西安交大电磁场理论讲义

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1、电磁场理论讲义电磁场理论教案教师目录目目目录录录I目录绪绪绪论论论0.1电磁场理论的研究内容在生产实践和科学研究中，存在大量与电磁现象相关的问题。在以前的学习中，我们有过如电压、电流等电路方面的概念，这些概念可以看作是对电学现象的一种宏观的认识-电压是电势差的表述，电流是大量带电粒子定向运动的结果。而电磁理论则是可以看作从微观的角度去解释这些现象：如电荷之间的相互作用力的规律是怎样的、电流的热效应是如何的。由于是从场的角度研究问题，所以是讨论电磁现象在空间的分布情况。0.2电磁场理论的研究方法1. 以实验定律作为基础，归纳出一些一般的定律。2. 从一般形式的规律（Maxwell方程）出发，演绎

2、各种特殊现象。3. 既注重物理意义，又注重数学演绎。（场论知识）1电磁场理论讲义第第第一一一章章章静静静电电电场场场1.1真空中的静电场1.1.1库仑定律（Coulombs Law）带电物体吸附其他物体的现象说明电荷的力学性质。库仑定律从实验中总结出真空中两个静止电电荷q1,q2之间相互作用力的定律为: O 1r2r 12rr F q1 q2 图图图 1-1:电荷之间的相互作用力F =q1q240r2 r1|r2 r1|3(1-1)其中F为q1对q2的力，0称为真空介电常数或真空电容率，其值约为8.854 1012F/m.1.1.2叠加原理（Linear Superposition）关于电荷之

3、间的相互作用力的实验规律还表明：一系列点电荷作为整体作用在某一特定点电荷上的电场力等于每个点电荷的电场力的矢量和。1.1.3电场（Electric Field）电荷之间的相互作用是通过一种中间媒质，以有限的速度传递过去的。电力是通过电场以光速来传递的。电荷在自身周围的空间要激发电场，电场对处于场中的其他电荷有力的作用。为了表征电场的特性，可以引入电场强度的概念。电场中某点电场强度定义为：在该处放置一个单位正的试验点电荷q0，其上所受到的电场力，即E =Fq0(1-2)1. 电场强度的单位为 V/m。2. 关于电场强度的定义不仅对静电场适用，对时变场也适用。2第一章静电场3. 虽然电场强度是通

4、过力来定义的，但是它和电场力是两个完全不同的物理量。电场是独立于试验电荷而存在的。结合库仑定律，容易得到真空中点电荷激发的电场E =q40r r|r r|3(1-3)其中r表示源点的位置，r表示场点的位置，它们是彼此独立的参量。如果令R = r r，R = |r r| =(x x)2+ (y y)2+ (z z)2，则真空中点电荷的电场还可以表示为E =q40RR3(1-4)对于N个点电荷所组成的系统，根据叠加原理，空间任意一点的电场为E =Ni=1qi40RiR3i(1-5)1.1.4电荷密度（Charge Density）体电荷密度实际中，电荷不会集中于一个点上，而总是分布在一定的空间。物

5、质结构的理论表明，带电体的总电荷应该是某一基本电荷的整数倍。即电荷量不是连续变化的。但是对于实际中的宏观物体，其带电量总是远远大于基本电量，因此可以把电荷的离散分布近似用它的连续分布代替。这样，就可以引入电荷密度的概念 =limV0qV=dqdV(1-6)注意此时V应有1. 在宏观上足够小，V以内的电荷可以看作均匀分布。2. 在微观上足够大，V以内包含有足够多的电荷。当引入电荷密度的概念以后，对于一个体分布带电体，可以看作许多(r)dV的叠加，从而由叠加原理的它产生的电场为E =140V(r)RR3dV(1-7)面电荷密度虽然电荷的真实分布是体电荷分布，但是实际中会遇到电荷分布于厚度可以忽略的

6、面积上，此时可以引入面电荷密度s=limS0q(r)S=dq(r)dS(1-8)3电磁场理论讲义或者dq = sdS(1-9)线电荷密度与面电荷密度类似，如果电荷沿横截面可以忽略的线型区域分布时，就存在线电荷密度，定义为单位长度上的电荷量l= liml0ql=dqdl(1-10)或者dq = ldl(1-11)综上三种情况，对于任何电荷分布，可以把它们分成许多元电荷dq，而把每一元电荷看成点电荷，位于r处的元电荷dq在场点r引起的电场强度为dE =dq40r r|r r|3(1-12)应用叠加原理，全部电荷在场点r引起的场强为E =140r r|r r|3dq(1-13)例例例 1: 求线电荷

7、密度为l均匀分布的无限长电荷在真空中引起的电场. z dE dE o dq P 图图图 1-2:均匀分布的线电荷如取圆柱坐标系并将线电荷置于z轴，则电场将为轴对称且与z无关。由与电场E于圆柱坐标中的z,均无关，因此可以在z = 0, = 0的轴上取一场点而不失一般性。考虑z处的元电荷dq = ldz，由对称性可知电场仅存在方向的分量，故而只考虑元电荷产生的电场在方向上的分量dE= dE cos =140l(z)dzR2cos =ldz40R2R=ldz40(2+ z2)3/2(1-14)4第一章静电场从而有E=dE=l40+dz(2+ z2)3/2=l20(1-15)或者E =l20a(1-

8、16)1.1.5点电荷的数学表述-狄拉克函数（Dirac Delta Function）点电荷可以视为一个体积很小而密度很大的带电球体的极限。为了从数学描述点电荷的电荷密度，可以使用狄拉克函数的概念。我们注意到点电荷的分布具有如下的性质：除了在电荷所在的点外，电荷密度为零。整个空间的电荷总量为电荷带电量。与点电荷的这两个性质相对应，我们引入具有如下性质的一维狄拉克函数对于x = a有(x a) = 0。如果积分区域包含x = a这一点，则(x a)dx = 1。对于三维情况，在直角坐标系中，有(r r0) = (x x0)(y y0)(z z0)(1-17)三维狄拉克函数具有如下性质：

9、对于r = r0有(r r0) = 0。如果积分区域V包含r0这一点，则V(r r0)dV= 1引入上述狄拉克函数后，点电荷的电荷的电荷密度可以表示为(r) = q(r r0)(1-18)对于N个分离点电荷，电荷密度分布可以表示为(r) =Ni=1qi(r ri)(1-19)狄拉克函数还具有如下重要性质 (x) = (x) 对于包含x = a的区间，有f(x)(x a)dx = f(a)（筛选性质）。对于包含x = a的区间，有f(x)(x a)dx = f(a)借助狄拉克函数，我们还可以表示出线电荷和面电荷密度。例如对于在z = 0的平面上密度为s的面电荷可以表示为s(z)，而位于z轴

10、的密度为l的线电荷可以表示为l(x)(y)。5电磁场理论讲义1.2静电场的散度与旋度1.2.1高斯定理(Gausss Law)人们曾经用电力线的概念来描述电场，电力线的切线方向表示电场的方向，电力线的密度表示电场强度的大小。而从数学上可以用电场在某一面上的通量来表示电力线的密度，即E dS。下面我们考虑点电荷产生的电场在空间某一面上的通量。如图 1-3所示，电场在面元dS上的通量为 d n E dS q 图图图 1-3:点电荷在面元上的通量E dS = E ndS =q40cosr2dS =q40d(1-20)其中d为面元dS对点电荷所张的空间角。如果我们选择一个封闭的简单曲面进行积分，则有I

11、SE dS =q/0if q lies inside S0if q lies outside S(1-21)式 (1-21)为单个点电荷积分形式的高斯定理。对于多个电荷，由叠加原理容易得到IE dS =10iqi(1-22)其中qi是位于S内部的电荷。而对于连续分布的体电荷，有IE dS =10V(r)dV(1-23)这就是积分形式的真空中的高斯定理。上面的高斯定律是通过库仑定律导出的，它适合于静电场的情况。其直观物理图像是单位电荷激发1/0根电力线，它反映的电荷和电力线的关系，即使在运动电荷的一般情况下，实验和理论分析都没有发现不符合的地方。也就是说，在普遍的情况下，无论是静止的还是运动的电

12、荷，高斯定理都成立。6第一章静电场1.2.2静电场的散度(divergence)由积分形式的高斯定理，结合散度定律V EdV =HSE dS可以得到V( E /0)dV = 0(1-24)由于上式对于任何体积V 都成立，我们可以得到 E =0(1-25)这就是微分形式的高斯定律。与积分形式的高斯定律一样，它也是在普遍的情况下成立。静电场的散度还可以直接通过对式（1-7）求散度得到。其中我们需要用到关于R的运算(1R)=RR3(1-26)2(1R)=4(r r)(1-27)式（1-7）可以写为E(r) = 140V(r)(1R)dV(1-28)两边取散度得到 E = 140V(r)2(1R

13、)dV=10V(r)(r r)dV=(r)0(1-29)例例例 2: 半径为a的球内，均匀分布着电荷，总电量为q，求各点的电场，并计算电场E的散度（课本第7页）。 a r 高斯面图图图 1-4:高斯面解解解: 采用球坐标系，置球心与坐标原点。由于电荷分布的对称性，电场E只有r方向上的分量，并且在与带电球同心的球面上电场E的值处处相同。因此，7电磁场理论讲义图图图 1-5:球坐标系可以取半径为r的同心球面为高斯面，如图 1-4所示。高斯面上各点与面元dS的方向相同。于是，利用积分形式的高斯定理有ISE dS = ErISdS = 4r2Er=qin0(1-30)其中qin为高斯面内电荷的总量

14、。当r a时有qin= q；而当r a时，有qin=qr3/a3，从而有4r2Er=q0ifr aqr30a3ifr a(1-31)从而得到电场为E =qr40r3r aqr40a3r a时Er= q/40r2，所以 E =1r2r(r2q40r2) = 0(1-34)当r a时，Er= qr/40a3 E =1r2r(r2qr40a3) =q043a3=q0Vball(1-35)显然，与微分形式的高斯定理得到的结论一致。1.2.3静电场的旋度(curl)式（1-25）给出了场的散度，但是仅仅知道场的散度却不能唯一的确定场。场论知识告诉我们，只有同时知道了场的散度和旋度才能将场确定下来。因此，

15、我们在这里考察静电场的旋度。8第一章静电场借助于前面我们已经得到的式（1-28），我们有E(r) = 140V(r)(1R)dV= (140V(r)RdV)(1-36)即静电场可以写成某一标量的梯度，而根据 = 0的结论，我们有 E = 0(1-37)称为微分形式的静电场环路定理，该式表明：静电场是无旋场。如果将式 (1-37)两端在开放曲面S上积分，并利用斯托克斯定理(Stockesstheorem)S E dS =HCE dl得到ICE dl = 0(1-38)该式为积分形式的静电场环路定理,它表明：静电场为保守场。1.3介质中的静电场(课本22页)1.3.1介质的极化(polariz

16、ation)电偶极子讨论有电介质存在的电场时，常常用到电偶极子这一概念。电偶极子是指相距很近的两个符号相反而量相等的电荷。电偶极子在其周围引起电场，同时在外场中也受到力的作用。由于电偶极子相距很近，可以认为场点到偶极子中心的距离比起正负电荷间的距离要大得多。对于一个偶极子，人们通常用它的电偶极矩(dipole moment)p表征其特性，p = qd，方向从负电荷指向正电荷。极化电介质的分子可以分为两大类，一类是非极性分子，其分子内部所有正负电荷作用中心重合；另一类是非极性分子，其分子内部所有正负电荷中心不重合而形成一个偶极子。在没有外场的情况下，无论那一种分子，就电介质的一部分体积来看，它们

17、所有分子的等效偶极子的电偶极矩矢量和都为零。在外场的作用下，非极性分子的正负电荷的作用中心发生相对位移，极性分子的电偶极矩发生转向，这时它们的等效偶极子的偶极矩矢量和便不再为零。这种情况被称为电介质的极化。极化的结果是使束缚电荷的分布发生变化，从而在介质内部或者表面形成极化电荷。极化电荷与自由电荷一样，都会引起电场强度。为了描述极化的状态，我们引入极化强度矢量P，定义为单位体积元内V 总的电偶极矩与V 之比。P =ipiV(1-39)9电磁场理论讲义由于极化强度是由外加电场引起的，故而P一定和外电场E有关。实验指出，对于各向同性线性介质，P = e0E(1-40)e称为电极化率。极化电荷当介质

18、在电场下被极化时，如图 1-6所示，其内部的束缚电荷将重新分布，从而有可能出现在一定的体积内正负电荷不完全抵消的情况，即在一定区域内产生束缚电荷，称为极化电荷。? ?图图图 1-6:极化电荷如图 1-6所示，在介质中任意取一体积V ，其内的束缚电荷Qp是极化时由V 外通过界面S移进来的。令每个分子的正电荷q都位移了l，则通过面元dS移进V 内的束缚电荷为dQp= Nql dS = P dS(1-41)其中N为单位体积的分子数。P = Nql为极化强度。对整个曲面进行积分可以得到总的束缚电荷Qp= ISP dS =VpdV(1-42)其中p为极化电荷密度。由高斯定理很容易得到极化电荷密度p= P

19、(1-43)可以看出，只有当P非常数，即介质非均匀极化时，才会产生体极化电荷。在介质的分界面上，P一般不连续，因而不能进行简单的微分运算。而通常在分界面上产生面极化电荷，假设其密度为sp。如图 1-7所示，在界面上作一扁平的柱状盒子。盒子高h，上下底面积为S。h和S都很小，可以认为在底面上极化强度是均匀的。将式 (1-42)应用于盒子内，则得到盒内总的极化电荷为Qp= phS，当h 0时，就得到面极化电荷Qsp/S = sp，而此时IVP dS = (P2 P1) nS = spS(1-44)10第一章静电场 n P2 P1 h 1 2 S 图图图 1-7:面极化电荷密度从而得到极化强度所

20、满足的边界条件sp= (P2 P1) n(1-45)其中n为分界面上介质1指向介质2的法向单位矢量。如果介质2为真空，则P2=0，则有处于真空中的电介质表面的面极化电荷密度为sp= P n(1-46)处于真空中的一个电介质，设其内电极化矢量为P(r)，则其体极化电荷密度为p= P(r)，面极化电荷密度为sp= P(r) n。从而总的极化电荷为Qp=ISspdS +VpdV =ISPndS VPdV =IPdSIPdS = 0(1-47)其中最后一步运用了散度定律。可见总的极化电荷为零，遵守电荷守恒定律。极化电流当外电场随时间发生变化时，极化电荷也会随时间发生变化，从而在介质内部形成极化电流。根

21、据电荷守恒定律ISJpdS = QptVJpdV +Vpt= 0 VJpdV VPtdV = 0(1-48)从而得到极化电流密度与极化强度的关系Jp=Pt(1-49)1.3.2电位移矢量（electric displacement）虽然极化电荷与自由电荷的来源不同，但它们都能够激发电场。如果把介质中的极化电荷与自由电荷全部考虑进去，则可以把真空中电场的结果推广到介质中。由高斯定律的微分形式 (1-25)可以得到 E = ( + p)/0(1-50)11电磁场理论讲义其中为自由电荷，而p为极化电荷。结合极化电荷体密度的表达式有 E = ( P)/0(1-51)或者 (0E + P) = (1-5

22、2)等式右边仅仅出现自由电荷。由于极化电荷不是预先给定了，为了处理方面，我们引入一个新的矢量D = 0E + P(1-53)称为电位移矢量，它的单位为C/m2。结合式 (1-40)有D = 0E + 0eE = 0(1 + e)E = 0rE = E(1-54) = r0称为介质的介电常量，而r= 1 + e称为相对介电常量。对电位移矢量有 D = (1-55)这就是介质中高斯定律的微分形式。其对应的积分形式是ISD dS =VdV(1-56)其中为自由电荷。1.4电场的边界条件1.4.1电位移矢量D的边界条件 n D2 D1 h dS 1 2 图图图 1-8:电位移矢量的边界条件电位移矢量的

23、边界条件可以类似与面极化电荷密度的方法得到。在界面上作一扁平的柱状盒子。盒子高h，上下底面积为dS。h和dS都很小，可以认为在底面上电位移矢量是均匀的。将式 (1-56)应用于盒子内，则得到盒内总的自由电荷为Q =HD S，当h 0时，自由电荷Q = sdS，而此时HD S = (D2 D1) dS从而得到n (D2 D1) = s(1-57)在没有自由电荷的界面上，有D1n= D2n(1-58)12第一章静电场1.4.2电场强度矢量E的边界条件为了得到E的边界条件，我们在分界面上取一个扁平回路C。如图 1-9所示，回路一边在介质1中，另一边在介质2中，两边都平行且紧贴界面。两头用垂直与界面

24、的短线h连接起来。设两边长l很小，在每个边上电场强度均匀。在回路C上运用静电环路定理，得到 h E2 E1 n t 2 1 C t 图图图 1-9:电场强度矢量的边界条件ICE dl = 0(1-59)当h 0时，有E1 tt E2 tt = 0(1-60)从而得到电场强度在边界上的满足条件E1t= E2t(1-61)或者n (E1 E2) = 0(1-62)1.4.3理想导体边界条件所谓理想导体是指其电导率为无穷大的导体，根据欧姆定律J = E，在导体内部电场强度E必定为零(同时D也为零)。前面的边界条件中，如果我们假设介质1为理想导体，并去掉下标，则有n D=sn E=0(1-63)其中s

25、为导体表面的面电荷密度，n为导体外法线方向的分量。例例例 3: 有一内、外半径分别为a和b的空心介质球，介质的介电常数为1，使介质均匀带电，其电荷密度为0，求:(1)空间各点的电场。(2)极化电荷体密度和极化电荷面密度(课本第32页)。13电磁场理论讲义 0 a b o 图图图 1-10:介质壳解解解：(1)由对称性，电场及电位移矢量均只有r方向的分量。取以o为球心的球面作为高斯面，利用高斯定理得到HD dS =VdV 在r b时4Drr2=43(b3 a3)0(1-68)从而Dr=b3 a33r20,Er=b3 a330r30(1-69)(2)为求极化电荷密度，首先计算电极化矢量Pr= Dr

26、 0Er，显然只有在a r 0的半空间的电势是点电荷q和导体面上的感应电荷共同产生的。导体面为接地面。导体面上的感应电荷对z 0的空间场的贡献可以用z 0空间中的一定电荷分布来代替。很容易想到，在原点电荷的镜像位置上放置一q，就可能满足边界条件。当引入镜像电荷而去掉边界后，整个空间的电势可以写为(x,y,z) =140qx2+ y2+ (z h)2qx2+ y2+ (z + h)2(1-105)由于镜像电荷位于z 0的半空间，场所满足的方程没有发生变化。而在边界上，容易得到(x,y,0) = 0，满足原题的边界条件。从而原求解区域内，静电势的解即为 (1-105)。20第一章静电场 q -q

27、 z 图图图 1-13:点电荷的镜像导体板上感应电荷的分布可以通过边界条件s= D n得到s= 0z|z=0= qh2(x2+ y2+ h2)3/2(1-106)当边界不仅仅是一个简单的平面，而包含多个平面时，可能需要引入多个镜像电荷。镜像电荷的引入方法类似于光学中的成像过程。镜像电荷的位置处于像点处；而电荷的符号取决于像是通过几次反射的形成的。如果通过奇数次反射，则于原电荷符号相反，否则与原电荷相同。例例例 10: 有两个相交的接地导体平板，其夹角为。若在所夹的区域内有一点电荷q，求在下列情况下所夹区域内的电位：(1) = /2; (2) = /3。(课本95页)解解解(1) = /2的情况

28、下，如图 1-14所示，需要在1，2，3位置分别引 q -q -q q R1 R2 R3 R 1 2 3 图图图 1-14:点电荷的镜像入q,q,q三个镜像电荷。由对称性不难看出，在引入镜像电荷后，整个空间的电势在金属板所在位置为零，满足题设边界条件。因而在求解空间的电势为 =q40(1R1R1+1R21R3)(1-107)(2) = /3的情况下，如图 1-15所示，需要在1，2，3，4，5位置分别引入五个镜像电荷。由对称性不难看出，在引入镜像电荷后，整个空间的电势在金属板所在位置为零，满足题设边界条件。因而在求解空间的电势为 =q40(1R1R11R2+1R3+1R41R5)(1-10

29、8)21电磁场理论讲义 q q q -q -q -q 1 2 3 4 5 图图图 1-15:点电荷的镜像一般来说，只要 = /n，其中n为自然数的情况，都可以用镜像电荷法求解。此时像电荷的个数为n 1。若不满足这个条件，镜像电荷会出现在求解的区域内，一般不能用镜像电荷法求解。关于点电荷对导体平面的像还可以推广到线电荷对接地导体平面的镜像。例例例 11: 在z = 0的无限大接地导体板的一侧z = h处放置一平行于平面的长直导线，设其线电荷密度为l，求空间电势分布。(课本96页)解解解：根据镜像电荷法，在与l对称的位置上放置一镜像电荷l。取两电荷连线中点处电势为零，根据式 1-93于是两线电荷产

30、生的电势分别为+=l40lnhR+=l40lnhR(1-109)其中R+=x2+ (z h)2,R=x2+ (z + h)2从而在z 0的区域电势为 = + =l40lnRR=l40lnx2+ (z + h)2x2+ (z h)2(1-110)上面讨论的都是导体与介质分界面为平面的情况，下面讨论介质与介质的分界面为平面的例子。例例例 12: 设介电常数分别为1和2的两种介质，各均匀充满办无限大空间，两者的分界面为平面。在介质1中有一点电荷，求整个空间任意一点的电势。(课本96页)解解解：在点电荷电场的作用下，介质分界面上将会出现极化电荷分布。虽然极化电荷和感应电荷的物理机制不同，但是从产生场的

