的优势和困难也逐渐为人们所认识 实验研 究的优点是可以借助各种先进仪器设备 给出多种复杂流动的准确 可靠的观测 结果 这些结果对于流动机理的研究和与流体运动有关的机械和飞行器的设计具 有不可替代的作用 但是 实验研究通常费用高昂 周期很长 而且有些流动条 件难以通过实验模拟 如航天飞行器周围的高速 高温流动 理论研究的优点 是可以给出具有一定适用范围的简洁明了的解析解或近似解析解 这些解析解对 于分析流动的机理和预测流动随参数的变化非常有用 其缺点是一般只能研究简 单流动模型 由于流体的运动具有强非线性 所研究问题的数学模型必须经过很 大

11、的简化 在这种条件下得到的解析解的适用范围非常有限 而且能够得到解析 解的问题也为数不多 远远不能满足工程设计的需要 随着高速电子计算机的出现 研究流体运动规律的 第三种方法 计算流体 力学应运而生 CFD 产生于第二次世界大战前后 在 20 世纪 60 年代左右逐渐 形成了一门独立的学科 由于 CFD 作为一门独立学科的历史还比较短 所以 我们不打算对 CFD 的发展历史作具体的描述 但是很显然 CFD 发展的主要动 因是利用高速电子计算机这一新的工具 克服理论研究和实验研究的缺点 深化 对于流体运动规律的认识并提高解决工程实际问题的能力 CFD 得到的是某一 特定流体运动区域内 在特定边界

12、条件和参数的特定取值下的离散的数值解 因 而 我们无法预知参数变化对于流动的影响和流场的精确的分布情况 因此 它 提供的信息不如解析解详尽 完整 在这一点 它于实验测量相近 所以 用 CFD 研究流动的过程也称 数值实验 但是 与理论流体力学相比 CFD 的突 出优点是它本质上可以研究流体在任何条件下的运动 在 CFD 中采用简化数学 模型的目的在于提高计算效率以及和计算机硬件水平相适应 如果计算机条件允 许 我们在求解任意复杂的流动问题时 都可以采用最适合流动物理本质的数学 模型 因此 CFD 使得我们研究流体运动的范围和能力都有了本质的扩大和提 高 在模拟极端条件下的流体运动的方面 和实验

13、测量相比 CFD 也显示了明 显的优势 同实验研究相比 CFD 还具有费用少 周期短的优点 今天 CFD 已经取得了和实验流体力学及理论流体力学同等重要的地位 流体力学的研究呈 现出 三足鼎立 之势 CFD 作为一个比较新的学科 还有其它一些鲜明的特点 首先 CFD 的发展及应用与计算机技术的发展直接相关 CFD 发展的一个基 本条件是高速 大容量的电子计算机 随着对 CFD 的了解的不断深入 我们将 对这一点有越来越清楚的认识 今天 计算机技术的迅速发展 已经使得采用 CFD 方法研究一些工程实际问题成为可能 例如 通过求解三维 Reynolds 平均 的 Navier Stokes 方程进

14、行对与流体运动有关的过程和装置的分析和设计正在 成为航空航天和其他工业领域的新的研究手段 最近 10 年以来 计算流体运动 的商业 CFD 软件不断涌现 极大的促进了 CFD 在工业领域的应用 但是 还有 很多问题 如高雷诺数条件下湍流的直接数值模拟 由于对于计算机速度和容量 的要求极高 目前和近期还无法用 CFD 方法解决 所以 计算机技术的发展 已经为 CFD 的广泛应用提供了一定可能 而 CFD 和其他基于大规模数值计算 的学科 的发展还不断对计算机技术的进一步提高提出新的要求 第二 CFD 与应用数学有密切的联系 CFD 中 要把流体力学基本方程中积 分和微分的运算化为离散的代数运算

15、这样 就产生了一系列的数学问题 1 离散的代数方程逼近原来的积分或微分方程的程度如何 数值解逼近微分或积 分方程精确解 如果存在的话 的程度如何 这些就是所谓 CFD 方法的精度和 4 误差估计问题 2 当离散点的数量趋近于无穷大 间距趋近于无穷小时 数值 解是否趋近于精确解 这就是所谓数值方法的收敛性问题 3 在计算机上 数 值计算是以有限的字长 有效数字 进行的 例如计算机不能无限精确的表示一 个无理数 因此 计算机得到的数值解是 近似的 数值解 由于机器字长有限产 生的误差称为 舍入误差 舍入误差对于数值计算结果的影响如何 是不是会无 穷增长以至于得不到有意义的数值解 这就是数值方法的稳

16、定性问题 4 在可 压缩流动中 会出现激波等间断现象 为了正确描述这一现象 必须对微分方程 解的定义进行扩充 扩充后的解称为广义解或弱解 那么 广义解和物理上的真 实解是什么关系 要保证广义解是有物理意义的真实解必须满足什么条件 这些 问题以及未列出的其他众多相关问题 都是应用数学研究的重要内容 也是 CFD 研究的中心内容 一方面 这些问题的研究已经取得了很多进展 并促进了 CFD 的迅速发展 另一方面 流体运动的基本方程是非线性的 数值方法也必须体现 非线性的特点 而涉及非线性的许多问题目前还没有很好的解决 比如非线性问 题的稳定性 收敛性和误差估计 一般意义下广义解的唯一性条件还是 CFD 和 应用数学研究的难点问题 由于 CFD 在理论上还不甚成熟 CFD 方法的发展很 大程度上依靠研究者的经验和直觉 所以有人认为 CFD 与其说是一门科学 还不如说是一门艺术 同时 由于一些涉及非线性的关键理论问题还没有解决 人们对于 CFD 计算结果的可靠性还有所怀疑 这也妨碍了 CFD 的广泛应用 第三 CFD 的发展在很大程度上依赖于实验和理论流体力学的发展 由于 缺乏对于数值解误差进行