31、效果来看，用镜像电荷22第一章静电场来等效地代替极化电荷还是可能的。在相同的原电荷分布的条件下，无论是导体还是介质，其上出现电荷的分布都是类似的。现不妨认为镜像电荷的位置和导体界面时相同，而大小则由边界条件来确定。 z x q 1 2 O h z x q 1 2 O h z x q+q” 1 2 O h q P R R P R” (a) (b) (c) 图图图 1-16:介质镜像介质分界面将空间分为两个区域1和2，如图 1-16(a)所示，电势满足21=q1(x,y,z h),(z 0)22=0,(z 0)(1-111)在介质分解面上1= 2,11z= 22z(1-112)先讨论区域1。为了

32、不改变电势所满足的方程，以界面为对称面，在原点电荷的对称位置用一镜像电荷q来代替界面上的极化电荷，同时认为此时整个空间充满介质1，如图 1-16(b)所示。因此区域1内任意一点的电势为1=q41x2+ y2+ (z h)2+q41x2+ y2+ (z + h)2(1-113)对于区域2，仍采用等效电荷代替界面上的极化电荷。为了保持区域2电势所满足的方程不变，镜像电荷应该放在区域1内，如图 1-16(c) 所示。将镜像电荷q”放置在与q相同的位置上，同时认为整个空间充满介电常数为2的介质，于是区域2内任意一点的电势为2=q + q”42x2+ y2+ (z h)2(1-114)q，和q”的值由边

33、界条件来确定。在界面z = 0处，由1= 2有11(q + q) =12(q + q”)(1-115)又由11z= 22z有q= q”(1-116)23电磁场理论讲义联合两式得到q= q” =1 21+ 2q(1-117)根据上述结果，可以得到空间的电势分布为1=q41x2+ y2+ (z h)2+(1 2)q41(1+ 2)x2+ y2+ (z + h)22=q2(1+ 2)x2+ y2+ (z h)2(1-118)1.6.2球面镜像法例例例 13: 一接地金属球前放置一个点电荷q,如图 1-17所示，求球外电势分布。(课本100页) r R R q q h h P z 图图图 1-17:球

34、面镜像解解解：球外的电势是由点电荷q和球面上的感应电荷共同产生的。球面上感应电荷在球外产生的场可以用球面内一定的镜像电荷来代替，其条件是镜像电荷与原点电荷产生的电势在导体球面上应是电势为零的等势面。由于z轴是球面电荷分布的对称轴，可在球面内z轴上试取一镜像电荷q，其位置距离球心h，这样球外任意一点的电位为=140(qR+qR)=140(qr2+ h2 2rhcos+qr2+ h2 2rhcos)(1-119)对于球面上任意一点，有q2(a2+ h2 2ahcos) = q2(a2+ h2 2ahcos)(1-120)要使上式对球面上任一点成立，则对任何都成立，只有等式两端关于的相应项系数相等，

35、由此可以得到q2(a2+ h2)=q2(a2+ h2)q2h=q2h(1-121)求解可以得到h=a2h,q= ahq24第一章静电场h= h,q= q(1-122)后一组解表示镜像电荷在球外，应当舍去。于是球外任意一点的电位为 =q40(1r2+ h2 2rhcos1a2+ (rh/a)2 2rhcos)(1-123)知道的电势分布后，就可以得到导体面上的感应电荷密度s= 0r?r=a= q4a2(ah)1 a2h2(1 +a2h2 2ahcos)3/2(1-124)由此可见，球面上的感应电荷均为负值。当 = 0也就是距离点电荷q最近时，电荷密度最大，当 = 时，距离点电荷最远时，电荷密度

36、最小。球面上总的感应电荷可以通过面电荷积分得到，其结果为q。这与高斯定律的结论是一致的。上面讨论的是假定点电荷q位于球外的情况。对于点电荷q在球内的情况，可以把q看作原电荷，而q看作镜像电荷。此时边界条件仍然是满足的。而求解镜像电荷的公式仍然为h= a2/h,q= aq/h。关系与点电荷位于球内的结果一致。因此我们把q,q所在的两点称为共轭点。例例例 14: 在例 13中，如果:(1)导体球为带电量Q的孤立球(2)导体球的电势为U。其余条件不变，分别求这两种情况下的电势分布。(课本102页)解解解：(1)当引入镜像电荷q时，可以满足导体球面为接地面。而为了使得导体球带电量Q，则需要进一步引入镜

37、像电荷q”，等效导体球上的电量Q。引入q,q”后，导体球外总的电场为E = Eq+ Eq+ Eq”(1-125)从而由导体面的边界条件得到导体球面总的电荷为Q = 0IEdS = 0IEqdS+0IEqdS+0IEq”dS = q+q” (1-126)从而镜像电荷q” = Q q。同时，镜像电荷q”的引入不能破坏导体球面为等势面的边界条件，故而q”应位于球心，故而球外任意一点的电势为 =140(qR+qR+Q qr)(1-127)此时孤立带电导体对点电荷q的作用力大小为q,q”对q的静电作用力，为F =q240h2Qqa3(2h2 a2)h(h2 a2)2(1-128)25电磁场理论讲义当h

38、a时，方括号中第二项可以忽略，这时作用力就项两个点电荷的库仑力。当h a时，方括号中第二项的值可能超过第一项，使得力变为吸引力。此时不论Q多大，符号如何，由于球面感应电荷的影响，使得孤立带电导体表面附近的力总是吸引力。这说明了金属表面的剩余电荷不会因为同号电荷的相互排斥而立刻离开表面。只有外界对某一部分电荷做了足够的功，才能克服这种吸引力而脱离金属表面。金属的功函数主要时为了克服这种吸引力使电子离开金属表面所作的功。(2)当金属的电势为U0时，镜像电荷q”应该使得金属表面的电势为U0。而等势面的条件仍然可以确定q”位于球心，只是其大小应该满足条件|r=a= U0，得到q” = 40aU0，从而

39、金属球外电势为 =140(qR+qR)+aU0r(1-129)1.7分离变量法(Separation of Variables)1.7.1正交函数(Orthogonal function)及其展开很多的静电问题以及其它类型的物理问题很难直接得到解析解，此时，通过级数的形式将解写成一系列正交函数之和是一种被经常用到的方法。傅立叶级数就是这一应用的典型实例。具体的展开形式很大程度上取决于边界的情况。为了介绍该类方法在静电学中的应用，我们首先讨论对该类方法的一般形式作一介绍。我们考虑在区间(a,b)内，自变量为x的一系列函数Un(x),n =1,2,（其值可能为实数，也可能是复数）这些函数在区间(a

40、,b)上平方可积且满足正交归一化性质baUn(x)Um(x)dx = mn(1-130)其中归一化性质可以通过给函数乘上适当的系数得到。对区间(a,b)上任意一个平方可积的函数f(x)，可以把它展开乘正交函数Un(x)的级数的形式。假设使用了有限值项(N)，即f(x) Nn=1anUn(x)(1-131)则我们需要知道当如何选择an时，我们的展开式最接近原来的函数。我们将最接近定义为两者差异的平方积Mn最小MN=ba?f(x) Nn=1anUn(x)?2dx(1-132)通过一定的计算，我们得到系数满足的条件为an=baUn(x)f(x)dx(1-133)26第一章静电场上式正是正交函数展开

41、系数的标准形式。如果我们将展开使用的项数增加，我们可以预想其结果将变得更加接近。当我们所选择的正交函数积是完备的(complete)时，这一结论是正确的。我们不去讨论怎样的函数积才是完备的，在实际过程中，我们涉及到的函数积总是正交完备的。如果展开的项数区域无穷大，此时有f(x) =n=1anUn(x)(1-134)称级数收敛于f(x)。将式 (1-133)和式 (1-134)相结合，可以得到f(x) =n=1(baUn(x)f(x)dx)Un(x) =ba(n=1Un(x)Un(x)f(x)dx(1-135)由于上式对任意的函数f(x)成立，我们可以得到n=1Un(x)Un(x) = (x x

42、)(1-136)1.7.2矩坐标系中拉普拉斯方程的解在静电学中有一类问题，自由电荷仅仅分布在导体表面上，而在求解区域中没有体电荷的分布，这时静电问题就简化为根据边界条件求解拉普拉斯方程的问题。当边界与某一坐标面一致时，用分离变量法求解拉普拉斯方程时方便的。分离变量法可以分为两步：第一步时在选定的坐标系下求解拉普拉斯方程的通解，第二步是根据给定的边界条件来确定所得到的通解中的待定系数。在矩坐标系中，拉普拉斯方程的形式为2x2+2y2+2z2= 0(1-137)假设其解可以分离变量为(x,y,z) = X(x)Y (y)Z(z)(1-138)代入方程后，两边同时除以(x,y,z)得到1X(x)d2

43、Xdx2+1Y (y)d2Ydy2+1Z(z)d2Zdz2= 0(1-139)由于上式中三部分分别仅仅是x,y,z的函数，而其和为零，故而只有当三部分同时为常数是才能成立1Xd2Xdx2= 2,1Yd2Ydy2= 2,1Zd2Zdz2= 2(1-140)27电磁场理论讲义其中,称为分离常数，它们满足条件2+ 2= 2。上述三个方程的通解为X(x)=Acosx + B sinxY (y)=C cosy + DsinyZ(z)=F coshz + Gsinhz(1-141)值得注意的是，式中,可以是实数，也可以是虚数。当是虚数时，X函数将是sinh,cosh的形式。实际上，直角坐标系中变量x,y,

44、z是平等的。此外，如果 = 0, = 0，则有X = m1+ m2x,Y = m3+ m4y,Z = m5+ m6z(1-142)这些解在需要时可以补充进去。如果电位与某个变量（例如z）无关，则拉普拉斯方程可以简化为2x2+2y2= 0(1-143)设(x,y) = X(x)Y (y)，则有1Xd2Xdx2+1Yd2Ydy2= 0(1-144)得到二维拉普拉斯方程的通解为(x,y) = (m1+ m2x)(m3+ m4y) + (Acoshx + B sinhx)(C cosy + Dsiny)(1-145)需要指出的是，有时需要将sinh,cosh换成指数。以上解中各系数需要由边界条件确定。

45、例例例 15: 有一根长矩形金属管沿z轴放置，在x = 0的一侧保持/n = 0 ,x = a的一侧保持电位为U0，而在y = 0,y = b的上下底均接地。求金属管内的电势分布。(课本67页) 0=n 0= 0= 0U= a b x y 图图图 1-18:二维分离变量法解解解：由于是二维问题，电势的通解为式 (1-145)，其中系数由边界条件确定。28第一章静电场1. 在y = 0,0 x a处，有 = 0. 由此条件可以得到m3= 0;C = 0，所以 = (m1+ m2x)m4y + (Acoshx + B sinhy)Dsiny(1-146)2. y = b,0 x a处，有 = 0

46、.得到m4= 0,sinb = 0，所以n=n/b,(n = 1,2,)，所以 =n=1Dnsin(nby)Ancosh(nbx)+ Bnsinh(nbx)(1-147)3. 在x = 0,0 y b处，有/x = 0. 由此条件可以得到Bn= 0，所以 =n=1AnDncosh(nbx)sin(nby)(1-148)4. 在x = a,0 y b处， = U0，有U0=n=1AnDncosh(nba)sin(nby)(1-149)上式正是U0的傅立叶正弦级数，上式两端同乘以sin(mby),并在区间(0,b)，上积分，利用三角函数的正交性可以得到AnDn=2U0bcosh(nab)basin

47、(nby)dy =0,n even4U0n cosh(nab),n odd(1-150)于是管内电势分布为 =4U0nodd1ncosh(nab) cosh(nbx)sin(nby)(1-151)01234500 . 511 . 522 . 53 图图图 1-19:等电势线29电磁场理论讲义 y x b b/2 =U0 =0 图图图 1-20:例 16图例例例 16: 如图1-20所示，有两块一端弯成直角形的导体板相对放置，中间留有一小缝。设导体在x轴和z轴方向上远大于两导体板间的距离b，上导体板的电位为U0，下导体板接地，求两板间的电势分布。(课本68页)解解解：由于电势与z无关，所以为二

48、维问题。同时由于求解区域在+x方向上无限大，该方向上应该选取指数关系，电势的通解为 = (m1+ m2x)(m3+ m4y) + (Acosy + B siny)(Cex+ Dex)(1-152)系数由边界条件确定1. 当x +时，趋于平板电容的电势，即 U0y/b 因此C = 0,同时关于x,y的线性部分应为U0y/b，即 =U0by + (Acosy + B siny)Dex(1-153)2. 在y = 0,x 0处， = 0 由此得到A = 0，所以 =U0by + BDsinyex(1-154)3. 在y = b,x 0处， = U0由此可以得到sinb = 0,即n= n/b,(n

49、=1,2,)，因此有 =U0by +n=1Ansin(nby)enxb(1-155)4. 在x = 0处，当0 y b/2时， = 0，当b/2 y b时， = U0由此条件得到n=1Ansin(nby)=U0y/b,0 y b/2U0 U0y/b,b/2 y b(1-156)将右边的函数在(0,b)展开成傅立叶级数，即得到系数An=2U0ncosn2(1-157)30第一章静电场即得到电势分布为 =U0by +2U0n=11ncosn2sin(nby)enxb(1-158)实际上，该题可以有严格的解析解，为 =U02U0arctan(1tanhxbtanyb)(1-159)01234500

50、.511.522.53 图图图 1-21:等电势线1.7.3圆柱坐标系中的拉普拉斯方程的解在圆柱坐标系中，电势满足的拉普拉斯方程为1rr(rr)+1r222+2z2= 0(1-160)设其可以分离变量为 = R(r)()Z(z)(1-161)从而得到1rRddr(rdRdr)+1r2d2d2= 1Zd2Zdz2(1-162)要使上式对一切r,z都成立，则只有两端同时等于一常数，令常数为k2，则有d2Zdz2 k2Z = 0(1-163)rRddr(rdRdr)+ k2r2= 1d2d2(1-164)为了使上式对一切r,都成立，只有两端同时等于一常数，设为n2，则有d2d2+ n2 = 0(1-

51、165)31电磁场理论讲义rRdRdr(rdRdr)+ k2r2 n2= 0(1-166)方程 1-163和 1-165的通解为Z(z)=Acoshkz + B sinhkz()=C cosn + Dsinn(1-167)同时，由于关于应该式以2为周期的函数，故而n只能取整数。方程 1-166的通解是R(r) = FJn(kr) + GnYn(kr)(1-168)其中Jn(r)和Yn(r)分别为n阶第一类和第二类贝赛尔(Bessel)函数。由于这两个函数比较复杂，我们不予过多的介绍。实际中经常能够遇到的一种情况是电势与z无关，此时k = 0，此时方程的通解为 = m1+ m2lnr +n=1r

52、n(Ancosn + Bnsinn) + rn(Cncosn + Dnsinn)(1-169)例例例 17: 一介电常数为，半径为a的长圆柱放置在一真空匀强电场E0中，圆柱体的轴与电场垂直。求圆柱内外电势分布。(课本75页) x E0 P(r,) 图图图 1-22:电场中的介质棒解解解：根据分界面与坐标面一致的要求，选取圆柱轴为z轴的圆柱坐标系并使E的方向为 = 0的方向。柱内外电势为由原电场产生的电势与极化电荷产生的电势之和，原电场产生的电势为E0rcos。由于柱内外的电场均与z无关，则其电势1和2的通解为应为1-169式的形式。由于场关于 = 0对称，因此不包含正弦项，故而有1= m1+

53、m2lnr +n=1Anrncosn + Cnrncosn(1-170)32第一章静电场2= m1+ m2lnr +n=1Anrncosn + Cnrncosn E0rcos(1-171)各系数由边界条件确定1. 在r = 0处，1有限，得到m2= 0,Cn= 0，即1= m1+n=1Anrncosn(1-172)2. 当r 时，2 E0rcos 由此可以得到m1= 0,m2= 0,An= 0，即2= E0rcos +n=1Cnrncosn(1-173)3. 在分界面r = a处，有1= 2和1r= 02r从而有m1+n=1anAncosn = E0acos +n=1anCncosn(1-1

54、74)n=1nan1Ancosn = 0E0cos 0n=1na(n+1)Cncosn(1-175)比较以上两式两边cosn,sinn的系数可以得到m1=0A1=20E0 + 0C1=( 0 + 0)E0a2An=Cn= 0(n = 1)(1-176)所以圆柱内外的电势为1=20 + 0E0rcos2=E0rcos +( 0 + 0)E0a2rcos(1-177)1.7.4球坐标系中拉普拉斯方程的解(不作要求)在球坐标系(r,)中电势所满足的拉普拉斯方程为1r2r2(r) +1r2sin(sin)+1r2sin222= 0(1-178)33电磁场理论讲义xyz图图图 1-23:球坐标系设其解可

55、以分离变量为 = R(r)()()，代入到上述方程中得到sin2Rddr(r2dRdr)+sindd(sindd)= 1d2d2(1-179)欲使上式对一切r,都成立，只有两端都等于一个常数，令其为m2，则有d2d2+ m2 = 0(1-180)1Rddr(r2dRdr)= 1sindd(sindd)+m2sin2(1-181)欲使方程 (1-181)对一切r,都成立，只有两端都等于一个常数，令其为l(l +1)，于是有ddr(r2dRdr) l(l + 1)R = 0(1-182)1sindd(sindd)+l(l + 1) m2sin2 = 0(1-183)方程 1-180的通解为() =

56、 Fmcosm + Gmsinm(1-184)由于当变为 + 2时，值相同，得到m只能取整数。方程 1-182的通解为R(r) = Alrl+ Blr(l+1)(1-185)方程 (1-183)中，对自变量作如下替换： = arccosx，方程变为ddx(1 x2)ddx+l(l + 1) m21 x2 = 0(1-186)34第一章静电场该方程称为缔合勒让德(generalized Legendre)方程。它的通解比较复杂。这里我们仅仅讨论简单的情况，即关于z轴对称，于无关的情况，此时m = 0.方程 (1-186)变为ddx(1 x2)ddx+ l(l + 1) = 0(1-187)该方

57、程称为l次勒让德方程(Legendre)。由于在实际中，要求在x = 1处有界，此时只有当l为0,1,2,时方程才有解，对应的解为勒让德多项式Pl(x)，可以写为(Rodgrigues formula)Pl(x) =12!l!dldxl(x2 1)l(1-188)容易看出l次勒让德多项式中x的最高次幂为xl，且级数阶勒让德多项式仅仅包含x的奇数次幂，偶数阶仅仅包含偶数次幂。勒让德多项式在区间1,1上满足正交关系11Pl(x)Pl(x)dx =22l + 1mn(1-189)对于1,1上的函数f(x)可以展开成勒让德函数的级数f(x) =l=0AlPl(x)(1-190)则系数Al=2l + 1

58、211f(x)Pl(x)dx(1-191)或者对于在0,的函数V ()，也可以展开为Pl(cos)的形式V () =l=0AlPl(cos)(1-192)其中系数Al=2l + 120V ()Pl(cos)sind(1-193)在对z轴对称时，包括极轴在内的区域中拉普拉斯方程的通解为 =l=0Alrl+ Blr(l+1)Pl(cos)(1-194)例例例 18: 设有一半径为a的接地导体球，放置于均匀的外电场E0中，球外为真空，求空间任意一点的电场分布。(课本83页)解解解：取球z轴为E0的球坐标系。球内为等势体，设为参考电位。球外电位可以写成 (1-194)的形式。各系数由边界条件确定。35

59、电磁场理论讲义a图图图 1-24:匀强电场中的导体球1. 当r 时， E0rcos。由此条件有A1= E0,Al= 0(l = 0)，因此 = E0rPl(cos) +l=0Blr(l+1)Pl(cos)(1-195)2. 在导体表面上，(a) = 0由此条件有E0aP1(cos) =l=0Bla(l+1)Pl(cos)(1-196)要是上式成立，只有Pl(cos)项的系数都为零，得到各系数为B1= 0,El=0(l = 1) 从而得到球外的电势为 = E0rcos +E0a3r2cos = 0+ (1-197)其中= E0a3cos/r2为球外感应电荷所激发的电势。它可以写为=E0a3cos

60、r2=pcos40r2=p r40r3(1-198)可见导体球面上的感应电荷对球外区域电位的贡献与球心放置一个电偶极子的情况一样，其电偶极矩为p = 40a3E0(1-199)1.8格林函数法(Greens function)前面的给出了求解静电问题的几种方法。其中镜像法适合于边界条件相对简单，而空间电荷分布仅仅为点电荷的情况。分量变量法适合于边界形状与一定的坐标轴平行，且求解区域内无电荷分布的情况。而当求解区域既存在一定的边界条件，又存在一定的电荷分布时，前面的方法求解就比较困难。介绍一种格林函数法。36第一章静电场1.8.1格林原理格林原理的出发点是散度定理V AdV =ISA dS(1

61、-200)在上式中，令A = ，则 () = 2 + ，而 dS =(/n)dS，于是我们得到格林第一等式V(2 + )dV =ISndS(1-201)将上面式中,相交换后相减，则项将相互抵消，于是得到格林第二等式V(2 2)dV =IS(n n)dS(1-202)上式中，如果我们令为求解区域的电势分布，则有 = /，而此时如果选择适当的，就可以得到关于的积分方程。格林函数就是这样的函数。由于场应该式场点和源点的函数，因而格林函数也应是场点和源点的函数。我们令格林函数满足条件2G(r,r) = (r r)(1-203)由于(r,r)函数的对称性，格林函数也具有对称性G(r,r) = G(r,

62、r),从而得到G(r,r)的物理意义是，在r放置一个点电荷时在r点产生的场。将格林第二公式中换为G(r,r)，同时将积分变量换为r，从而得到1V(r)G(r,r) (r)(r r)dV=IS(r)G(r,r)n G(r,r)(r)ndS(1-204)我们考察V 内的电场，此时场点r位于V 内，由函数的筛选性质得到(r) =VG(r,r)(r)dV+ ISG(r,r)(r)n (r)G(r,r)ndS(1-205)这就是格林原理。上式中需要(r)和/n在边界上的值，而实际中，根据解的唯一性定理，只要知道其中一个就可以确定唯一的解，因此在不同的边界条件下，我们需要选择不同的格林函数来解决出现的问题

63、。1.8.2第一类边值问题的格林函数如果知道了电势在边界上的值，我们可以选择格林函数在边界上的值为零，即G(r,r) = 0,ron S(1-206)37电磁场理论讲义称为第一类格林函数。此时格林原理中右边面积分的一部分为零，方程简化为(r) =VG(r,r)(r)dV IS(r)G(r,r)ndS(1-207)例例例 19: 一半径为a的导体球，被一极薄的绝缘介质分隔为两个半球，上半球电势为V ，下半球为V ，如图 1-25，所示，求球外电势分布。yxzrr图图图 1-25:例 19题图解解解：因为给定的时球面的电势值，所以首先需要求球外空间的第一类格林函数。按照格林函数的物理意义，只要令

64、r处有一单位点电荷，求空间r处的电势即可，利用镜像法可以得到第一类格林函数为G(r,r) =1401r2+ r2 2rrcos1(rr/a)2+ a2 2rrcos(1-208)其中为r,r之间的夹角。因为时求解球外的电势，故而n方向与r方向相反。Gn?r=a= Gr?r=a= r2 a240a(r2+ a2 2arcos)3/2(1-209)由于在球外(r) = 0，所以有(r)=14I(r)a(r2 a2)(r2+ a2 2arcos)3/2d=V a(r2 a2)420d10d(cos)(a2+ r2 2arcos)3/2(a2+ r2+ 2arcos)3/2(1-210)由于cos =

65、 coscos+ sinsincos( )，关系比较复杂，上述积分无法得到解析解，但是原则问题已经解决了。对于z轴而言，此时 = 0,cos = cos，此时可以得到如下形式的简单解(z) = V1 (z2 a2)zz2+ a2(1-211)38第一章静电场在已知区域内电荷分布和边界上的电势值的情况下，使用格林函数法进行求解的一般步骤为:1. 取一边界形状与题给相同的区域，令其边界上电势为零。2. 在r处放置一点单位电荷，求出r处的电势格林函数G(r,r)。3. 求出边界上G(r,r)/n4. 利用格林原理计算电势(r)(r) =VG(r,r)(r)dV IS(r)G(r,r)ndS1.8.

66、3第二类边值问题的格林函数对于第二类边值问题，我们可以取G/n为常数。由于G/n表示了单位点电荷在边界上的场，根据高斯定理，应该有IGndS= 1/(1-212)故而取G/n= 1/S，S为边界面积。1.8.4二维情况下的格林函数格林函数的物理意义是点电荷在一定边界条件下所产生的场，因而一般是三维问题。而有些情况下，求解区域是一个二维问题，或者可以化简为二维问题，此时使用二维形式的格林函数将更加简单。在二维情况下,满足条件 (1-203)的场为线电荷所产生的场。例例例 20: 有一无限导体平板，中间有一细缝将其一分为二。在两部分之间加上电压V0，求空间电场的分布。解解解：因属于二维问题，应该使

67、用二维格林函数。对于第一类边值问题，令格林函数满足导体板上值为零。此时对一处于r处的单位线电荷，空间产生的场即为格林函数G(x,y,x,y) =140ln(x x)2+ (y + y)2(x x)2+ (y y)2(1-213)在边界上Gn?S= Gy?y=0= 10y(x x)2+ y2(1-214)在求解区域内无电荷分布，故有(x,y)=0IS(x,0)GndS39电磁场理论讲义=00V0Gndx 0+00 Gndx=V00dx(x x)2+ y2=V0arctanyx(1-215)1.9有限差分法前面我们介绍的求解静电势的方法都是设法得到场的解析解。虽然我们总是希望能够得到场的解析解，在

68、实际过程中，很多情况下，严格的解析解是很难甚至无法得到。为此，人们也试图通过一定的途径去求解方程的近似解。这些方法的共同点是将求解区域用点分解成许多小的格子，把拉普拉斯方程在给定点附近用近似的代数方程代替而直接计算电势。如果格子足够密集，则能够足够精确的得到场的分布情况。由于往往需要进行大量的数值计算，通常需要借助于电子计算机。我们仅仅以二维情况为例介绍有限差分法。它首先把平面场的区域分成许多方形的格子，如图 1-26所示。假设P点的电位为P，其周围方格顶 P P2 P3P1 P4 h1 h2 h3 h4 图图图 1-26:有限差分法点P1,P2,P3,P4的电位分别为1,2,3,4。下面我

69、们推导一个1至4表示p的公式。为此，假设函数(x,y)在二维平面上满足拉普拉斯方程2 = 0.首先，利用泰勒(Tylor)级数将电势函数在P(x0,y0)附近展开为1=(x0+ h1,y0) p+ h1x+12h212x2(1-216)3=(x0 h3,y0) p h3x+12h232x2(1-217)将第一式乘上h3加上第二式乘上h1得到1h1+ h3(1h1+3h3)ph1h3+122x2(1-218)在y方向上，同理可以得到1h2+ h4(2h2+4h4)ph2h4+122y2(1-219)40第一章静电场上述两式相加，并利用22= 0得到p m11+ m22+ m33+ m44(1-

70、220)其中m1=h2h3h4(h1+ h3)(h1h3+ h2h4)m2=h1h3h4(h2+ h4)(h1h3+ h2h4)m3=h1h2h4(h1+ h3)(h1h3+ h2h4)m4=h1h2h3(h2+ h4)(h1h3+ h2h4)(1-221)上式表明，拉普拉斯方程在某点的解可以通过四个相邻的解的线性组合得到。如果我们在区域中引入了N个未知点，则可以得到N个线性方程，方程中包含了边界上的点，为已知量。通过求解这N个线性方程，就可以得到区域中N个点的电势值，从而得到电势分布的近似解。一般情况下，网格分隔的越密，解越紧接真实解，当然，需要进行的数值计算也越多。在实际的网格划分中，经常

71、均匀划分网格，如令h1= h3,h2= h4，则有p=h222(h21+ h22)(1+ 3) +h212(h21+ h22)(2+ 4)(1-222)而如果h1= h3，则p=14(1+ 2+ 3+ 4)(1-223)下面举例说明求解拉普拉斯方程近似解的程序。求解区域如图 1-27所示，000000001001001001001234图图图 1-27:有限元法求解拉普拉斯方程正方形三条边电势为零，一条边为100。将求解区域分为9个小正方形区域，4个内点。利用迭代法求出每个内点上的电位.1. 假设个内点的初值，1= 3= 30, 2= 4= 60,41电磁场理论讲义2. 根据有限差分的迭代关系

72、，计算各内点的值1=14(0 + 0 + 30 + 60) = 22.52=14(0 + 22.5 + 60 + 100) = 45.6253=14(22.5 + 0 + 0 + 60) = 20.6254=14(45.625 + 20.625 + 0 + 100) = 41.5624(1-224)3. 重复以上步骤，继续计算各内点的值下表给出各次迭代所得到的值，最后值趋于稳定表表表 1-1:迭代中间结果n1234030603060122.545.62520.62541.5625216.562539.531314.531338.5156313.515638.007813.007837.7539

73、412.753937.62712.62737.5635512.563537.531712.531737.5159612.515937.507912.507937.504712.50437.50212.50237.501812.50137.500512.500537.5002912.500237.500112.500137.50011012.500137.512.537.51112.537.512.537.51212.537.512.537.51.10静电能根据库仑定律，电荷之间存在相互作用力，因此带电系统必然具有能量。1.10.1真空中点电荷的静电能量首先考察两个点电荷q1,q2，相距为r12

74、= |r1r2|，当把q1固定而把q2从无穷远处移动到r1时，则需要克服两电荷之间的静电力做功，所作的功即为q1,q2的42第一章静电场相互作用能，即Uint= q22=q1q240r12(1-225)其中2是q1在r2处的电势。同理，如果把q2固定移动q1，所作的功仍然是Uint= q22= q11。我们可以把Uint写成更加对称的形式Uint=12(q11+ q22)(1-226)对于有N个点电荷的系统，我们通过如下的方法来得到系统的相互作用能:我们依次将qi从无穷远处移动到ri处。在移动qi之前，ri点的静电势为i=140i1j=1qj|ri rj|(1-227)故而移动qi时克服静电

75、力做功为Wi= qii(1-228)于是整个系统的静电相互作用能为W =Ni=1Wi=140Ni=1jiqiqj|ri rj|(1-229)如果我们把qiqj/|ri rj|，写成一个表格，则表格为沿对角线对称。上述的求和过程为对表格下半部分求和，而如果我们对除对角线项外的整个表格求和，则是原来结果的两倍，于是有W =180Ni=1j=iqiqj|ri rj|(1-230)我们删除了对角线i = j的元素是因为这些项为无穷大。非对角线上的元素的物理意义是电荷之间的相互作用能，而对角线元素的意义为电荷的自有能量。在经典电磁理论中，点电荷模型自有能为无穷大。为了克服这一困难，必须把最小的元电荷看成

76、有一定大小的电荷分布，这一问题是目前物理学中存在的一个基本问题。1.10.2电荷连续分布时的静电能对于连续分布的电荷，可以将其分为许多小体积元，而每一个体积元相当于一个点的电荷，利用式 (1-230) 可以将静电能写为W =180 (r)(r)|r r|dVdV(1-231)43电磁场理论讲义值得注意的是，将点电荷体系的(1-230)改写为(1-231)时，不仅仅是形式的改变，而且有着本质的区别。这时因为连续电荷分布形式中，包含了自有能项，因而计算的是总的静电能。对于连续电荷，自有能项不发散。对式 (1-231)中的V先进行积分，得到W =12(r)(140(r)|r r|dV)dV =12(

77、r)(r)dV(1-232)其中(r)为（所有）电荷产生的电势。利用泊松方程2 = /0，可以得到W = 022dV =02|2dV =02|E|2dV(1-233)上式表明，静电场的能量的载体可以看成是电场。而在时变场中，电场是可以独立于电荷而存在的，这种电场也可以对其中的电荷有力的作用，同样具有能量，其能量也可以通过上式进行计算。因此我们得到电场的能量密度为we=02|E|2(1-234)如果空间是介质而非真空，则需要用来代替0，从而得到电场能量密度为we=12E D(1-235)值得注意的是：上面的结果虽然是在静电场情况下推导的，而且对介质认为是均匀介质。但是在一般情况下，电场能量密度的

78、表达式都成立.例例例 21: 真空中一半径为R的圆球内，分布有密度为的电荷，试求静电能量。解解解：先求空间的电场分布，按照例. 2的方法，运用高斯通量定律，求得场强为Er=r30r R(1-236)静电能量为W=02VE2dV =02(R02r2920 4r2dr +R2R6920r4dr)=42R5150=3Q3200R(1-237)1.10.3带电导体系统的能量由式 (1-232)可以得到带电导体系统的能量。由于导体都是等电势体，而导体的电荷都分布在表面上，因此，在计算能量时，无需知道导体上电荷分布的44第一章静电场具体情况，而只需要知道每个导体上的总电荷和电位值，就能够得到导体系统静电

79、能量。而对于一定的导体系统，当每个导体上的电势已知时，则各导体上的电荷也是已知的。反之结论也成立，这种联系导体上电荷与电势之间关系的量就是电势系数和电容系数。假设一个导体系统包含N个相互孤立的导体。在初时状态，我们令所有导体电势均为零，则整个空间电势均为零，因而整个空间，包括导体表面的点电场为零。由s= Dn得到导体表面电荷密度为零，故而每个导体均不带电。如果通过某种方式，让导体j带电一个单位，其它导体均保持中性。而此时由于带电导体的影响，使得每个导体的电势不再保持接地，设此时导体i的电势为ij，整个空间电势分布为j(r)。现在假设在一定的状态下，已知每个导体带电量，导体j带电量为qj，则根据

80、叠加原理，整个空间的电势分布为(r) =Nj=1qjj(r)(1-238)应用与每个导体的边界上，则得到导体i的电位为i=Nj=1qjij(1-239)我们可以把它写成矩阵的形式1.N =111N.N1NNq1.qN(1-240)式中称ij为电势系数，下标不同时，称为互电势系数。下标相同时称为自电势系数。导体的电势系数只和导体的大小，形状，相对位置及周围空间所填充的介质有关，而与导体的带电状况无关。电势系数ij是对称的，即ij= ji.有时已知的是各个导体上的电势，而需要得到导体上的电量，可以利用下式得到q1.qN =111N.N1NN1.N(1-241)式中ij称为电容系数，矩阵是矩阵的逆阵

81、。与一样，也是对称阵。如果知道了每个导体上的电势i，则导体系统总的能量为W =12Ni=1qii=12Ni=1Nj=1ijij(1-242)45电磁场理论讲义1.10.4静电力当带电导体在电场中发生移动时，电场力要做功，因此场能要发生变化。因此可以通过计算电场能量的改变来计算电场力，即所谓的虚位移法。这里首先介绍广义坐标和广义力的概念。广义坐标是确定系统中各导体形状、尺寸与位置的一组独立几何量，如距离、面积、体积和角度。企图改变某一广义坐标的力，就称为对应于广义坐标的广义力。广义坐标和对应的广义力相乘等于功。例如，如果广义坐标是距离（长度），对应的广义力是一般的机械力；若广义坐标是角度，则对应

82、的广义力是力矩；若广义坐标是面积，则对应的广义力是表面张力；若广义坐标是体积，则对应的广义力是压强。设一定的带电系统，具有能量W(x1,x2,xN)，其x1,x2, ,xN是独立的广义坐标，这些广义坐标决定了系统的形貌。当系统的形貌发生变化时，如果在此过程中，保持电荷不变，即体系不发生其它形式的能量转换，则电场力所作的功A应等于场能量W的减小，A = W。当带电体的广义坐标有一虚位移xi时，电场力所作的功为A =iFixi，而此时能量发生相应的改变量为W =iW/xixi，从而得到于广义坐标xi相对应的广义力为Fi= (Wxi)q(1-243)另一种情况，在移动过程中，保持电势不变，而系统于电

83、源发生能量的交换，那么根据能量守恒定律和转换定律，有A = W+ Ws(1-244)式中Ws为系统从电源吸收的能量，以保持系统的电势不变。为Ws=Ni=1iqi(1-245)由于各导体电势保持不变，则有W=12Ni=1iqi(1-246)增量qi表示第i个带电体电荷发生的变化。对比以上两式，有Ws= 2W，从而有A = W,从而Fi=(Wxi)(1-247)例例例 22: 设平板电容器的极板面积为S，板间距为d，如果加电压为U，中间介质的介电常数为. 忽略边缘效应，试求在每一板上所受的力。46第一章静电场解解解：平板电容器间的电场为E = U/d，电位移矢量D = U/d，介质内的电场能量密

84、度为w =12ED =2E2(1-248)总的静电能量为W = wV =12E2Sd =12U2Sd(1-249)故而作用在两极板间的力为F =Wd= U2S2d2(1-250)负号表示为使d减小的力，即吸引力。 ? ? E? E ? E ? ? ? ? ? ? ? ? !? #$ %&()%&* +,) (-.?) /00001111( 2222?333344445555 图图图 1-28:静电场知识结构图47电磁场理论讲义第第第二二二章章章稳稳稳恒恒恒电电电流流流与与与稳稳稳恒恒恒磁磁磁场场场2.1稳恒(steady-state)电流与稳恒电场2.1.1电流密度由于电场对电荷有力的作用，因

85、此材料中如果存在自由电荷，则会在电场的作用下运动，形成电流。电流通常的定义是I = limt0qt=dqdt(2-1)即单位时间内通过某截面的电荷量。电流的定义描述了某横截面上电荷流动情况，但是不能描述空间各点处电荷流动情况，同时也不能表明电荷的流动方向。为了描述电荷在电场中各点的流动情况，我们引入电流密度矢量，记为J。对于导体中P点的一个面元dS，流过它的电流和电流密度之间的关系为dI = J dS(2-2)假设导体中只带有一种带电粒子，其电荷密度为，粒子在P点的运动速度 P dS v vdl 图图图 2-1:电荷的流动为v，则在dt时间内，通过面dS的电荷量为dq = vdtdS，因而有d

86、I = vdS，从而得到J = v(2-3)如果导体含有数种导电粒子，每种粒子电荷密度为i，速度vi，则有J =iivi(2-4)面电流密度如果电流的流动集中在一个厚度可以忽略的薄层内，则可以引入面电流密度。面电流密度与电荷密度之间的关系为Js= sv(2-5)对于面上宽为dl的线元，设t为面内与线元垂直的单位向量，则流过线元的电流强度为dI = Js tdl48第二章稳恒电流与稳恒磁场2.1.2电荷守恒定律（charge conservation）实验表明，电荷即不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体。在电流分布为J的空间内任意取一封闭曲面S，它包围的体积为V 。通过面

87、S流出的电流为HJ dS，应该等于此体积中单位时间内电荷的减少量q/t，即IJ dS = qt= tVdV = VtdV(2-6)上式左边运用散度定律，将面积分化为体积积分，则有V( J +t)dV = 0(2-7)要使这个积分对任意的体积都成立，只有被积分的函数为零，即有 J = t(2-8)上式称为电流的连续性方程，它是电荷守恒定律的数学表示式。在稳恒电流的情况下，电荷分布不随时间发生变化，既有/t = 0，从而有 J = 0(2-9)对应的积分形式为，ISJ dS = 0(2-10)这就是电路理论中的基尔霍夫(Kirch-hoff)电流定律。在稳恒条件下，由J = 0出发，类似与D边界条

88、件的推导方法，可以得到在边界上电流密度满足的条件为n (J1 J2) = 0(2-11)2.1.3欧姆定律（Ohms law）导体中存在大量的自由电荷，当存在电场时，自由电荷会在电场作用下运动而形成电流。实验表明，对于线性各项同性导体，电流密度J与电场E的关系可以写成J = E(2-12)其中是导体材料的电导率，单位为S/m（西门子/米）。上式即为欧姆定律的微分形式。考虑一个横截面面积为A，长度为L，电导率为的柱状导体。如果导体内部的电场E方向为轴线方向，电流密度为J。则流经导体的电流为I = JA，而导49电磁场理论讲义体两端的电压为U = EL = JL/ = IL/A。而L/A正是体电阻

89、，即为积分形式的欧姆定律。可以看出，微分形式的欧姆定律给出了导体内部任意一点的电流密度和电场强度之间的关系，比积分形式更能细致描述导体的导电规律。同时，欧姆定律的积分形式仅仅适合于稳定情况，而微分形式则适合于普遍情况。从欧姆定律和电流连续性方程，还可以得到一个重要的结论：在稳恒电流情况下，电荷只能分布在导体的表面上。0 =t+ J =t+ E =t+ (2-13)方程的解为 = 0et/(2-14)其中 = /为特征时间，它表示了电场中的导体区域稳态的速度。当时间足够长直至电荷分布不发生变化时，有 0，从而说明电荷不可能聚集在导体内部而只能分布在表面上。电荷在导体中流动时会遇到阻力，因此要维持

90、稳恒电流，需要存在一个外来的非静电力（如化学势，洛仑兹力等）的作用。这些非静电力对单位电荷的作用通常用一个等效的电场强度Eout来代替，此时式 2-12可以推广为J = (E + Eout)(2-15)如果在一根细导线中电流为I，利用上式对一段导线从A到B进行积分得到BAJ dl=BAE dl +BAEout dl(2-16)而BAJ dl=IBAdlS= IRABBAE dl=A BBAEout dl=AB(2-17)其中RAB是A,B两端导线的电阻，A B为两端的电势差，AB为导线A,B两端之间外来非静电力所产生的电动势。于是有IRAB= A B+ AB(2-18)上式就是非均匀电路的欧姆

91、定律。对于闭合电路A= B，从而有IR = (2-19)它表明，只有电动势不为零时，闭合电路中才有稳恒电流存在。50第二章稳恒电流与稳恒磁场2.1.4焦耳定律(Joules law)导体中的电荷在外界电场下运动时，除了受到电场的加速外，还会受到阻力。这种阻力来源于带电粒子与材料内原子的碰撞。运动的带电粒子与原子频繁的碰撞，不断的损失能量，从而在宏观上达到平衡。材料原子吸收能量后，振动加强，即产生热量，这种热称为焦耳热。在导体中dt时间内电场力对以速度为v运动的电荷dV 所作的功是dW = dV E vdt = E vdV dt = E JdV dt(2-20)由此可以得到体积dV 中消耗的功

92、率为dP = E JdV(2-21)即单位体积内消耗的功率为pj= E J(2-22)这即是焦耳定律的微分形式。对于一段长为L，横截面面积为A的导体，由上式可以得到当均匀流过电流为I时，消耗的功率为P =VE JdV =VJJdV =IAIA AL = I2LA= I2R(2-23)即为积分形式的焦耳定律。2.1.5稳恒电流与稳恒电场分布对于恒定电流的情况，电荷密度，及电场强度E，电流密度J等物理量都不随时间发生变化，因而电场E也不随时间发生变化。因此稳恒电场与静电场满足相同的方程 D = , E = 0(2-24)同时由于在稳恒条件下/t = 0,有 J = 0。稳恒电场满足的方程与静电场相

93、同，因此求解的方法与静电场也一样。同样可以引入标势函数，令E = 此时 J = (E) = () = 0(2-25)如果导体是均匀的，即为常数，则上式变为2 = 0(2-26)可见均匀导电媒质中的电势和无源空间中的静电势一样满足拉普拉斯方程。而由边界条件n (J2 J1) = 0和n (E1 E2) = 0得到22n= 111n,1= 2(2-27)51电磁场理论讲义表表表 2-1:稳定电场与无源区域静电场的比较稳恒电场静电场 E = 0 , E = same J = 0 D = 0J = ED = EBAE dl = A Bsame2 = 0sameJ1n= J2nD1n= D2n把电源外导

94、体内的稳恒电场与不存在电荷分布的区域内的静电场加以比较，见表 2-1 由上表可以看出，两种场的特征方程由相似的形式，其中下列量在各自的方程和边界条件中有相同的地位，为对偶量。E E, ,D J, 。这样，如果两种场具有相同的边界条件，则根据唯一性定理，它们有相同形式的解。也就是说，在相同的边界条件下，如果已知一种场的解，只要对偶量代替，就可得到另一种场的解，这种方法称为静电比拟法。例例例 23: 如右图所示的扇环形导体，已知在 = 0时， = 0，在 = 时， =U0。导体厚度为h，电导率为。假设电流方向仅仅为方向，试求导体的电阻。0=0U=h1R2R图图图 2-2:扇环导体解解解；由于电流方

95、向仅仅为方向，故而电场也只有方向，从而等面为等势面，电势与r无关，同时可知电势与z无关，故而拉普拉斯方程可以写为1r222= 0(2-28)求解并结合边界条件可以得到 =U0(2-29)52第二章稳恒电流与稳恒磁场从而得到电场强度E = = 1r= U0ra(2-30)电流密度J = E = U0ra(2-31)电流I =J dS =R2R1Jhdr =hU0lnR2R1(2-32)得到电阻为R =U0I=hlnR2R1(2-33)2.2真空中稳恒电流的磁场2.2.1毕奥萨伐尔定律（Biot and Savart）1819年，奥斯特(Oserted)发现通有电流的直导线能让附近的磁极发生偏转

96、，即电流能对磁体产生力的作用。与两个电荷之间的相互作用力一样，磁力的相互作用也不是超距作用，而是通过场来传递的，这种场称为磁场。电流对磁极的力表明在电流能够在其周围空间产生磁场。表征磁场特征的一个物理量是磁感应强度B，它的单位是特斯拉（T）。为了考察电流与周围磁场之间的关系，将电流分为许多小的单位，称为元电流。在体电荷分布的情况下，元电流为JdV，对于位于r处的元电流，在r处产生的磁场的磁感应强度为dB =04J(r) RR3dV(2-34)其中R = rr，为源点指向场点的矢量。0为真空磁导率，其值为4 107H/m。与电场一样，磁场也满足线性叠加原理，因而对一定分布的电流，产生的总磁场为B

97、 =04VJ(r) RR3dV(2-35)这就是毕奥萨伐尔定律。如果电流分布是线电流，则JdV = Idl，则毕奥萨伐尔定律变为B =04ICIdl RR3(2-36)对于一个以速度v运动的点电荷q产生的磁感应强度为B =04Vv RR3dV=0qv R4R3(2-37)53电磁场理论讲义q1q2PqIdzRdOz图图图 2-3:一段直导线产生的磁场例例例 24: 求真空中载电流I的有限长直导线所引起的磁感应强度。解解解：如图 2-3所示，令直导线和点P均位于纸平面内，点位于导线右侧（相对电流方向），则元电流Idl在P点产生的磁感应强度为dB =04Idl RR3(2-38)可以看出，任意元

98、电流产生的磁场方向总是垂直纸面向内，故而可以把矢量和变为标量和，元电流产生的磁感应强度的大小为dB =0I4dz RsinR3=0I4sindz(dsin)2=sin3dzd2(2-39)而由z= dcot得到dz= dcsc2d，所以dB =0I4dsin3csc2d2d =0I4dsind = 0I4ddcos(2-40)从而一段直导线所产生的磁感应强度大小为B = 210I4ddcos =0I4d(cos1 cos2)(2-41)2.2.2洛仑兹力(Lorentz)在磁场中运动的电荷会受到磁场的力的作用，元电流JdV在磁场B中受到的力为dF = (J B)dV(2-42)对以速度v在磁场

99、B中运动的点电荷q，其受到的磁场力为F = qv B(2-43)如果即包含磁场,又有电场,则电荷所受到的总的力为F = q(E + v B)(2-44)54第二章稳恒电流与稳恒磁场称为洛仑兹力. 当密度为的带电体以速度v运动时,则单位体积的电荷受到的洛仑兹力为f = E + J B(2-45)如果我们仅仅考察磁场力,对于一个闭合的回路C1，可以把它分为许多元电流I1dl，故而总的力为F =IC1I1dl B(2-46)而如果磁感应强度B是由回路C2产生的，则回路C2对C1的作用力为F12=0I1I24IC1IC2dl1 (dl2 R12)R312(2-47)这就是安培定律(Amperes l

100、aw)。值得注意的是，虽然安培定律可以通过毕奥萨伐尔定律导出，但是它是电流相互作用的物理实验基础。2.2.3磁场的散度和旋度根据毕奥萨伐尔定律，只要给定电流分布，原则上就可以得到磁场的分布。但是描述磁场的规律用微分形式更方便，而且对场的性质反映更深刻。利用恒等式(1/R) = R/R3和 (A) = A + A，并注意到算符只对场点作用，则 J(r)R= (1R) J(r) = J(r) RR3(2-48)因此有B(r) =04V J(r)RdV= 04VJ(r)RdV(2-49)可见，磁场可以写为一个矢量场的旋度，而由矢量恒等式 ( A) = 0得到 B = 0(2-50)其积分形式为ISB

101、 dS = 0(2-51)表明磁场是一种无源场，磁感应线总是无头无尾的闭合曲线，不存在自由磁荷。与静电场的相似，我们可以得到磁场的旋度 B =04 VJ(r)RdV(2-52)由矢量恒等式 ( A) = ( A) 2A得到 B=04( (J(r)RdV)04J(r)2(1R2)dV55电磁场理论讲义=04( (J(r)R)dV)+ 0J(r)(r r)dV(2-53)由矢量恒等式 (A) = A + A得到 J(r)R=J(r) 1R= J(r) 1R=J(r) 1R J(r)1R= (J(r)R)(2-54)从而有 B=04(J(r)RdV)+ 0J(r)=04(ISJ(r)RdS)+ 0J

102、(r)(2-55)由于所有电流分布被包含在积分区域内，因此没有电流通过界面S，故而上述面积分为零，从而有 B(r) = 0J(r)(2-56)将上式在曲面S上积分，利用斯托克斯定理得到ICB dl = 0SJ dS = 0I(2-57)其中S是闭合回路C围成的曲面，曲面的正法向与曲线积分绕行方向构成右手螺旋关系。上式就是安培环路定律的微分和积分形式。I是通过曲面S的电流。2.3介质中的磁场2.3.1介质的磁化和磁化强度介质分子和原子内的电子不停地围绕原子核运动，此外电子还作自旋运动。电子的这些运动从电磁学的角度可以把它们等效为一个小的环电流（分子电流）。这些环电流相当于一磁矩，如图 2-4所示

103、分子磁矩可以表示为Sn图图图 2-4:分子磁矩m = iSn(2-58)56第二章稳恒电流与稳恒磁场其中i为分子电流，S为分子电流所包围的面积，n为其法向单位矢量，它与电流方向形成右手螺旋关系。当没有外磁场时，对于非永久磁体，这些磁矩取向是杂乱无章的，这时不呈现宏观的磁矩。当有外加磁场时，这些磁矩将按照一定方向排列而呈现宏观的磁效应。这种现象叫做介质的磁化。介质的磁化可用磁化强度矢量M来表示，它定义为单位体积内总磁矩，即M = limV 0imiV(2-59)其中求和是对V 内所有的分子进行的。如果介质内中每个分子的磁矩m的大小和方向都相同，单位体积内的分子数为N，则磁化强度M = Nm =

104、 NiSn(2-60)介质磁化时，会引起分子电流的重新分布，从而在一定区域内形成电流，称为磁化电流。在介质内部取一个面S，其边界为C，如图 2-5所示。显然，dln图图图 2-5:磁化电流只有当分子电流被边界C穿过时，在对穿过面S的电流有贡献。在C上取一个线元dl为柱轴，分子电流面积S为底面积的斜圆柱元，如上图所示若分子的中心位于体积为Sn dl的斜柱体积内时，则该分子电流就被dl穿过。因此，若单位体积内分子数为N，则这些分子所贡献的电流为dIM= iNSn dl(2-61)因此总的极化电流为IM=ICM dl =S M dS =SJM dS(2-62)上述对任意曲面都成立，从而得到磁化电流

105、密度为JM= M(2-63)57电磁场理论讲义2.3.2介质中的磁场与环路定理在磁介质中，由于磁化，磁场是由两部分电流贡献，即传导电流和磁化电流激发的。当考虑磁化电流时，式 2-56推广为 B = 0(J + JM) = 0(J + M)(2-64)或者 (B0 M)= J(2-65)其中J仅仅为传导电流。由于磁化电流往往不易得到，可以引入量H = B/0M，或者B = 0(H + M)，则有 H = J(2-66)这就是介质中安培环路定理的微分形式。H称为磁介质的磁场强度，它是辅助的量。磁感应强度B才是真正反映磁场特征的物理量。利用斯托克斯公式，可以得到介质中安培环路定理的积分形式为ICH

106、dl =J dS = I(2-67)表明磁场强度H的环量等于通过周界的传导电流。在介质中，磁化电流激发磁场的特征与传导电流完全相同，因此磁感应线仍然是闭合的，即 B = 0(2-68)在给定传导电流分布的情况下，可以通过式 (2-66)来求解H，而要得到磁感应强度B，必须知道磁化强度M。M是由分子电流在加上外磁场后引起的规则化排列产生的平均效果，大小和方向是由物质性质和磁感应强度所决定。实验发现，在一定条件下，各项同性介质，磁化强度和磁感应强度的关系为M = M0+ mH(2-69)其中m称为磁化率，是物质常量，M0代表物质固有磁化强度。介质的磁化规律比较复杂，在这里我们不详细讨论，仅仅给出最

107、简单的情况M = mH(2-70)此时有B = 0(H + M) = 0(1 + m)H = H(2-71)式中 = 0(1+m) = r0，称为磁导率，r= (1+m)称为相对磁导率，它们都是物质常量，由实验确定。58第二章稳恒电流与稳恒磁场2.3.3介质中磁场的边界条件在介质的分解面上，由于不同介质磁化强度不同，必然会出现磁化面电流JsM。类比于推导静电场中电场强度E的边界条件方法，可以得到M的边界条件。如图 2-6所示，设两种介质的磁化强度分别为M1和M2，并在分界面上tnChDlm1m2M2M1图图图 2-6:M的边界条件作矩形回路，其一长边在介质1，另一长边在介质2，且两边都平行

108、于界面，两边都垂直于界面。两长边长度l很小，以致在每一长边上各处的M值均相同。两短边长为h，并设矩形回路所围面积的法向矢量围M，界面法向分量单位矢量n，界面上切向分量t，它们满足右手关系N n = t。在矩形回路上运用HCM dl =SJsM dS，并令h 0得到JsMN = (M2 M1) t = (M2M1) (N n) = (n (M2M1)N (2-72)由于方向N的任意性，有JsM= n (M2 M1)(2-73)其中n为介质1指向介质2的单位矢量。类似的，可以得到磁场强度H所满足的边界条件n (H2 H1) = Js(2-74)其中Js为界面上的传导面电流密度。类似于电位移矢量D的

109、方法，可以得到磁感应强度B的在界面上满足的边界条件为n (B2 B1) = 0(2-75)2.4静磁场的矢势及其微分方程2.4.1静磁场的矢势与静电场类似，人们也希望通过势函数的方法来研究磁场。但是由于对于磁场而言，其旋度一般情况下不为零，故而一般情况下，无法使用标量59电磁场理论讲义势函数。但是注意到磁感应强度的散度总是为零 B = 0，而由矢量恒等式 ( A) = 0，可以引入一矢量场A，令B = A(2-76)显然，上式满足 B = 0的要求，称A为磁场的矢势。实际上，由前面的 (2-49)已经有B(r) = 04VJ(r)RdV(2-77)我们已经得到真空中A的一种表达式A =04VJ

110、(r)RdV(2-78)值得注意的是，满足条件 (2-76)的矢量函数不是唯一的，因为如果A是确定磁场B的势函数，则可以取任意标量场，作变换A= A + ，则同样满足条件B = A。上述A的非唯一性来源于其定义。由于我们只是要求其旋度为给定值，因而不能唯一确定其分布。注意到场论中的知识：只有当一个矢量场的旋度和散度同时确定时，其场才能唯一确定。为了唯一确定磁矢势，我们需要人为的规定其散度，这种规定成为规范(gauge)。规范的选择是任意的。对静磁场而言，最简单的规范条件是令 A = 0，称为库仑规范。穿过面S的磁通量可以用磁矢势A的线积分来表示 =SB dS =S A dS =ISA dl(2

111、-79)例例例 25: 设在圆柱坐标系中,某磁场磁矢势为A = A0ra,试验证该磁矢势满足库仑规范,并求相应的磁感应强度.解解解:在圆柱坐标系中进行计算 A =1rr(rAr) +1rA+Azz=1rA0r= 0(2-80)磁感应强度B= A=(1rAzAz)ar+(AzAz)a+1rr(rA) 1rAraz=1rr(r2A0)az=2A0az(2-81)为均匀磁场.60第二章稳恒电流与稳恒磁场例例例 26: 求长度为L的线电流I的磁矢势和磁场.(课本149页)解解解:设电流沿z轴运动,坐标原点取在电流中点,在圆柱坐标系中,有A =0I4dlR(2-82)由于电流只有z方向的分量,故而磁矢

112、势也只有z方向的分量,且dl= dzaz,R =r2+ (z z)2,于是Az=0I4L/2L/2dzr2+ (z z)2=0I4lnz + L/2 +(z + L/2)2+ r2z L/2 (z L/2)2+ r2(2-83)磁场B为A的旋度B = Azr=0I4rz + L/2r2+ (z + L/2)2z L/2r2+ (z L/2)2a(2-84)当L z及L r时,Az简化为Az=0I2lnLr(2-85)当L 时,Az ,这时因为我们选取势参考点为无穷远而形成的,为了克服这一困难,与静电场中的方法类似,我们选取rc处磁矢势为零,从而得到Az=0I2lnrcr(2-86)对应的磁感应

113、强度为B = Azr=0I2ra(2-87)2.4.2静磁场矢势的微分方程由 H = J，即B = H可以得到 (B) = ( A)= J(2-88)对于线性的均匀介质，为常数，同时利用矢量恒等式 ( A) = ( A) 2A和库仑规范有2A = J(2-89)这就是磁矢势所满足的微分方程，它是我们所熟知的泊松方程。它的一个特解为A(r) =4VJ(r)RdV(2-90)61电磁场理论讲义可以看出,磁矢势A的方向总是于J方向相同.同时可以验证,上述方法计算所得到的磁矢势满足库仑规范 A.对于线电流,只需要将上式中JdV用Idl代替即可.A =I4ICdlR(2-91)静磁场的矢势和静电场的标势

114、满足的方程在形式上相似，解法也有许多相似的地方。但是应该注意静磁势是矢量方程，2A的某个分量(2A)i，与2Ai一般不一致。同时磁矢势还必须满足条件 A = 0。例例例 27: 求半径为a,载电流为I的圆环在远处产生的磁矢势(课本150页)jqPxyzOdjCRr图图图 2-7:环形电流产生的磁场解解解：取圆环中心位于坐标原点并与xoy平面重合，如图 2-7所示。由于圆环对z轴对称，所以场与无关。因此可以选取xoz平面（亦即 = 0）通过观察P而不会失去一般性.磁矢势可以通过下式来得到A =0I4ICdlR(2-92)由图有dl=ad(axsin+ aycos)R=r(1 +a2r22arsi

115、ncos)1/2(2-93)显然R是关于的偶函数,故而上述积分在ax方向上的积分为零,因此有A = ay0Ia4r20cosd1 +a2r22arsincos(2-94)62第二章稳恒电流与稳恒磁场在r a的情况下，将1/R近似为R1 r1(1 +arsincos)，将上述关系代入A的计算公式得到A0Ia4r20cos(1 +arsincos)d=0Ia24r2sinay(2-95)转换到球坐标下，有A =0IS4r2sina=0m r4r3(2-96)其中S为环形区域的面积,m为电流回路的磁矩。2.4.3磁矢势的边界条件当介质分区均匀时，还要用到A的边界条件,为此要利用磁场的边界条件即各量

116、之间的关系,可以得到n ( A2 A1)=0(2-97)n ( A22 A11)=Js(2-98)而上述第一个条件还可以进行简化.类似于图 2-6所示的方法,在不同介质分界面处作一小的矩形回路,则回路积分IA dl =( A) dS =B dS(2-99)由于B在分界面上有限,当h 0时,上述积分右面为零,故而得到A在切向连续.A1t= A2t. 另外,根据A = 0,类似于B的方法,可以得到A在界面法向连续.从而得到在分解面上A连续,即A1= A2.例例例 28: 有一半径为a的均匀带电导体球壳,其上带电量为q,并绕自身某一直径以恒定角速度转动,求球内外的磁矢势及磁场.(课本154页)解解解

117、:由于球内外均无传导电流,故而磁矢势满足方程2A1= 2A2= 0(2-100)而在球面上,面电荷密度为s= q/4a2,球面某处处的线速度为asina,故而面电流密度为Js= sv =q4asina(2-101)由例 27的结论可知,环形电流所产生的磁矢势只有a方向的分量,而转动的带电球壳可以分解为许多圆环,每个圆环为环形电流,其产生的磁矢势只有a方向的分63电磁场理论讲义qxzyO图图图 2-8:转动的带电壳量,故而整个球壳所产生的磁矢势只有A不为零.同时,由于/ = 0,故而方程化简为2AAr2sin2= 0(2-102)通过分离变量法,可以得到上述方程的通解为(Cr + Dr2)sin

118、, 所以A1=(C1r + D1r2)sinA2=(C2r + D2r2)sin(2-103)其中,系数由边界条件确定1. 当r = 0时,A为有限值.由此得到D1= 0,所以A1= C1rsin2. 当r = 时,A2有限,得到C2= 0,所以A2= D2r2sin3. 在r = a的界面上,有A1= A2,A1rA2r= 0Js,由此得到C1a D2a2=0C1sin + 2D2a3sin=0Js(2-104)联立求解,从而得到A1=0q12arsinaA2=0qa212sinr2a(2-105)相应的磁感应强度为B1= A1=0q6aazB2= A2=043(m r)rr6mr3(2-1

119、06)其中m =qa23az64第二章稳恒电流与稳恒磁场2.5磁场的能量和磁力2.5.1磁场的能量磁场对于处于其中的电流有力的作用,表明磁场具有做功的能力,即具有能量.磁场的能量分布于磁场所在的空间,我们不加推导的给出磁场能量密度的公式wm=12B H(2-107)式 (2-107)即适用于静磁场,也适用于随时间变化的磁场.在静磁场中,如果磁场的能量是由电流分布J引起的,则还可以表示为Wm=12( A) HdV =12 (A H)dV +12A ( H)dV=12I(A H) dS +12A ( H)dV(2-108)当积分区域趋于无穷大时,右边第一个积分为零,故而有Wm=12A JdV(2

120、-109)值得注意的是:上式只适合于由J所激发的静磁场,同时也不能把12J H看作磁场能量密度,因为在没有电流的地方也有磁场能量.对于电流分布于导线上的回路，式（2-111）对应为Wm=I2IA dl(2-110)如果存在多个回路，则根据叠加原理，总的能量为Wm=kIk2IA dl =12kIkk(2-111)其中，k为通过回路k所张曲面的磁通量。而根据磁通量与电感的关系k=lLklIl,有Wm=12k,lLklIl(2-112)2.5.2磁力作用在一个电流回路上的力,可以用安培定律进行计算,但是这种计算一般是很繁杂的.在许多问题中,如果用虚位移法则可大大简化计算.设有N个载流回路系统,它们分

121、别与电压为Ui的电源连接,载电流分别为Ii.假定第i个回路在磁力Fi的作用下产生一个虚位移xi,则根据能量守恒定律,与各电65电磁场理论讲义流回路相连接的电源供给的能量(Ws)必须等于系统能量的增量(Wm)与磁力所作的功(A)之和.Ws= Wm+ A(2-113)在系统内各电流保持恒定的情况下,Wm=12kIkkWs=kIkkWs= 2Wm(2-114)通过对磁场能量的分析,我们可以得到结论Wm= A 从而得到与广义位移xi相对应的广义力为Fk=(Wmxk)I(2-115)例例例 29: 如图. 2-9所示的一个电磁铁,它由铁轭(饶有N匝线圈,且有气隙)和衔铁构成. 其横截面积为S,平均长度为

122、l1,l2,铁轭和衔铁由很小的空气缝隙x所隔开,忽略漏磁和边缘效应,并假设铁轭和衔铁的磁导率均为常数,求铁轭的吸力.(课本175页)x铁轭衔铁S图图图 2-9:电磁铁解解解:储存在衔铁,铁轭和空气中的磁场能量为Wm=12FB HdV +12gB HdV(2-116)忽略漏磁效应,并由磁感应强度的边界条件得到,在空气和电磁铁中的磁感应强度大小相等,设为B.则在电磁铁中HF= B/,而在空气中Hg= B/0,而由安培环路定理有HF(l1+ l2) + 2Hgx = NI(2-117)从而有B =NIl1+l2+2x0(2-118)66第二章稳恒电流与稳恒磁场从而得到磁场能量为Wm=12BHFS(

123、l1+ l2) +12BHg2xS =12N2I2Sl1+l2+2x0(2-119)故磁场力为Fx=(Wmx)I=constant= (NIl1+l2+2x0)2S0(2-120)负号表示为吸引力.当缝隙极小时,可令x = 0,从而得到Fx= (NIl1+ l2)2S0= B2S0(2-121)67电磁场理论讲义第第第三三三章章章电电电磁磁磁现现现象象象的的的普普普遍遍遍规规规律律律与与与麦麦麦克克克斯斯斯韦韦韦方方方程程程组组组3.1法拉第电磁感应定律(Faradays law of induction)自从1820年奥斯特发现电流的磁效应以后,人们开始研究相反的问题,即磁场能否产生电流的问

124、题.第一个给出时变磁场与电场之间定量关系的人是法拉第(Faraday).他发现,当下属情况发生时,在电路中会观察到瞬时电流:(a)与观测电路相近邻的电流被接通或者切断.(b)邻近的稳恒电流发生相对移动.(c)永磁体与电路发生相对的运动.法拉第发现,只有当邻近电流或者永磁体与电流发生变化或者移动时,才会有电流.他将观测到的瞬时电流归因于电路附近磁通量的变化.变化的磁通量会在电路附近产生电场, 其线积分称为电动势(Electromotiveforce).按照欧姆定律,电动势会在电路中引起电流.现在我们把法拉第观察到的现象用定量的数学语言来进行描述.假设闭合电路C为一开放曲面S的边界.电路位于磁场B

125、中,则通过电路的磁通量为 =SB dS.电路中的电动势为 =ICE dl,其中E为电路中dl处的电感生场.法拉第电磁感应定律可以表述为 = d/dt 或者ICE dl = ddtSB dS(3-1)其中负号是由楞次定律规定的(Lenzs law).楞次定律指出,感生电流的方向应使其产生的磁通量对抗原来穿过回路的磁通量的变化,这种方向的规定实际上是能量守恒定律的体现.应该指出,虽然在法拉第的实验中,为了观察感生电场而引入了电路.由变化的磁场所产生的电场是不依赖于电路而独立存在的. 而且式( 3-1)对于任意的闭合曲线C都是成立的,因此它反映了变化电场于感生电场之间的联系.利用斯托克斯定理,我们有

126、ICE dl =S( E) dS = SBt dS(3-2)上式对任意静止曲面S都成立,故而有 E= Bt(3-3)这就是法拉第电磁感应定律的微分形式.它表明,变化的磁场会在其周围空间激发涡旋电场.变化的磁场激发的涡旋电场与电荷激发的无旋电场不同,它是激发电场的另一种形式.68第三章电磁现象的普遍规律与麦克斯韦方程组如果闭合回路C以速度v沿某一方向在磁场B中运动时，则必须考虑这种运动,通过一定的数学分析，可以得到ddt=SBtdS +IC(B v) dl(3-4)于是有ICEdl = SBt dS IC(B v) dl(3-5)3.2麦克斯韦(Maxwell)方程组前面已经介绍了从实验上概括

127、出来的静电场,稳恒电流磁场的基本规律的表示式.同时也给出了变化的磁场与感生电场之间的关系.如何将这些规律加以总结推广,使其形成普遍的,完整的,决定电磁场规律的基本方程,以便进一步揭示电磁场的本质及它们之间的相互联系,是一项意义重大的工作,它是由英国物理学家麦克斯韦(James Clerk Maxwell)完成的. 麦克斯韦对已有的基本实验定律进行了总结.首先对电场有D = ,它是由库仑定律推导出来的,其直观物理图像是电荷激发出来的电力线与电荷量之间的关系. 在普遍情况下,如电荷发生运动时,库仑定律并不成立,但是电力线与电量之间的关系在理论和实验上都没有发现不合理的地方. 也就是说,在普遍情况下

128、,即使电荷发生变化,其所激发的电力线的数目也相应的发生变化,麦克斯韦认为高斯定理在普遍情况下成立,及 D(r,t) = (r,t)(3-6) E = 0只对无旋场成立,而普遍情况下,应当由法拉第电磁感应定律来代替,即 E(r,t) = B(r,t)t(3-7) B = 0是在稳定情况下得到的,而在磁场发生变化时,我们可以对法拉第电磁感应定律两边求散度,有 ( E) = Bt= t B = 0(3-8)说明 B不随时间发生变化,既然在初时态时为零,则在所有时间都为零.因此 B(r,t) = 0在普遍情况下成立. H = J是在稳定情况下导出的.在普遍情况下,如果我们对上式两边作散度,有 ( H)

129、 = J = 0,而根据电荷守恒定律,有 J = /t,因此,只有在电荷分布不发生变化的情况下才成立,而在一般情况下不成立.在一般情况下,麦克斯韦指出,产生磁场的原因不仅仅是传导电流,而应该还有新的来源.这个69电磁场理论讲义新的激发磁场的来源可以用一个等效的电流密度Jd来描述,即将安培环路定律推广为 H = J + Jd(3-9)显然,由矢量恒等式有 ( H) = J + Jd= 0,即 Jd= J =t=t( D)(3-10)或者 (JdDt)= 0(3-11)该方程的解为Jd= D/t,称为位移电流密度.从而在一般情况下,安培环路定律可以表示为 H = J +Dt(3-12)位移电流的引

130、入是麦克斯韦对电磁理论的最杰出的贡献.它表明,不但传导电流J能够激发磁场,而且变化的电场也能够激发磁场.两者以涡旋形式激发并且形成左右手对称.将以上的分析概括起来,就得到在一般情况下,电磁运动的规律为 D= E=Bt B=0 H=J +Dt(3-13)这就是著名的麦克斯韦方程组的微分形式.其对应的积分形式为ISD dS=VdVICE dl=SBt dSISB dS=0IH dl=S(J +Dt) dS(3-14)其中E与D,及B与H之间的关系由物质特性所决定.对各向同性物质,有D=EB=H(3-15)同时,在不同的区域上满足的边界条件为n (D2 D1)=s70第三章电磁现象的普遍规律与麦克

131、斯韦方程组n (E2 E1)=0n (B2 B1)=0n (H2 H1)=Js(3-16)此外,带电体系在电磁场中受到的力的作用由洛仑兹公式来计算f = E + J B(3-17)麦克斯韦方程组,洛仑兹力公式合在一起,组成了经典电磁理论的基本方程.这组方程在加上牛顿第二定律,构成了完整的可描述相互作用的带电粒子与电磁场的经典理论.例例例 30: 设有一平板电容器,极板面积为S.板间介质的介电常数.在初时时刻,电容器带电量为Q0. 由于电介质的原因,电容器有漏电现象,设电介质的电导率为,忽略边缘效应,试求电容器中的电流(包括传导电流和位移电流).解解解:忽略边缘效应时,电场方向和传导电流方向均垂

132、直于极板.而由电流连续性条件得到在整个板间电流和电场强度均匀.设电场大小为E,则传导电流密度为J = E.电位移矢量为D = E.在极板上,由边界条件得到面电荷密度为s= Dn= D = E.极板带电量为Q = sS = SE.当存在漏电现象时,电极板上带电量发生变化,由电荷守恒定律有dQdt= JS = ES = S QS= Q(3-18)该方程的解为Q = Q0exp(t)(3-19)电场为E =QS=Q0Sexp(t)(3-20)传导电流密度J = 1SdQdt= 1S ()Q0exp(t) =Q0Sexp(t)(3-21)位移电流Jd=dDdt= dEdt= Q0Sexp(t)(3-2

133、2)可见全电流J + Jd= 0,从而不会在空间激发磁场.表示电容的漏电不会引起电磁辐射.3.3电磁场的能量守恒定律(Conservation laws)能量守恒定律时自然界一切物质运动过程中所遵守的普遍法则.作为一切物质的一种特殊形态-电磁场,当然也不例外.71电磁场理论讲义首先通过电磁场对运动导体的做功来考察电磁场的能量.设带电导体的电荷分布为,体积元dV 内的电荷为dV ,运动速度为v.在外电场和磁场的作用下所受到的力为fdV = (E + v B)dV(3-23)则单位时间内,电磁场对电荷所作的功为dWkdt=V(f v)dV =V(E + v B) vdV =VJ EdV(3-24)

134、由 H = J +Dt得到J E = ( H) E Dt E(3-25)利用矢量恒等式 (E H) = ( E) H E ( H)有J E=( E) H (E H) Dt E=(Bt H +Dt E) (E H)(3-26)对于各向同性线性煤质,由本构关系D = E,B = H,并设物质参数不随时间发生变化,有Dt E = Et E =12t(E E) =t(12D E) =wet(3-27)同理有Bt H =t(12B H) =wmt(3-28)所以有J E = t(we+ wm) (E H)(3-29)在体积V 内积分,得到dWkdt=V (E H)dV Vt(we+ wm)dV=IS(E

135、 H) d ddtV(we+ wm)dV(3-30)上式右边第二项表示电磁场能量随时间的变化,等式左边为电磁场对外所作的功.根据能量守恒定律,右边第一项应表示为通过封闭曲面流出去的电磁场的能量.定义一个新的矢量S = E H(3-31)72第三章电磁现象的普遍规律与麦克斯韦方程组称为坡印亭(Poynting)矢量,它表示了电磁场能流密度矢量,其单位是W/m2.上式就称为坡印亭定理,其微分形式为J E = S wt(3-32)例例例 31: 设同轴电缆的内外半径分别为R1,R2,两导体间填充绝缘介质,导体中流过电流为I,两导体间外加电压U,设导体电阻率为无穷大,计算介质中的能流和传输功率.(课

136、本38页)解解解:使用圆柱坐标系,令z轴为导体轴线. 由于场不随时间发生变化,故而位移电流为零,由对称性得到场与无关.在内外导体之间取一半径为r的圆环,由安培环路定理有H 2r = I(3-33)从而H=I2r(3-34)由于导体内部电场为零,而在表面上切向电场连续,故而导体外轴向电场为零,仅有Er.在导体表面有面电荷分布,设单位长度的电荷为l,则由高斯定律得到2rDr= 2rEr= l(3-35)从而有Er=l2r(3-36)而两导体间的电压为U =R2R1Erdr =l2lnR2R1(3-37)故而电场强度又可以表示为Er=UrlnR2R2(3-38)能流密度为S = E H = ErHa

137、z=UI2r2lnR2R1az(3-39)沿z向传输的功率为S在圆环横截面上的面积分.P =S d =R2R1UI2r2lnR2R1 (2r)dr = UI(3-40)可见,沿电缆传输的功率等于电压和电流的乘积,这是大家熟知的结果.值得注意的是,坡印亭矢量表明能量的传播发生在导体之间的介质内部,而不是导体内.由于理想导体内部的电磁场为零,本身并不储存或传输能量,这一结论对其它形状的导体也是成立的.73电磁场理论讲义3.4电磁场的波动性从麦克斯韦方程出发,可以预言在非稳定情况下,电磁场的变化具有波动性质,以及这些变化电磁场传播的一些基本特征.麦克斯韦的预言都为后来的实验所证实.假设介质是均匀各向

138、同性,且物质参数不随时间发生变化.对麦克斯韦方程中电场旋度公式两边同时取旋度,有 E = Bt= t( H)(3-41)利用矢量恒等式 A = ( A) 2A,以及麦克斯韦方程中关于磁场的旋度公式和电场的散度公式,上式可以化为2E 1v22Et2=1( + Jt)(3-42)其中v = 1/. 同理对于磁场有类似的结论2H 1v22Ht2= J(3-43)上面的式子就是有源的波动方程,它代表以速度v传播电磁场的物理过程.上面的式子表明,在一定空间范围内分布的变化的电荷和/或电流会激发电磁场,其所激发的电磁场随时间的延续将遍布整个空间.虽然电荷与电流总是局限在一定的空间中,但在此区域以外,仍然存

139、在激发的电磁场.而对于无源区域中J = 0, = 0,波动方程可以简化为2E 1v22Et2=02H 1v22Ht2=0(3-44)这就是自由电磁场的波动方程,它表示在自由空间以速度v传播的电磁波.上式表明,在自由无源空间,电磁场能够独立并以速度v 进行传播.从时间上讲,源的存在可以是有限的,但是即使在源消失以后,场仍然能够传播,也就是说电磁场可以独立于源而存在,即自由电磁波. 在真空中,电磁波的传播速度v = 1/00= c,正是真空中的光速,麦克斯韦认为这个速度的一致性表明“光是一种按照电磁学现象规律在空间中传播的电磁扰动”,这一著名的光的电磁波学说被后来的大量实验所证实.74第四章平面

140、电磁波第第第四四四章章章平平平面面面电电电磁磁磁波波波4.1正弦电磁场(Harmonic fields)如果场源(电荷或电流)以一定的角频率随时间作正弦(或余弦)变化,则它所激发的电磁场也以相同的角频率随时间作简谐变化.这种以一定频率作简谐变化的场,称为简谐电磁场,又称为单色场.在一般情况下,即使电磁波不是简谐变化的,也可以通过傅立叶变换为正弦电磁场来研究,因此简谐场的性质是波动电磁场的基础.4.1.1简谐电磁场的复数表示法对于简谐电磁场,场的每一个分量Ei,以余弦为基准时的表示为Ei(r,t) = Eim(r)cost + i(r)(4-1)如果采用复数的方法进行表示,将会比较方便.Ei(r

141、,t) = Eim(r)ej(t+i(r)= Eim(r)ejejt= Eim(r)ejt(4-2)Eim(r) = Eimej称为场在i方向上的复振幅.对于空间的三维矢量场,也可以表示为E(r,t) =iEimejtai= (iaiEim(r)ejt= Em(r)ejt(4-3)其中Em(r) = axExm(r) + ayEym(r) + azEzm(r)称为电场强度的复振幅矢量.我们把Eim(r)ejt称为场的复数表示.对其它场分量以及电流,电荷等都可以有类似的复数表示法.可以证明,利用复数方法表示场后,仍然满足麦克斯韦方程.而此时,对时间的偏导数变得很简单tEm(r)ejt= jEm(

142、r)ejt即算符/t可以用j来代替.此时可以将麦克斯韦方程进行简化.例如,H的旋度方程为 Hmejt=Jmejt+tDmejt=Jmejt+ jDmejt(4-4)消去等式两边的因子ejt,得到 Hm=Jm+ jDm(4-5)75电磁场理论讲义可见,对于复数形式表示的场,只需要其复振幅就可以了.如果所有的场均用复数的方法表示,则可以去掉各式上方的点, 同时去掉下标.于是得到复数形式的麦克斯韦方程组为 D= E=jB B=0 H=J + jD(4-6)在线性介质中,描述介质的电磁性质的本构关系仍有D=EB=EJ=E(4-7)应该指出的是,在谐变电磁场中,描述介质电磁性质的量除了可能与坐标有关外,

143、还与角频率有关.4.1.2复数形式的能量守恒定律复数形式的能量与功率当场用复数来表述时,对于线性运算,可以直接用复数形式的场来代替原来的场.而对于非线性运算,则一般情况下不能直接运用.关于能量的焦耳定律涉及电场E和电流密度J的乘积,是一个非线性运算,因而不能直接利用场的复数表述.假设电场和电流强度的复数表述为Eejt和Jejt,而对应的实际值为E和J,则由焦耳定律单位体积内损耗的功率为 pj=E J =(Eejt+ Eejt2)(Jejt+ Jejt2)=14(E J)e2jt+ E J+ E J + (E J)e2jt=12E J+ E Je2jt(4-8)对简谐时变场而言,其消耗的焦耳热随

144、时间变化的角频率是2.在实际中,我们往往更加关心在一段较长的时间内所产生的焦耳热的平均值,因此我们求处焦耳热在一个周期内的平均值.=12=12E J(4-9)可见12E J表示了在一个周期内焦耳热的平均值,从一段长的时间来看,它是单位体积内焦耳热损耗的功率,上式就是复数形式下焦耳定律的微分形式.应该注意两点:(1)正如前面提到的,它表示的是一个周期内的平均值而非瞬时值.(2)与普76第四章平面电磁波通形式的焦耳定律不同,前面多了一个1/2,这是因为我们使用的场量的振幅值,它是有效值的2倍.对于电磁场,单位体积内所存储的能量的平均值为=14E D=14B H(4-10)简谐场的坡印亭定理在一般

145、情况下,坡印亭矢量的表述为S=E H =(Eejt+ Eejt2)(Hejt+ Hejt2)=14(E H)e2jt+ (E H) + (E H) + (E H)e2jt=12(E H) + (E H)e2jt(4-11)可见,对于简谐场,坡印亭矢量分为两个部分,前一部分不随时间变化,后一部分以角频率2作简谐变化. 如果考察一个周期内的平均值,则右边第二部分为零,于是有=12E H(4-12)定义一个新的矢量S =12E H(4-13)其实部表示一个周期内能量流密度的平均值.由于在用复数方法表述场时,焦耳定律的表述方法不同.前面提到12J E的实部表示电场对外做功功率,现在我们看它与坡印亭矢量

146、的关系,类似于一般情况下的坡印亭定理，我们有12VJ EdV=IS d + 2j14(E D B H)dV(4-14)电导率为实数,而对于介电常数和磁导率则在场的复数表述下可能为复数, = j, = j,则we=14E D=14E (+ j)E=14|E|2(+ j) = we+ jwe(4-15)同理对磁场有wm=14|H|2( ) = wm+ jwm(4-16)而对电磁场做功有12J E =12E E =12|E|2= pj(4-17)77电磁场理论讲义于是有IS d =VpjdV + 2V(we+ wm)dV 2jV(we wm)dV(4-18)两边取实部,则有Pin= PJ+ Pe+

147、Pm(4-19)其中Pin= IS d(4-20)表示流入体积V 的功率.PJ=VpjdV(4-21)表示体积V 内的焦耳损耗功率.Pe= 2VwedV(4-22)表示体积V 内的介电耗.Pm= 2VwmdV(4-23)表示体积V 内的磁损耗. 式 4-18就是复数形式的坡印亭定律.从上面还可以看出,坡印亭矢量的虚部对应无功功率,其物理意义为一个周期内功率的吐纳.4.1.3复数形式的波动方程从前面的分析可以看出,波动电磁场可以独立于源而存在,在复数形式下,波动方程有着更简单的形式.对简谐电磁场,/t等效于j,前面我们已经得到电磁场的波动方程为2E 1v22Et2=1( + Jt)2H 1v22

148、Ht2= J(4-24)利用上述代换,得到复数形式的波动方程为2E + 2E=1( + jJ)2H + 2H= J(4-25)在无源的情况下,则有2E + 2E = 0(4-26)78第四章平面电磁波该式称为正弦场的波动方程或者亥姆霍兹(Helmholtz)方程值得注意的是,上述波动方程是在附加条件 E = 0的情况下得到的,但是波动方程的解并不保证满足条件 E = 0,因此只有既满足波动方程,又满足上述条件的解才能代表电磁波的解.对磁场而言,无源情况下的波动方程与电场相同.在实际过程中,一般没有必要同时求解两个波动方程.只要得到了一个量,通过麦克斯韦方程,就可以得到另外一个量.例如得到了电

149、场E后,可以通过如下方式得到磁场HH =j E(4-27)而得到H后有E = j H(4-28)4.2电磁波在非导电媒质中的传播4.2.1非导电媒质中的均匀平面波无源非导电媒质中的电磁波的一个特解为均匀平面电磁波E = E0ej(tkr),H = H0ej(tkr)(4-29)E0,H0表示场的复振幅,表示波的角频率,k是波矢量. 对平面波而言,必须满足波动方程,从而k的值不能任意取.根据上式,容易有Ex= E0xexpj(t kxx kyy kzz) = jkxE(4-30)也就是说,对平面波而言/x jkx,同理有/y jky,/z jkz,进而有 jk, 2 k2. 将上述等效运算用于波

150、动方程,有k2= 2.4.2.2均匀平面波的特性平面波的相位(r,t) = t k r,其等相位面满足的方程为(r,t) = C,为一簇平行平面,平面的法向为k方向,也就是说,波的传播方向为k方向.等相位面的传播速度为v = /k = 1/,称为相速度.同时,k = /v = 2/.由于电场E除满足波动方程外,还应满足麦克斯韦方程组,因此对k和E的关系也有一定的限制.由E得到jkE = 0,即电场的振动方向垂直于传播方向k.同理由H = 0得到磁场的震动方向也垂直于传播方向k.另外,由E = jH得到jkE = jH,或者kE = H.同理有kH = E.这表明:E,H,k两两垂直并构成右手螺

151、旋关系.同时在大小关系上有E2= H2.由于14E2为均匀平面波电场能量密度,14H2为磁场能量密度,因此对均匀平面波而言,两者相等.电场强度大小于磁场强度大小之比为E/H =/,称为媒质的本征阻抗,其倒数称为媒质的本征导纳.79电磁场理论讲义以余弦为基准,可以得到电磁场的瞬时值为E(r,t)=E0cos(t k r)H(r,t)=H0cos(t k r)(4-31)在某一时刻,场值和位置的关系见课本P192图4.2. 坡印亭矢量的瞬时值为S=E H=E0 H0cos2(t k r)=12E201 + cos2(t k r) k0(4-32)它是随时间变动的量,其平均值为S =12E2k0=1

152、21E2k0= (we+ wm)k0(4-33)表明从平均的角度来看,波的能流密度是电磁场能流密度we+ wm,以相速度v沿着k的方向流动.容易验证,如果将波矢k换成k,代入场的表达式后仍然满足波动方程,表明它也是电磁波的一个特解. 其物理意义是沿k方向传播的均匀平面波.例例例 32: 真空中一沿z轴传播的均匀平面波,其电场幅值为E0,振动方向为x方向,波长为.(1)写出电场的复数表述式和瞬时值.(2)有z = z1和z = z2两个平面,试写出单位面积内通过这两个平面的电磁功率的瞬时值.(3)求单位面积内两平面间所储存的电磁能量的瞬时值.解解解:(1)波矢k = 2/,真空中电磁波的传播速度

153、c = 1/00,从而有 =k c = 2c/,所以电场的复数和瞬时表达式分别为E=E0exp(j2(ct z)axE=E0cos2(ct z)ax(4-34)(2)由坡印亭矢量的瞬时值可以得到单位面积上的功率P =S az=1200E201 + cos4(ct z)(4-35)将z1,z2代入z即可.(3)两平面间的电磁波能量W=z2z12 120|E|2dz = 0E20z2z1cos22(ct z)dz=0E202(z2 z1) +0E208sin4(ct z1) sin4(ct z2)(4-36)容易证明dW/dt = P(z1) P(z2)80第四章平面电磁波4.3电磁波的极化(偏

154、振)(polarization)由前面的讨论可以知道,电磁波是横波,电场可以在垂直于传播方向的平面内任意方向振动. 如果电场矢量E保持在某一固定方向或按照某一规律旋转振动,则称电磁波为极化波.如果E的振动方向限于某一固定方向,称为线偏振或平面偏振.其振动方向称为偏振方向或极化方向.偏振方向于传播方向所构成的平面,称为偏振面.在垂直于传播方向的平面内任意一矢量都可分解为两个相互垂直的矢量的和.为了叙述简单,我们令传播方向为+z方向,则在xoy平面内的任意一个矢量可以表示为ax,ay之和.而任意均匀平面波可以表示为E(r,t) = (Exmax+Eymay)ej(tkzz+0)(4-37)其中振幅

155、Exm= Exmejx,Eym= Eymejy为复振幅,0为初始相位.如果令xy= ,则有E(r,t) = (Exmax+ Eymejay)ej(tkzz+0+x)(4-38)初始相位的选择与起始时间的选择有关,而并不影响电磁波的偏振状态,可以适当的选择,令0+ x= 0,则在z = 0的平面内,电场的瞬时值分量为Ex=ExmcostEy=Eymcos(t ) = Ey(costcos + sintsin)(4-39)消去时间t,可以得到E2xE2xm+E2yE2ym 2ExEyExmEymcos = sin2(4-40)这是一个非标准形式的椭圆方程,它表明波电场矢量的矢端在一椭圆圆周上旋转,

156、如图 4-1所示. u v x y o Ex Ey Eu Ev 图图图 4-1:椭圆偏振波81电磁场理论讲义为了把式 4-40化为标准形式,令坐标系xoy逆时针旋转一个角度,得到一新坐标系uov,如图 4-1所示,有Ex=Eucos EvsinEy=Eusin + Evcos(4-41)代入式 4-40得到E2uE2um+E2vE2vm+(E2xm E2ym)sin2 2ExmEymcoscos2E2xmE2ymEuEv= sin2 (4-42)要化为标准的椭圆形式,只要令EuEv的系数为零,从而有tan2 =2ExmEymE2xm E2ymcos(4-43)此时,椭圆方程化简为(EuAsin

157、)2+(EvB sin)2= 1(4-44)其中A=(cos2E2xm+sin2E2ymsin2 cosExmEym)1/2B=(cos2E2ym+sin2E2xm+sin2 cosExmEym)1/2(4-45)表明在一般情况下,波为椭圆极化波.电场矢量方向与x轴的夹角为tan =Eymcos(t )Exmcost(4-46)极化矢量的旋转角速度为ddt=ExmEym sinE2xcos2t + E2ymcos2(t )(4-47)在一般情况下,角速度是随时间变化的.当sin 0时,合成波沿逆时针方向旋转(右旋极化波),反之若sin n2),根据折射定律有sinsin,即折射角大于入射角.当

158、我们不断增加入射角时,折射角也对应增大.在入射角到达一定的角度c时,有可能出现折射角等于/2的情况,这是折射波将沿分界面传播.容易得到sinc= n2/n1= n21.若当入射角进一步增大时,将出现sin 1的情况,这表明折射角为虚角,在光疏介质中将不再存在折射波, 即光全部被反射会光密介质中,这种现象称为全反射或全内反射.c就是发生全反射时的临界角.我们现在考察当发生全反射时介质中波场的情况.由于sin= sin/n211,有cos= j其中 =(sin/n21)2 1(另一个解为 = (sin/n21)2 1,后86第四章平面电磁波面将看到它不符合物理实际.),从而得到反射波的场为E0=

159、n1cos + jn2n1cos jn2E0= ejE0E0=n2cos + jn1n2cos jn1E0= ejE0(4-67)可以看出,当发生全反射时,反射波与入射波有一相位差,且不同极化方向所产生的相位差一般不同.这就意味着反射波的偏振状态会发生变化.光学中产生偏振光的一个重要方法是利用全反射.在发生全反射时,光疏媒质中的场并不为零.如果以xoz平面作为入射面,在sin n21的情况下,边值关系4-57 仍然成立,则有kx= kx= k sin(4-68)而又由k= kn21,则有kz= kcos= kn21cos= jkn21(4-69)于是折射波的电场为E= E0ejkzzej(tk

160、xx)= E0ekn21zej(tkxx)= E0ezej(tk sinx)(4-70)其中 = kn21= ksin2 n221.可见,当 c时,只有沿界面方向行进的波,其振幅沿垂直界面方向按指数衰减(无穷远处场不能为无限大的要求限制了的符号).这种波的等相位面x = C与等振幅面z = C不重合,故为非均匀平面波.波在进入光疏媒质后,将按照指数律衰减,当z = = 1/时,振幅衰减为分界面的1/e,此值称为透入深度 =1ksin2 n221=12sin2 n221(4-71)以垂直极化为例Ex= 0,可以写出在发生全反射时折射波的场的复振幅E=ayE0ezejk sinxH=Y2E0n21

161、(sinaz+ jsin2 n221ax)ezejk sinx(4-72)坡印亭矢量S=12E H= axY2|E0|2sin2n21e2z+ jazY2|E0|2sin2 n221n21ez(4-73)可见折射波平均能流只有x分量,沿z方向进入介质2的平均能流密度为零.但是由于坡印亭矢量的虚部不为零,其瞬时值非零,电磁能量在半周期内透入介质2后储存起来,在下半个周期释放出来变为反射波能量.87电磁场理论讲义4.4.5垂直入射的情况前面讨论的情况是电磁波斜入射到介质分界面上的情况.我们把电磁波按照极化方向进行了分类讨论.当电磁波垂直入射到介质分界面上时,入射波,反射波,折射波的波矢方向都垂直于

162、分界面.同时由于入射面不确定,则不再区分垂直极化和平行极化.两种情况所得到的结论应该时一致的.但是值得注意的是, 按照前面所规定的电场的参考方向,在垂直入射的情况下,平行极化时,入射波和反射波电场的参考方向相同,而对于垂直极化的波, 入射波和反射波电场参考方向相反.因此电场反射系数会在形式上相差一个负号.为统一起见,我们采用如图 4-4所示的参考方向. 可以看出,我们规定入射波和反射波电场参考方向相同,等效于垂zxE0E0E0H0H0kkkH0o图图图 4-4:垂直入射波直极化的情况,可以直接使用r来计算反射系数和投射系数r=r=Z2 Z1Z2+ Z1t=t=2Z2Z2+ Z1(4-74)对于

163、垂直入射的情况,我们还可以考虑更一般的情况.假设在z = 0平面的右侧,总的电场大小为Etx,磁场为Hty,则可以定义在z = 0处,从左端看过去的波阻抗为Zt=EtxHty(4-75)而在z = 0平面的左侧为本征阻抗为Zc的介质,入射波电场强度为E0x,反射系数为r,则有反射波电场E0x= rE0x.对磁场有H0y= YcE0x,H0y= YcE0x=rYcE0x.由z = 0处电场和磁场连续得到E0x+ E0x=E0x+ rE0x= EtxH0y H0y=YcE0x rYcE0x= Hty(4-76)两式相除,求解r得到r =Zt ZcZt+ Zc(4-77)88第四章平面电磁波这一结

164、论具有普遍的意义.即只要知道了右侧合成波阻抗和左侧材料的本征阻抗,就可以通过上述公式得到反射系数.同时注意到当Zt Zc时，r 0，表明反射波与入射波的相位相差180度，这一现象称为“半波损失”。反之,如果知道了反射系数,也可以用来求右侧的合成波阻抗Zt= Zc1 + r1 r(4-78)如果左侧从界面到z处材料均匀,则在z处,入射波,反射波电场的复振幅依次为Ex(z)=E0xejkzEx(z)=E0xejkz= rE0xejkz(4-79)则在z处的反射系数为r(z) =Ex(x)Ex(x)= re2jkz(4-80)从而z处合成波的阻抗为Z(z) = Zc1 + r(z)1 r(z)= Z

165、cZt jZctankczZc jZttankcz(4-81)值得注意的时,在分界面上,由于入射波场和反射波场本身不连续,故而反射系数不连续.但是合成场连续,故而波阻抗连续.例例例 33: 设有一块以平面z = a和z = 0为界限定的电介质层,其介电常数为2,它的两边分别充满介电常数为1,3的均匀介质.若以均匀平面电磁波从z 0的区域3为均匀介质,且无沿z方向传输的波,从而在z = 0界面的右侧,波的阻抗即为材料3的本征阻抗z3,故在z = 0处的左侧的反射系数为r(0) =Z3 Z2Z3+ Z2(4-82)而在z = a处的右侧,反射系数为r(a + 0) = r(0)ej2k2a(4-8

166、3)从而有z = a处的波阻抗为Z(a) = Z21 + r(a + 0)1 r(a + 0)(4-84)最后得到在z = a左侧的反射系数为r(a 0) =Z(a) Z1Z(a) + Z1=(Z22 Z1Z3)sink2a + jZ2(Z1 Z3)cosk2a(Z22+ Z1Z3)sink2a jZ2(Z1+ Z3)cosk2a(4-85)89电磁场理论讲义功率反射系数R =(Z22 Z1Z3)2sin2k2a + Z22(Z1 Z3)2cos2k2a(Z22+ Z1Z3)2sin2k2a + Z22(Z1+ Z3)2cos2k2a(4-86)得到取R取极值的条件为sink2a = 0或co

167、sk2a = 0,极值的情况取决于Z1,Z2,Z3的大小关系.为了实现无反射,要求R = 0得到一组解为cosk2a=0Z1Z3=Z22(4-87)即a = n24,(n = 1,3,5,)且2=13时,介质是无反射的.它相当于四分之一波长变换器.其实例是光学透镜上的增透膜.另一组解为sink2a=0Z1=Z3(4-88)即a = n24,(n = 2,4,6,)且1= 3时,介质是无反射的.半波厚度的介质片称为”半波窗”,雷达天线罩就是这样的窗口.4.5导电媒质中的均匀平面波当电磁波在导电媒质中传播时,媒质中的自由电子会在电场电场的作用下运动而形成传导电流J.根据式 2-13 的结论,导电媒

168、质内部的自由电荷密度 = 0,此时对于简谐电磁场,麦克斯韦方程组变为 E=0 H=0 E=jH H=E + jE = jeE(4-89)其中e= j(4-90)称为导电媒质的等效介电常数.在导电媒质中,即存在传导电流,又存在位移电流,两者大小之比为|E|jE|=1(4-91)其中为特征时间.一般根据这一比值来对媒质进行分类:90第四章平面电磁波1. 若 1即传导电流远小于位移电流,称为电介质(或绝缘介质), = 0的介质称为理想介质.2. 若 1即传导电流远大于位移电流,称为良导体, = 的介质称为理想导体.3. 若 1即传导电流与位移电流相当,称为半导体.由上面的分类方法可以看出,材料是绝

169、缘体还是不良导体在简谐电磁场中,不但与电导率有关,而且还与工作频率有关.电场E满足的波动方程与前面的波动方程在形式上是一致的2E + k2E = 0,( E = 0)(4-92)在形式上引入等效介电常数e后,波数k成为复数.上述波动方程在形式上的平面波的解为E = E0ejkr(4-93)由于k是一个复常数,波矢k也是一个复矢量,即k = n jn(4-94)于是导电媒质中的波的解又可以表示为E = E0enrejnr(4-95)由此可以看出:1. 指数因子ejnr表示沿n方向传播的平面波,其等相位面与n垂直,n称为传播矢量.相速度为v = /.2. 平面波的振幅为E0enr,而enr是衰减因

170、子, 表示平面波的振幅沿n方向衰减,n称为衰减矢量.定义场振幅衰减到初时值的1/e的传播距离为衰减长度或穿透深度,其值为 = 1/.在一般情况下,n与n的方向并不相同,但是在无界均匀媒质中它们是一致的,即有k = ( j)n = kn(4-96)这里n是一个实数单位矢量,与k方向相同,此时有( j)2= k2= 2( j)(4-97)由于,都是实数,通过比较上式两端的实部和虚部可以得到,的值=121 +() 11/291电磁场理论讲义=121 +()+ 11/2(4-98)此时等相位面上场的大小相同,仍为均匀平面波.同样由麦克斯韦方程可以得到波只有垂直与传播方向k的场分量.如果是良导体,有 1

171、,则可以简化为= =2=2=1fv=2(4-99)由此可以看出,良导体中的电磁波随着,的升高衰减更快,而穿透深度越小.对于高频的电磁波,电场仅仅在导体表面很薄的一层内,相应的高频传导电流也集中在导体表面很薄的一层内流动,这种现象称为趋肤效应. 相速度随频率不同而变化,称为色散现象.而对于非良导体,有 1,则上式可以简化为=2=v=1(4-100)对于磁场,可以由麦克斯韦方程得到H =1k E =kn E(4-101)本征阻抗Z =k=e(4-102)为一复数,故在导电媒质中磁场矢量与电场矢量的相位不同,在时间上磁场比电场落后.对良导体,可以简化为Z j= (1 + j)2(4-103)而能量密

172、度之比|H|2|E|2= 1(4-104)可见磁场的能量大于电场能量.92第四章平面电磁波例例例 34: 导体的介电常数,电导率,磁导率0.其中一沿z轴传播的均匀平面波,在z =0的平面内电场幅值为E0,振动方向为x方向,频率为f. (1)有z = z1和z = z2两个平面,试写出单位面积内通过这两个平面的电磁功率的平均值. (2)求单位面积内两平面间所产生的焦耳热功率.解: (1)设波数k = j,的值可以通过( j)2= 42f20( j2f)(4-105)得到. 电场复振幅E = axE0ezejz(4-106)磁场H =kaz E = j0E0ezejzay(4-107)坡印亭矢量

173、S =12(E H) = + j20E20e2zaz(4-108)在z处单位面积上流过的电磁功率为P(z) = S az=2E20e2z(4-109)(2)焦耳热功率密度为wj=12E J =12E E =12E20e2z(4-110)单位面积内两平面间所产生的焦耳热功率为PJ=z2z1wjdz =E204(e2z1 e2z2)(4-111)由关系2 = 很容易得到PJ= P(z1) P(z2),即电磁波的能量损耗等于产生的焦耳热.4.6电磁波在导体面上的反射4.6.1电磁波垂直入射于理想导体表面如前所述,理想导体内部不可能有时变电场及磁场,因此只有反射波而没有透射波.入射波与反射波叠加场在表

174、面上满足理想导体边界条件,即短路边界条件.在垂直入射的情况下,平行极化与垂直极化没有区别.我们使用与前面介质中类似的坐标系和参考方向:入射波沿+z方向传播,电场为x方向线偏振,于是入射波和反射波合成场的表达式为E(z)=ax(E0xejkz+ E0xejkz)ejt93电磁场理论讲义H(z)=ay(H0xejkz H0xejkz)ejt(4-112)合成场在分界面z = 0处满足条件E az= 0,从而有E0x= E0x(4-113)从而得到合成场为E(z)=axE0x(ejkz ejkz)ejt= ax2jE0xsin(kz)ejtH(z)=ay(Y E0x Y E0x)ejt= ayY E

175、0x(ejkz+ ejkz)ejt=ay2Y E0xcos(kz)ejt(4-114)它们表示沿z呈正弦及余弦变化的交变电场和磁场,是两个传播方向相反,振幅相同的行波叠加的结果,称为驻波(standing wave)或纯驻波.驻波不是传播的波,只是一种场的振动.驻波中复数坡印亭矢量为S =12E H= jazE20Y sin(2kz)(4-115)S为纯虚数,只有无功功率的吐纳,没有有功功率的传输.在空间某一点的波阻抗为Z(z) =Ex(x)Hy(z)= jZ tan(kz)(4-116)纯驻波的波阻抗为纯电抗性质,沿z呈正切分布,感性和容行交替变化.若入射波是圆偏振波,设为左旋波E = (a

176、x+ jay)Emejkzejt(4-117)则反射波为E= (ax+ jay)Emejkzejt(4-118)场相对于坐标系的旋转方向没有发生变化,但是场的传播方向发生了变化,故而变为右旋波.4.6.2电磁波斜入射于理想导体表面均匀平面波斜入射于理想导体表面时,没有透射波而只有反射波.容易证明,反射角等于入射角.下面分平行极化和垂直极化两种情况进行讨论.我们取入射面为xoz平面,坐标系和参考方向如图4-5所示94第四章平面电磁波kkEEHHzxokkEEHHzxoqqqq图图图 4-5:导体表面上的反射垂直极化波斜入射于理想导体表面按照规定的参考方向,此时Ei=ayE0ejkrE=ayE0

177、ejkr(4-119)在x = 0的平面上有Ei+ E= 0,从而得到E0= E0,从而合成波电场为E=ay(E0ejkxxjkzz E0ejkxxjkzz)=ayE0(ejkxcosjkz sin ejkxcosjkz sin)=ayE0ejkz sin(ejkxcos ejkxcos)=2jayE0sin(kxcos)ejkz sin(4-120)合成波的磁场为H=Hi+ H=Y E0(axsin azcos)ejkxcosjk sinzY E0(axsin + azcos)ejkxcosjk sinz=2jaxY E0sinsin(kxcos)ejkz sin2azY E0coscos(

178、kxcos)ejkz sin(4-121)由此可知,在理想导体表面外,入射波与反射波的合成场沿z呈行波,沿x呈驻波.电场只有y分量,即垂直于行波传播方向的分量,磁场则有x,z分量,磁力线在xoz平面内为椭圆.平行极化波斜入射于理想导体表面如图所示,对于平行极化的均匀平面波,电场为Ei=E0(axsin + azcos)ejkxcosejkz sinE=E0(axsin azcos)ejkxcosejkz sin(4-122)95电磁场理论讲义在x = 0的平面上合成场的z方向分量为零,从而得到E0= E0故而合成电场为E = 2E0(axsincos(kxcos) + jazcossin(kx

179、cos)ejkz sin(4-123)而磁场只有y方向的分量,合成波的磁场为H=(Y E0ejkxcosjkz sin+ Y E0ejkxcosjkz sin)ay=2ayY E0cos(kxcos)ejkz sin(4-124)可见,此时与垂直极化相反,磁场只有y分量,而电场则有x,z分量. 我们注意到对于垂直极化的场,在离界面/4cos处,磁场为零,波阻抗无穷大,为一开路面. 如果我们将此平面于平行极化时的界面向重合,则原来的磁力线与现在的电力线重合.推而广之,如果我们将边界条件中的短路面, 换成开路面,则只需要将磁场和电场的表达式相交换(当然可能需要乘上相应的系数),这称为电磁场的对偶原

180、理.96第五章导行电磁波第第第五五五章章章导导导行行行电电电磁磁磁波波波由前面电磁波在理想导体表面的反射的结论可知,当电磁波斜入射导理想导体表面时,在平行于导体表面的z方向上,合成波为行波. 而在垂直于导体表面x方向上为纯驻波,导体表面为电场的波节面,并在该方向上周期性出现波节面.如果我们在某一波节面上放置一理想导体平面,则合成波的电场同样满足边界条件.也就是说,此时在两个平行导体面之间出现了沿z方向传播的导行波.而如果电场的振动方向为垂直于入射面,则如果我们任意放置两个平行于入射面的理想导体面,则合成波同样满足边界条件,也就是说:在由上述四个金属平面所限制的一个矩形筒范围内,可以存在沿z轴

181、传播的导行波.由上可以看出,可以利用导体来引导电磁波在有限空间中进行传播.被导引着传播的电磁波称为电磁导波,用来导引电磁波传播的导体总称为波导.波导可以是导线,导面或者导管的形状.而导线又常称为传输线,为的是同其它形状的波导相区别.除传输线外,最常用的波导是一空心的金属管,它的一端有一激发电磁波的天线,另一端为接受电磁波的负载.波导管的金属把电磁波限制在管中,起着引导电磁波的作用.5.1导波的基本方程我们首先研究柱状波导系统,为研究方便,我们假设:(1)波导系统是均匀直无限长的,即导波系统的横截面形状以及媒质参数沿传播方向不变.(2)导波结构是理想的,导体是理想导体,介质是无损耗的.(3)导波

182、场随时间变化为正弦变化,即ejt如图 5-1所示,我们令波导管的轴相为z向.波导中场所满足的方程为zyxo图图图 5-1:波导管2E + k2E=02H + k2H=0(5-1)对于在z向无限延伸的波导,场可以通过分离变量的方法来求解.关于变量z的关系为ez.对于上述的理想波导,2为实数.不同的负号对应以两个不同方向的波.于是有/z 由于z向分量的特殊性,我们把场分为两个部分:横向t和轴向zE=Et+ azEz97电磁场理论讲义H=Ht+ azHz(5-2)同时把算符分解为 = t+ azz(5-3)其中t=xax+yay为横向算符. 如果我们仅仅考虑沿+z方向传播的波,则有 = t az(5

183、-4)此时 E=(t az) (Et+ azEz)=t Et+ t (azEz) az Et=t Et+ tEz az az Et(5-5)其横向和轴向分量应分别等于jH的横向和轴向分量,从而有t Et=jHzaz(tEz) az az Et=jHt(5-6)上面第二个式子两边同时左乘az得到Et+ j(az Ht) = tEz(5-7)同理,利用另一个旋度方程得到Ht j(az Et) = tHz(5-8)根据上面两个式子可以看出,如果得到了纵向分量Ez,Hz,就可以得到横向场分量,也就是所有的场分量,Et=tEz+ jtHz azk2+ 2Ht=jtEz az tHzk2+ 2(5-9)所

184、以对于波导方程,我们只需求解纵向分量就可以得到所有的场分量.在直角和圆柱坐标系下,纵向分量所满足的方程为(2t+ 2)Ez+ k2Ez= 2tEz+ (2+ k2)Ez= 0(5-10)上面的方程是二维标量的亥姆霍兹方程,磁场所满足的方程与电场相同.除了波动方程以外,为了求解场,还需要边界条件.在波导壁上,由于是理想导体表面,纵向电场平行于导体表面,从而有Ez|= 0.这就是纵向电场的边界条件.对于纵向磁场,我们通过如下的方式求解如图5-2所示,在波导表面上建立局部坐98第五章导行电磁波 z n t 图图图 5-2:Hz的边界条件标系，令z为波导轴向，n为波导壁法向，t为切向，由 H =

185、jE得到?anatazntHnHtHz?=(Hzt+ Ht)an(Hzn+ Hn)at+(HtnHnt)az=j(Enan+ Etat+ Ezaz)(5-11)在边界上Et= 0,Hn= 0,从而得到纵向磁场的边界条件为Hzn|= 0(5-12)5.2导波的分类由上一节的讨论可以看出,场的纵向分量决定了场的所有性质,因此通常根据纵向场的性质来对导波进行分类.由上一节的讨论我们得知,电场和磁场的纵向场分别各自满足二维形式的亥姆霍兹方程,在理想波导横截面上为线性均匀介质的情况下, 电场和磁场纵向分量无相互耦合现象出现,因此,电场纵向分量和磁场的纵向分量可以单独存在.根据有无纵向分量,可以把导波分为

186、如下两大类1. TEM波不存在纵向分量,即Ez= 0,Hz= 0的电磁波,这种波只存在横向场分量,故称为横电磁波(TEM波).其电力线和磁力线全部位于波导系统的横截面内.2. 非TEM波存在纵向场分量的电磁波,这种波又可以分为(a) TE波,Ez= 0,Hz= 0的电磁波,这种波称为横电波(TE波)或者(H波).(b) TM波,Hz= 0,Ez= 0这种播称为横磁波(TM波).应该指出,实际中还存在Ez= 0,Hz= 0的电磁波,它是一种混合波.对于电场纵向分量和磁场纵向分量无耦合的波,混合波总可以写成TE波和T波之和.因此无需对他进行单独研究. 下面我们来讨论以上一种波的表示式和特性.99电

187、磁场理论讲义5.2.1TEM波TEM波的电场和磁场的纵向分量均为零,故而不能直接利用纵向分量来得到其它的场分量.对TEM波,有Et= E,因此电场的旋度 E = (t az) Et= t Et az Et(5-13)上面的纵向分量t Et= jHzaz= 0.而电场的散度 E = (t az) Et= t Et= 0(5-14)所以在横截面上,TEM波的电场满足的方程与无源区域内二维静电场所满足的方程相同,从而其分布规律与同样边界条件下的二维静电场分布规律完全相同.我们知道,对于由单个导体作为边界围成的单连通区域,由于导体上的电势为常数,整个区域内也式等电势体,不存在电场.而对于波导,这就意味

188、着,对于由单个空心导体管构成的波导,其内部不存在TEM波.只要当波导系统不是单导体时,才可能存在TEM波.不过值得注意的是, 我们所说的TEM波的电场与静电场分布相同,仅仅是指两者在横截面上的分布而言.TEM波的电场是一个时变场,它沿这z轴传播,而静电场则与z,t无关.上述对电场的分析方法如果应用于磁场,同样可以得到TEM波的磁场满足条件t H=0t H=0(5-15)而电场与磁场之间通过麦克斯韦方程联系在一起.对与TEM波的电场 E = t E az E = az E = jH(5-16)或az E =jH(5-17)同理az H = jE(5-18)可见,对于TEM波,E,H,az两两正交

189、并构成右手螺旋关系.TEM波的横向场满足亥姆霍兹方程2E + k2E = (2t+ 2)E + k2E = (2+ k2)E = 0(5-19)由于场不为零,故而有2+ k2= 0,得到 = jk = j.即TE波的传播常数与真空中的均匀平面波传播常数相同.故而其相速度也相同,为v = 1/,波长亦相同.100第五章导行电磁波得到了传播常数,还可以得到电场与磁场振幅之比为ZTEM=j=j=(5-20)它与均匀平面波的波阻抗也相同.可以看出,TEM波的场性质和均匀平面波非常类似,实际上,根据TEM波的定义,均匀平面波也是TEM波.5.2.2TE波与TM波场分量对TE波,有Ez= 0,因此只要得

190、到Hz,就可以得到其它场分量.根据式 5-9可以得到Et=jk2+ 2tHz azHt=k2+ 2tHz(5-21)由上式可以得到横向场之间满足的关系为Et=jHt azHt=jaz Et(5-22)可见,与TEM波类似,TE波的横向分量Et,Ht和传播方向az两两垂直,构成右手螺旋关系. E与H的振幅之比定义为波的波阻抗ZTE=j=kZTEM(5-23)对于TM波,采用与TE波完全类似的方法,可以得到Et=jHt azHt=jaz Et(5-24)波阻抗ZTM=j=kZTEM(5-25)传播特性前面提到的TEM波有2+ k2= 0,而对于TE波或者TM波,这一结论并不成立.以TE波为例,由于

191、存在纵向磁场,且纵向磁场满足方程2tHz+ (2+ k2)Hz= 2tHz+ k2cHz= 0(5-26)101电磁场理论讲义TM波的纵向电场也有类似的方程. 在一定的边界条件下,只有当k2c取某些特定的分立值时,上述方程才有非零解.这些值与横截面的形状以及场的边界条件有关.我们把那些能够使方程有解的k2c的值称为方程的特征值,对应的解称为方程的征矢矢.特征矢所表征的场称为波的模式.数学上已经证明,对于上述方程,其特征值k2c总是正值,通过一定的横截面得到k2c后,可以得到为2= k2c k2(5-27)如果,k2 k2c,则2 k2c,则2 0,则对于z方向传播的波,可以表示为E(x,y,z

192、,t) = E(x,y)ejtez(5-29)可以看出,在z方向上,随着波的传播,其复振幅呈指数衰减,该波为消逝波,或者称为截至波.值得注意的是,对于一定频率的电磁波,当介质材料一定时,k为以常数.而一定的横截面和边界条件下,kc可以的取值也是一定的,某一模式属于传导模还是截止模取决于上述两个值之间的关系,因此称kc为截止波数.在所有k2c可能的取值中,最小的值所对应的模式称为波导的主模.对于一定的kc,只有当电磁波的频率满足使得k kc,或者当f kc2= fc(5-30)电磁波才能以相应的模式在波导中传播.我们把fc称为截止频率.与截止频率相对应的波长为截止波长c=vfc=2kc(5-31

193、)对于传导波,其相速度可以由传播常数得到vp=k2 k2c=v1 (fc/f)2(5-32)其中v为介质中平面电磁波的波速.可以看出,对于TE波和TM波,有vp v,如果波导的介质为真空,表明相速度大于真空中的光速,因此我们称波导中的波为快波.但是应当注意,波的相速度并不代表能量的传播,真正代表能量或者信号传播的速度是群速度.群速度是波振幅包的传播速度,其表达式为vg=dd,对于上述TE波和TM波,群速度为vg=1dd=1d2k2cd= v1 (fcf)2(5-33)102第五章导行电磁波?图图图 5-3:速度色散关系可见在金属波导中vp,vg都与频率有关,这一特性称为色散特性. 如图所示,

194、当 = c时,vp ,vg= 0,当时,vp v,vg v.色散特性的又一种表示方法是k 图,又称为布里渊图.在k 曲线上某一点与原点连线的斜率就是相速度,而该点切线则是群速度.?图图图 5-4:色散关系将上两节给出的关于波导的一般方法应用于具体的波导结构,就可以得到波导中导波的具体性质.5.3矩形波导矩形波导是横截面为矩形的金属柱面波导,其宽边为a,窄边为b.由于波导的横截面为矩形,采用纵向场法来求解纵向场分量Hz或Ez的标量波动方程. 为简单起见,我们先讨论理想的金属波导.103电磁场理论讲义yzxo图图图 5-5:矩形波导5.3.1场分量(1)TE波对于TE波,其纵向场分量Hz= 0,

195、它满足的波动方程为2tHz(x,y) = k2cHz(x,y) = 0(5-34)边界条件为Hzn|= 0(5-35)采用分离变量法对上式进进行求解,设其解为Hz= X(x)Y (y),将上式代入波动方程,并除以XY ,得到1Xd2Xdx2+1Yd2Ydy2= k2c(5-36)要是上式成立,则需要1Xd2Xdx2=k2x1Yd2Ydy2=k2y(5-37)它们满足关系k2x+ k2y= k2c(5-38)上述方程的通解为X(x)=A1coskxx + B1sinkxxY (y)=A2coskyy + B2sinkyy(5-39)其中A1,B1,A2,B2,kx,ky取决于激励条件和边界条件.

196、由边界条件Hzx?x=0= YXx?x=0= Y (A1sinkxx + B1coskxx)|x=0= B1Y = 0(5-40)104第五章导行电磁波同理由Hzy|y=0= 0得到B2= 0,于是场可以写成Hz(x,y) = A1A2coskxxcoskyy = H0coskxxcoskyy(5-41)再由Hzx|x=a= 0,有sinkxa = 0,得到kx=ma=m = 0,1,2,3,(5-42)同理由Hzy|y=b= 0,有sinkyb = 0,得到ky=nb=n = 0,1,2,3,(5-43)值得注意的是,m,n不能同时取零,因为如果两者同时为零,则其它场分量为零,此解无意义.

197、根据kx,ky的取值,可以得到TEmn波的截止波数为kc,mn=(ma)2+(nb)1/2(5-44)此式表明,截止波数与m,n和波导的横向尺寸有关.得到了截止波数,可以得到传播常数2mn= 2mn= k2 k2c,mn(5-45)得到纵向场分量,就可以通过5-21得到全部的场分量Hx=jk2c,mnH0masinmaxcosnbyejmnzHy=jk2c,mnH0nbcosmaxsinnbyejmnzHz=H0cosmaxcosnbyejmnzEx=ZTEHyEy=ZTEHxEz=0(5-46)其中ZTE=kmnZTEM.不同的m,n值表示不同的场结构,或者不同的模式,用TEmn表示.上述结

198、果是对+z向传播的波得到的,对于沿z向传播的波,只要将换为即可.(2) TM波对于TM波,Ez= 0,由Ez满足的亥姆霍兹方程2tEz+ k2cEz= 0和边界条件Ez|= 0,采用与TE波场相同的步骤,可以得到Ez(x,y) = E0sinmaxsinnby(5-47)105电磁场理论讲义不过在上式中,m,n均不能为0,否则场为零.TM波的截至波数,传播常数于TE波的表示式相同(仅仅对矩形波导如此)kc,mn=(ma)2+(nb)1/22mn=2mn= k2 k2c,mn(5-48)利用式5-22可以得到TM波的所有场分量Ex=jk2c,mnE0macosmaxsinnbyejmnzEy=j

199、k2c,mnE0nbsinmaxcosnbyejmnzEz=E0sinmaxsinnbyejmnzHx=YTMEyHy=YTMExHz=0(5-49)其中YTM=kmnYTEM,我们用TMmn表示不同的模式.5.3.2截止波长对于矩形波导,TEmn和TMmn模式的截至波长相同,即kc,mn=(ma)2+(nb)1/2(5-50)对应的截止波长也相同c,mn=2kc,mn=2(ma)2+(nb)2(5-51)由于只有 c的波才能在波导中传播,因此我们根据两者的关系把波长分为一下几个区域1. 截止区所有的截止波长中,最大的是c,10= 2a,如果波长 2a,则所有的模式均不能在波导中传播,或者说

200、所有的模式都处于截止状态,这一区域称为截止区.2. 单模区当 2b时截止波数中第二个值为c,20= a对应的模式为TE20.如果波长满足a 2a,则只有TE10模能够在其中传播,称为单模区.106第五章导行电磁波(b) a 2b时止波数中第二个值为c,01= 2b对应的模式为TE01.此时的单模区条件为2b 2a.3. 多模区在上述区域之外,也就是说,如果波长小于截止波数的第二个值,则至少有两个模式可以在波导中传播,我们称为多模区.一般要求矩形波导总是工作在单模区,综上可以得到单模工作条件为maxa,2b 2a(5-52)应当指出,不同模式的截止波长一般不同,因而传播常数也不同.但是也

201、存在不同的模式,其截止波长相同的情况, 我们把这种情况称为”简并(degenerate)”5.3.3矩形波导中的主模一般希望矩形波导只传输单模,即工作模式为TE10模.将m = 1,n = 0代入前面关于TE波的结论,就可以得到TE10模的各个参数.场分布TE10模的场瞬时值为Hx=10aH0sin(ax)sin(t 10z)Hz=H0cos(ax)cos(t 10z)Ey=ZTEM(2a)H0sin(ax)sin(t 10z)(5-53)可以看出,场只有三个场分量,一个电场分量和两个磁场分量.它们沿a边变化时半个驻波,沿b边没有变化.在t = /2时的场分布图见课本258页.壁电流分布由于波

203、|2Wm=42a0b020|H|2dxdydz =ab8|Emax|2(5-56)存储能量与传输功率之间的关系应该为P = (We+ Wm)ven,通过计算可以得到ven= vg(5-57)即能量的传播速度与群速度相等.5.4双导体传输线前面已经指出,对于由一个导体构成的空心波导,不支持TEM波,因此,其最小截止波数不为零,也就是说,只有频率大于某一截止频率的波才能够在其中传播.而对于由多个导体构成的波导,则可以支持TEM模式,TEM模的截止频率为零,因此任意频率的波都可以在其中传播.这一节我们研究由两个导体构成的波导,这两个导体可以相互不包含而形成开放的场分布,如双平行线. 也可以一个导体包

204、含另一个导体而构成封闭的区域,如同轴线.5.4.1TEM波的场前面已经得到结论,TEM波的场在二维横截面上与静电场满足的方程相同.对于由两个导体构成的波导,我们可以类似与静电场的方法得到场分布.我们设双导体一个导体电势为0,另一个为U0,在横截面上构造一个势函数(x,y),它满足二维静电势的方程2t = 0,而在边界上与导体的电势相同,则二维静电场的电场可以写为t,于是对应的TEM波的电场复振幅可以写为E = tejkz(5-58)其中k = . 而磁场复振幅则可以由前面的结论得到H = YTEMaz tejkz(5-59)108第五章导行电磁波5.4.2电压波与电流波由于TEM波在横截面上

205、 Et= 0,故可以定义横截面上导体间的电压为U =QPEt dl,其中P,Q为不同导体上的两点.很容易证明,在z处,良导体间的电压为U(z) = U0ejkz(5-60)它是一个沿z向传播的波,称为电压波.在导体表面上由于电磁场的感应会出现面电流,其值可以通过边界条件确定J = n Hs= YTEMn (az tejkz) = YTEMejkz(n t)az(5-61)可见电流只有沿z方向的分量. 一个导体上总的电流为I =J azdl = I0ejkz(5-62)其中I0= YTEM(n t)dl = YTEM1sdl(5-63)电流也是一个z向传播的波,称为电流波.由于U0/I0为与z无

206、关的常数,所以导体间电压与导体上电流之别为常数.可以证明,两个导体上电流大小相等,方向相反,取电压波与电流波之比值为波导的特性阻抗Zc=U0I0(5-64)5.4.3传输功率与能量波导传输的功率由坡印亭矢量的实部在横截面S上积分得到PTEM=12S(E H) azdS=YTEM2S(t)2dS=YTEM2t (n)dl=12U0I0(5-65)而单位长度上电场能量的平均值为We=4S|Et|2dS =4|t|2dS =U0I04(5-66)磁场能量的平均值为Wm=4S|Ht|2dS =4Y2TEMS|Et|2dS = We(5-67)可以看出,总的能量和功率之间的关系为P = (We+ Wm)

207、v(5-68)109电磁场理论讲义5.4.4同轴线对同轴线而言,内导体半径为a,电势为U0,外导体半径为b,电势为0时,在圆柱坐标系下,容易得到(r,) =U0lnablnrb(5-69)其电场为轴向场,而磁场与电场垂直,磁力线与等电势线重合.同轴线的特性阻抗为Zc=ZTEM2lnba=1Cv(5-70)其中C为单位长度的静电电容.特性阻抗与电容的关系对于任意的TEM波都成立.5.5传输线理论5.5.1分布参数电路的概念分布参数是相对于集总参数而言的.在集总参数电路中,电路参数R,L,C是集中的,电路中连接元件的导线所具有的电阻,电感,线间电容被忽略不计.同时由于电路尺寸与波长相比很小,可以视

208、为一点,电场和磁场近似看作不随导线长度变化.导线上各点电位相同,这个电路的电能仅仅集中在电容器里,磁能集中在电感线圈里,损耗集中在电阻上.如果电路的尺寸与波长可相比拟,电磁波在电路中传播的滞后效应很显著.传输线上电感,电阻和线间电容,电导不能全部忽略,线上各点的电位也不一定相同.线上的电路参数视分布的.通常把这种电路参数构成的电路称为分布参数电路.如果传输线上的电路参数视均匀分布的,则称此传输线为均匀传输线.对于TEM波,由于其波场的横向分布与静电场相同,对应于电场由一电压波,对应于磁场有一电流波,因此可以用分布参数电路理论来研究.5.5.2传输线方程及其解设传输线上电压,电流于时间为简谐关系

209、.设线上单位长度串联电阻为R1,串联电感为L1,并联电容为C1, 并联导纳为G1.在线上z处一点,取线元dz,其等效电路如图5-6所示规定电流的正方向为z方向,则由电路知识可以得到U(z + dz) U(z)=(R1+ jL1)I(z + dz)dzI(z + dz) I(z)=(G1+ jC1)U(z)dz(5-71)由于dz为微元,上式可以表示为dU(z)dz=(R1+ jL1)I(z) = Z1I(z)110第五章导行电磁波R1dzL1dzC1dzG1dzI(z)I(z+dz)U(z)U(z+dz)z图图图 5-6:均匀传输线等效电路dI(z)dz=(G1+ jC1)U(z) = Y

210、1U(z)(5-72)上式再对z求导,可以得到d2U(z)dz2=Z1dI(z)dz= Z1Y1U(z) = 2U(z)d2I(z)dz2=Y1dU(z)dz= Y1Z1I(z) = 2I(z)(5-73)其中2= Z1Y1. 这两个方程称为传输线的波动方程或者电报方程.电压波方程的解为U(z) = Aez+ Bez(5-74)对其求导,得到电流波方程的解为I(z) =1Z1dU(z)dz=Y1Z1(Aez Bez) =1Zc(Aez Bez)(5-75)其中Zc=Z1/Y1具有阻抗的单位,称为传输线的特性阻抗.由于规定了z方向传播的波为入射波,则入射波和反射波的分别为Ui= AezIi=1Z

211、cAezUr= BezIr= 1ZcBdz(5-76)显然,Ui/Ii= Ur/Ir= Zc,负号来源于电流的参考方向的规定.5.5.3传输线的特性参数特性阻抗特性阻抗定义为Zc=Z1Y1=R1+ jL1G1+ jC1(5-77)一般情况下,它是一个复数.对于一段无损的传输线,R1= G1= 0,则有Zc=L1/C1为一实数.111电磁场理论讲义传播常数一般情况下,传播常数也是一个复数 =(R1+ jL1)(G1+ jC1) = + j(5-78)其中称为衰减常数,表示单位长度上行波振幅的变化,称为相位常数,表示单位长度场行波相位的变化. 对于无损传输线R1= G1= 0,由=L1C1= jL

212、1C1=0=L1C1(5-79)相速度相速度的定义于场中的定义完全一样vp=1L1C1(5-80)导波波长导波波长定义为一个周期内等相位面的推进距离g= vpT =2=0rr= (5-81)即导波波长等于TEM波的波长.5.5.4无损传输线的工作参数反射系数无损传输线的工作状态取决于A,B的值,而A,B的值取决于终端的负载.设负载为ZL,位于z = 0处.如图5-7所示. 在传输线上 I(z) U(z) ZL 图图图 5-7:无损传输线的工作状态U(z)=Aejz+ Bejz112第五章导行电磁波I(z)=1Zc(Aejz Bejz)(5-82)在z = 0处,有U(0)/I(0) = ZL

213、,即ZcA + BA B= ZL(5-83)定义负载上反射系数L=BA,则有Zc1 + L1 L= ZL(5-84)或者L=ZL ZcZL+ Zc=ZLZc 1ZLZc+ 1=zL 1zL+ 1(5-85)其中zL= ZL/Zc称为归一化负载.L一般为复数,可以写为L定义z处的电压反射系数为反射波电压复振幅与入射电压波复振幅之比(z) =Ur(z)Ui(z)=BejzAejz= Lej2z= |L|ej(L2z)(5-86)可见在不同处反射系数的振幅相同,只有幅角发生变化.电压驻波比传输线上电压复振幅分布为U(z) = Ui(z) + Ur(z) = Ui(z)(1 + (z) = Ui(0)

214、ejz(1 + |ej(L2z)(5-87)而电压的振幅(绝对值)沿线分布为|U(z)|=|Ui(0)|1 + |cos(L 2z)2+ |2sin2(L 2z)=|Ui(0)|1 + |2+ 2|cos(L 2z)(5-88)电流复振幅和振幅沿线分布I(z)=Ui(0)Zcejz(1 |ej(L2z)|I(z)|=|Ui(0)Zc|1 + |2 2|cos(L 2z)(5-89)可见电压和电流在线上形成行驻波.在L 2z = 2n处,电压振幅达到极大值Umax,电流振幅为极小值Imin.而当L 2z = (2n + 1)时,U(z)取极小值Umin,|I(z)|取极大值Imax.定义Umax

215、与Umin之比为电压驻波比,或者称为电压驻波系数,记作或VSWR = VSWR =UmaxUmin+1 + |1 |(5-90)113电磁场理论讲义而由电压驻波比也可得到反射系数的幅值| = 1 + 1(5-91)为了得到反射系数的幅角,除了需要电压驻波系数外,还需要驻波极小点(或极大点)位置zmin,反射系数幅角可以通过L 2zmin= (2n + 1)(5-92)得到输入阻抗与输入导纳,归一化阻抗与导纳任意一点电压复振幅与电流复振幅之比定义为该点的输入阻抗Z(z),输入阻抗与特性阻抗之比定义为归一化阻抗z(z).阻抗值的导数定义为导纳.由电压,电流复振幅表达式可以得到Z(z)=U(z)I(

216、z)=Ui(z)(1 + (z)Ii(z)(1 (z)= Zc1 + (z)1 (z)=Zc1 + Lejz1 Lejz= ZcZL+ jZctanzZc+ jZLtanz(5-93)归一化阻抗z(z) =Z(z)Zc=zL+ j tanz1 + jzLtanz(5-94)由上面的关系可以看出,任意一点z处的反射吸收与输入阻抗的关系为(z)=Z(z) ZcZ(z) + Zc=z(z) 1z(z) + 1Z(z)=Zc1 + (z)1 (z)(5-95)即求z处的反射系数时,可以把z处的输入阻抗看作负载,而求负载反射系数.将Y (z) = 1/Z(z)代入上述各式,就可以得到反射系数与输入导纳的

217、关系.由上式可知,描述传输线上某一点的状态的参数有三组1. 反射系数的模和幅角2. 驻波比和驻波极小值(极大值)点位置3. 输入阻抗(导纳)的实部和虚部(模和幅角)114第五章导行电磁波5.5.5传输线的工作状态匹配状态当传输线上没有反射波式的状态称为匹配状态或者行波状态.由终端反射系数L= 0得到匹配状态的条件为ZL= Zc.同时可以得到在匹配状态呀任意一点的反射系数为零.在匹配状态下U(z)=U(0)ejzI(z)=U(0)Zcejz(5-96)任意点的输入阻抗为Z(z) = Zc.行驻波比 = 1.可见匹配状态下传输线的特点是:1. 电压,电流振幅不随位置发生变化.2. 电压,电流相位

218、随位置线性变化,电压电流相位相同3. 入射功率全部被负载吸收终端短路ZL= 0此时L=ZL ZcZL+ Zc= 1=1 + |1 |= (z)=Lej2z= ej2zU(z)=Ui(0)(ejz ejz) = j2Ui(0)sinzI(z)=2Ui(0)Zccosz(5-97)此时电压,电流为纯驻波状态.在负载上,电压为波节点,电流为波腹点.输入阻抗为Z(z) =U(z)I(z)= jZctanz(5-98)沿着z向电阻为纯电感或者纯电容性质.在传输线上入射波功率与反射波功率相同,负载上无有功功率损耗.终端开路ZL= 此时L=ZL ZcZL+ Zc= 1(z)=ej2z115电磁场理论讲义U(

219、z)=2Ui(ejz+ ejz) = 2Ui(0)coszI(z)=j2Ui(0)ZcsinzZ(z)=jZccotz(5-99)与终端短路相似,电压电流为纯驻波.只不过在负载处,电压为波腹而电流为波节.如果把开路状态的参考点传输线向电源方向移动/4,则对应为短路状态,反之亦然.终端接纯电抗,ZL= jXL此时L=jXL ZcjXL+ Zc= ejL(5-100)其中tanL2=ZcXL. 从而得到电压,电流,反射系数,电阻分布为U(z)=2Ui(0)ejL2cos(L2 z)I(z)=j2Ui(0)ZcejL2sin(L2 z)Z(z)=jZccot(z L2)(5-101)此时,线上仍是纯

220、驻波,只是终端即非波节为非波腹点.如果我们在开路或者短路状态的传输线上找一点,使得该点的输入阻抗为jXL,则从这一点向作看去,传输线的工作状态和负载为jXL时完全一样.5.5.6传输线的传输功率无损传输线上任意处通过的功率的时间平均值为P(z)=12U(z)I(z) =121Zc(Ui+ Ur)(Ui Ur)=12Zc(Ui+ Ui)(Ui Ui)=|Ui|22Zc1 + |2=U2i2Zc(1 |)2(5-102)可见传输线上任意一点处通过的功率等于入射功率减去反射功率.同时,还可以写为P(z)=12Zc|Ui|2(1 + |)2 (1 |1 + |) =U2max2Zc(5-103)116

221、第五章导行电磁波Umax为传输线上的最大电压.当Umax为传输线上击穿电压时所对应的功率,称为传输线的功率容量Pbr=U2br2Zc(5-104)117电磁场理论讲义第第第六六六章章章电电电磁磁磁波波波的的的辐辐辐射射射,散散散射射射和和和衍衍衍射射射前面我们讨论了电磁波的传播问题,但是没有涉及同激发它们的源之间的关系.本章我们讨论这个问题.随时间变化的电荷或者电流激发出的电磁波可以脱离源向远处传播出去,我们把携带能量的电磁波传播出去的现象称为电磁辐射.电磁辐射的装置称为天线(antenna).严格的天线辐射问题本质上是一个边值问题,是电线电流和电磁波相互作用的两个方面.为简单起见,我们仅限

222、于讨论由天线上给定电流分布如何计算辐射电磁波的问题.6.1电磁场的矢势与标势6.1.1电磁场的矢势与标势在静磁场中由于其散度为零,因此可以引入磁矢势来进行表述.而对于时变磁场,其散度仍然为零,故仍可以引入矢势. 对静电场,由于其旋度为零,我们可以为其引入标量势函数.但是对于时变电场,其旋度不再为零,故而不能像静电场那样直接引入标量势函数,但是由麦克斯韦方程组,我们有 E +Bt= E +t( A) = (E +At)= 0(6-1)由上式可以引入一个标势,令E +At= (6-2)引入A,后,电磁场可以表示为E= AtB= A(6-3)我们把A,分别称为电磁场的矢势与标势.对于静电场及稳恒电流

223、电场,A/t =0,因此上上面的表述也包括了静电场和稳恒电流的情况.值得注意的是,以上引入的矢势与标势描述电磁场不是唯一的.若已知一组A,描写一确定的电磁场E,B,取(r,t)为任意的标量场,作如下变换A=A + = t(6-4)则变换后新的一组矢势A和表示所描述的电磁场为B= A= A = BE=At= ( t) t(A + ) = At= E (6-5)118第六章电磁波的辐射,散射和衍射表明,经过式6-4变换后A和所确定的电磁场与A,相同.式6-4 成为规范变换(gauge transformation),在规范变换下矢势,标势所表述的电磁场保持不变,称为规范不变性(gauge inv

224、ariance).由于规范不变性,我们就可以在一定程度上自由选择矢势,标势,从而可能简化方程.6.1.2矢势与标势所满足的微分方程由势所表述的电磁场已经自然满足了麦克斯韦方程中磁场的散度和电场的旋度方程.再由另外两个方程可以得到2 +t A=2A 2At2 ( A + t)=J(6-6)上述两个方程每个方程中都含有A,而且每个方程的形式也比较复杂.但是利用规范变换,可以选择一组A,使得方程简化.库仑规范上面两个式子中都含有A,一种很简单的选择是对A附加如下条件A =0,称为库仑规范,这时方程简化为2=2A 2At2 t=J(6-7)在库仑规范下,标势所满足的方程与静电场情形相同,其解是库仑势.

225、同时电场包含两个部分,E = At(6-8)是由电荷产生的库仑场,它是有源无旋场.而A/t是一个无源场,对应于磁场变化所激发的感应电场.洛仑兹规范如果我们选择附加条件 A + t= 0(6-9)则方程简化为2 2t2=2A 2At2=J(6-10)119电磁场理论讲义称为达朗贝尔(dAlembert)方程.在洛仑兹规范下,仅仅与电荷有关,而A仅仅与电流有关.在洛仑兹规范下,达朗贝尔方程连同洛仑兹条件是用位表述电磁理论的基本方程.实际上,由于存在洛仑兹条件,只要求解出A而无需求解就可得到电场与磁场的全部分量.B= AE= At=1( A)dt At(6-11)6.2推迟势(retarded po

226、tential)在简单媒质中，达朗贝尔方程是线性偏微分方程，其解符合叠加原理,因此可以先求出方程的点源解。对于有限空间任意分布的源,可将其分解成无穷多个点源,其解将是所有点源解的叠加.先研究标量势函数的解.设在坐标原点有时变点电荷q(t),其电荷密度和空间分布函数可以表示为(r,t) = q(t)(r),于是关于的方程变成2 2t2= q(t)(r)(6-12)在原点的点电荷激励起来的场必然势球对称的,与坐标,无关,于是方程成为一维点源的形式1r2r(r2r) 2t2= q(t)(r)(6-13)在原点以外r = 0,以上方程成为齐次球对称一维偏微分方程1r2r(r2r) 2t2= 0(r =

227、 0)(6-14)点源所激发的场振幅一般与r成反比.作函数代换u(r) = r(r),代入上式得到2ur2= 2ut2(6-15)这是一个一维齐次波动方程,它的解为u(r,t) = f(t rv)+ g(t +rv)(6-16)其中v = 1/为相速度,f,g分别代表向外辐射和向内汇聚的波.在研究电磁波的辐射问题时,应取g = 0.于是除原点外,的解为(r,t) =f(t rv)r(6-17)120第六章电磁波的辐射,散射和衍射f的具体形式可以通过与静电场类比的方法得到.在静电场中,点电荷q所激发的标势为q/4r,它满足泊松方程,推广到时变场,可以推想方程的解为(r,t) =q(t rv)4

228、r(6-18)可以证明,上式的确时达朗贝尔方程的解.如果点电荷不在原点,而在r处,令R = |r r|,则有(r,t) =q(r,t Rv)4R(6-19)根据叠加原理,对于随时间变化的电荷分布(r,t),可以推广为(r,t) =14V(r,t Rv)4RdV=14V(r,t)4RdV(6-20)其中t= t Rv由于矢势A所满足的方程形式上与满足的方程相同,所以一般随时间变化的电流J(r,t)所激发的矢势为A(r,t) =04VJ(r,t)4RdV(6-21)可以验证,上述的A,满足洛仑兹条件.势函数的解表明,在t时刻场点r处的势不是取决于同一时刻电荷电流分布,而是决定于较早时刻t= t R

229、/v的电荷电流分布.或者说,在位于r处,t时刻的电荷电流产生的势不能立刻传导场r处,而是在较晚的时刻t才能传到,所推迟的时间正好是电磁作用传播所用的时间.可见,电磁波是以有限速度v进行传播,场的状态取决于较早时刻的源,即场的状态相对于源来说是推迟了,这种现象称为推迟现象,上式所代表的势称为推迟势.例例例 35: 求沿z轴以速度v匀速运动的点电荷所产生的推迟势的标势。解解解: 如图6-1所示，t时刻(r,z)处的势是由t时刻的点电荷激发的，其中t (r,z) vt vR/c R r 图图图 6-1:运动点电荷的推迟势t= R/c，所以有(z vt + vR/c)2+ r2= R2(6-22)求解

230、得到R =(z vt) +r2(1 2) + (z vt)21 2(6-23)121电磁场理论讲义其中 = v/c 推迟标势为(r,z,t) =140R(6-24)由于电流和电荷之间满足关系J = v,所以推迟矢势为A(r,z,t) =v4R(6-25)容易验证两者满足洛仑兹规范 A + 00t= 0(6-26)6.3电偶极子的电磁场与电偶极辐射1883年斐兹杰惹(Fitz Gerald)从麦克斯韦的电磁理论出发,论证了电磁波可以由振荡的电流产生,本节介绍一个最简单的例子,即电偶极振子的电磁场及其辐射问题.任何随时间变化的物理量,都可以通过傅立叶分析分解为不同频率简谐振变化量的叠加,因此现在只

231、研究单一频率的源产生的场,并不失去普遍意义.6.3.1电偶极振子的电磁场设在真空中位于原点的一个电偶极振子,其振动角频率为,电偶极矩大小为p0,两电荷相距d0,带电量为p0/d0,对于理想的电偶极子d0 0.用复数形式表示的电偶极矩为p(t) = p0ejtaz(6-27)由于电荷在以原点为中心进行简谐振荡,因而存在传导电流,正/负电荷运动速度为 v= d02sint(6-28)其复数表述为v= d02jejt(6-29)于是电流分布为J(r,t)=+v+ v=p0d0(z d02cost) d02jejtaz+p0d0(z +d02cost) d02jejtaz=jp02ejt(z d02c

232、ost) + (z +d02cost)az(6-30)对理想偶极子,d0 0,故而有J(r,t) = jp0ejt(z)az(6-31)122第六章电磁波的辐射,散射和衍射在无界空间的推迟势可以表示为A(r,t)=4J(r,t Rv)RdV=4jp0ej(tR/v)(z)azRdV=j4rp0ej(tkr)az(6-32)由B = A可以得到B =p0k34c(j(kr)21kr)sinejkra(6-33)而在r = 0的区域,电场则可以通过 H = jE得到E=2k3p04(j(kr)2+1(kr)3)cosejkrark3p04(1krj(kr)21(kr)3)sinejkra(6-3

233、4)6.3.2电偶极辐射为了看清楚上面电磁场的特点,我们分两个区域讨论近区电场(kr 1)在r 的区域,由于,kr 1,可取ejkr 1.另外,由于在振幅中分母都出现kr的幂次项,而kr的最高项占主导地位,于是场取下列极限形式EN=p04r3(2cosar+ sina)HN=jp04r2sina(6-35)由此可见1. 在近区内,场除时间振荡以外,电场与电偶极子场的表达式相同,而磁场则与一个短直流稳恒电流元的磁场相同.可以忽略相位滞后.近区场又称为似稳场.2. EN与HN之间的相位差为/2,其平均能流密度S = 0,即从总体上,无能量的单向流动.3. 应当指出,近区场是忽略了相对较小的部分得出

234、的,但是被忽略的项是客观存在的,并且包含了电偶极子向外辐射功率的场.123电磁场理论讲义远区电场(kr 1)在远区kr 1,在此时,占优势的是分母项中kr的最低次幂,因此场取下列极限形式ER=k2p04rsinejkraHR=kp04rsinejkra(6-36)可以看出1. ER和HR都垂直于从原点到观察点的方向矢量r,而且电磁场相互垂直.或者说,电场和磁场是横电磁波2. 电场和磁场相位相同,且都有相位因子kr.等r面为等相位面.即远区为球面波.电磁场振幅之比为Z03. 场振幅随r成反比.远区场的坡印亭矢量为S =12ER HR =4p20322cr2sin2ar(6-37)它表示了电磁辐射

235、功率随在不同方向上的分布。其中sin2称为电偶极辐射功率的方向图函数。在 = 90o的平面上，辐射最强，而沿电偶极轴线没有辐射。电偶极辐射功率方向性图成状。如图6-2所示。从数学上讲，它是曲线r = sin方向图表示了天线辐射的集中程度我们定义一个主瓣宽度为功率方向图半功率-1-0.50.51-1-0.50.51 图图图 6-2:电偶极辐射功率的方向图点间所张的夹角。可以算出电偶极辐射主瓣宽度为90度。主瓣宽度越小，表示方向性越好。在半径为r的球面上辐射的总功率为P =I(S n)r2d =04p212c(6-38)124第六章电磁波的辐射,散射和衍射它与频率的4次方成正比。频率越高，辐射迅

236、速增加。由于天线是一个互易器件，辐射增加的天线其吸收也越大。因此在共振状态下，高频率的波更容易被散射（瑞利定律）。应该注意的是，瑞利定律所对应的散射器件尺寸小于波长。例如分子对光波的散射就是瑞利散射。白光受散射后，散射光中的蓝光（波长0.45m左右）的强度是红光（0.65m左右）的46倍。白天除了早晨和黄昏时分以外，人们视野内的大气基本上是受到白光的照射。晴天来自天空的光都是空气分子的散射光，其中蓝、靛、紫成分占80%左右。靛、紫两种成分在太阳光中占的比例本来就不大，因而天空呈现蓝色。在日出和日落之时，直射光线要在几乎与地面相切的方向上长距离地穿过稠密的大气层，直射光中的每一种单色成分都按指数

237、律衰减，短波成分迅速消逝了，最终自然是红光占绝对优势。尽管日出和日落之时的直射光是红色的，但夕阳斜照下的白色墙壁不是呈现红色，而是呈现橙黄色。这是因为，墙壁不仅接受到红色的直射光，还接受到来自天空的散射光。这时的大气和云朵不是对白光进行散射，而是对已被浓密的大气过滤过的以黄橙为主的直射光进行散射。散射光的光源亮度虽远不及直射光的光源，但其面积远大于直射光的光源。与电偶极子所对应的电流为I(t) =dq(t)dt= jp(t)d0(6-39)大小关系为I =p0d0，利用关系 = 2c/得到辐射功率P =0(2c)2I2d2012c=0cI2d2032= 402I2(d0)2=12RI2(6-4

238、0)其中R = 802(d20)2称为电流元的辐射电阻。天线的辐射电阻越大，在一定的输入电流下，辐射功率越大，因此，辐射电阻通常用来表征天线辐射能力的一个量。由于电流元的辐射电阻与d20成正比，因此短天线的辐射能力不强。要提高辐射能力，必须使天线的长度增大到与波长同量级。因此实际中常用的是半波天线。这种情况下天线是不能用电偶极子来表示的。6.4线型天线的辐射对于高频电流元天线，由于辐射功率和d20成正比，所以电流元短天线的辐射能力不是很强。要提高辐射功率必须使长度增大。最常用的是半波天线，这种天线的长度是半个波长。6.4.1天线上的电流分布严格求解天线上的电流分布是非常复杂的问题。工程上常用的

239、近似方法，是对于结构简单细长的电流分布，假设与无损均匀传输线上的电流分布相同。例如中点馈电的对称天线可以看成是将末端开路的均匀线张开形成的，天线上125电磁场理论讲义的电流分布是对称于中点的驻波形式，两端为电流的波节。于是天线上的电流分布可以表示为I(z) = I0sin(12kl kz)(6-41)当l =2时，得到半波天线上的电流分布为I(z) = I0coskz(6-42)6.4.2半波天线的辐射P z r 图图图 6-3:半波天线如图所示是一个中点馈电的半波天线。根据前面电流元辐射电场的公式，有在z处电流元所产生的远区电场为dE=jkZ0I0sin4RcoskzejkRdz(6-43)

240、由于r l，R可以取如下的近似值R r zcos(6-44)在考虑振幅时，1/R可以用1/r来代替，于是有dE=jkZ0I0sin4rcoskzejkr ejkzcosdz(6-45)整个半波天线在远区产生的电场为E=jkZ0I0sin4rejkr44coskzejkzcosdz=jZ0I0ejkr2rcos(2cos)sin(6-46)辐射区的磁场为H= Y0E0=jI0ejkr2rcos(2cos)sin(6-47)126第六章电磁波的辐射,散射和衍射辐射的能流密度为S =12(E H) =Z0I2082r2cos2(2cos)sin2r0(6-48)方向函数为F() =cos2(2cos)sin2(6-49)电磁辐射于电偶极辐射的方向图相似，但稍微集中于 = 90o的平面上,如图6-4所示。总的辐射功率为-1-0.50.51-1-0.50.51 图图图 6-4:半波天线辐射功率的方向图P =IS r0d =Z0I2040cos2(2cos)sin2d(6-50)辐射电阻R =2PI20 73.2(6-51)127

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西安交大 电磁场理论讲义

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