第3章 静电场分析

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1、3 静电场分析 3 1 真空中静电场的基本方程 3 2 电位函数 3 3 泊松方程与拉普拉斯方程 3 4 唯一性定理 3 5 电介质中的高斯定律 边界条件 3 6 电容 3 7 电场的能量 3 8 恒定电场的基本方程 边值问题 小 结 静电场的典型应用 静电放电 静电感应 静电屏蔽 静电场的危害 电场力的应用 静电放电 高压输电线附近的电晕 高电压测量 球隙 静电感应 电容式传感器 静电屏蔽 实验室的屏蔽墙 通信电缆及光缆的铠装 电场力的应用 显像管 回旋加速器 静电复印机 rrr l 1 电荷分布 2 电场强度 1 电荷分布 2 电场强度电场力符合矢量叠加原理电场力符合矢量叠加原理 3 1

2、真空中静电场的基本方程 一 基本变量一 基本变量 体电荷分布体电荷分布 dV dqr 面电荷分布面电荷分布 R s R ds e r rE 2 0 4 1 线电荷分布线电荷分布 R l R dl e r rE 2 0 4 1 d R Rr d R rE 3 00 4 11 4 1 3 电位移矢量 Displacement 电介质在外电场作用下 体系中电荷的 微小位移所引起 3 电位移矢量 Displacement 电介质在外电场作用下 体系中电荷的 微小位移所引起 D D线从正的线从正的自由自由电荷发出电荷发出 终止于负的终止于负的自由自由电荷 电荷 EEEEEPED 00000 1 ree

3、在各向同性介质中在各向同性介质中 1 静电场的散度1 静电场的散度 高斯定律的微分形式高斯定律的微分形式 体电荷产生的电场体电荷产生的电场 3 0 1 4 R d R E rr 二 真空中的高斯定律 对上式等号两端取散度 利用奇异函数的特性 0 r r E 2 高斯定律的积分形式2 高斯定律的积分形式 散度定理散度定理 高斯定律说明了静电场是一个高斯定律说明了静电场是一个有源场有源场 电荷 就是场的散度源 通量源 电力线从正电 荷发出 终止于负电荷 电荷 就是场的散度源 通量源 电力线从正电 荷发出 终止于负电荷 dd 0 1 E n i i S qdd 1 0 1 SEE n i i S q

4、d 1 DS 三 静电场环路定律 1 静电场旋度1 静电场旋度 静电场是一个无旋场 静电场是一个无旋场 0 E 2 静电场的环路定律2 静电场的环路定律 0 l dlE 静电场中 电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零 静电场中 电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零 电场力作功与路径无关 电场力作功与路径无关 静电场是保守场静电场是保守场 无旋场一定是保守场 保守场一定是无旋场 无旋场一定是保守场 保守场一定是无旋场 四 静电场的基本方程 D ED0E 00 静电场的物理特性 1 场源 电荷 散度源 旋度为零 是保 守场 可以定义势能 2 电力线 非环 始于正电荷或带正电荷 的导体或无穷远 终于负电

5、荷或带负电荷 的导体或无穷远 静电场的物理特性 1 场源 电荷 散度源 旋度为零 是保 守场 可以定义势能 2 电力线 非环 始于正电荷或带正电荷 的导体或无穷远 终于负电荷或带负电荷 的导体或无穷远 为什么说它们是静电场的基本方程 为什么说它们是静电场的基本方程 方程的两种形式之间存在什么联系 有 何差异 方程的两种形式之间存在什么联系 有 何差异 它们在应用方面有何不同 它们在应用方面有何不同 一 电位函数 E 1 电位的引出1 电位的引出 0E 3 2 电位函数 2 静电场电位是单位正电荷的势能 2 静电场电位是单位正电荷的势能 3 电位比电场3 电位比电场易测量易测量 1 矢量运算变1

6、 矢量运算变标量运算标量运算 1 0 1 4 N i i q rC R 点电荷群点电荷群 0 1 4 v dq rC R 连续分布电荷连续分布电荷 以以点电荷点电荷为例推导电位 为例推导电位 0 4 q rC R dq dV dS dl 2 已知电荷分布 求电位 2 已知电荷分布 求电位 0 0 0 1 4 1 4 1 4 S l l d r R dS r R dl r R 3 3 E E与的微分关系与的微分关系 E 在静电场中 任意一点的电场强度在静电场中 任意一点的电场强度E E的 方向总是沿着电位 的 方向总是沿着电位减少减少的最快的方向 的最快的方向 00E 0E 0 根据根据E E

7、与的微分关系 试问静电场中的某一点 与的微分关系 试问静电场中的某一点 4 4 E E与的积分关系与的积分关系 llE dd 00 P P P P 0 P P lE dd d dz z dy y dx x 设设P P0 0为为参考点参考点 P P d El 0 P 5 电位参考点的选择原则5 电位参考点的选择原则 场中任意两点的电位差与参考点无关 场中任意两点的电位差与参考点无关 同一个物理问题 只能选取一个参考点 同一个物理问题 只能选取一个参考点 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单 且有意义 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单 且有意义 电荷分布在有限区域时 选择无穷远处为参考点 电荷

8、分布在有限区域时 选择无穷远处为参考点 电荷分布在无穷远区时 选择有限远处为参考点 电荷分布在无穷远区时 选择有限远处为参考点 二 电力线与等位线 面 0 lE d电力线微分方程电力线微分方程 C z y x 等位线 面 方程等位线 面 方程 E E线不能相交 线不能相交 E E线起始于正电荷 终止于负电荷 线起始于正电荷 终止于负电荷 E E线愈密处 场强愈大 线愈密处 场强愈大 E E线与等位线 面 正交 线与等位线 面 正交 在球坐标系中 0 11 4 p q Rr 22 00 cos 44 r p qd rr pe 3 0 2cossin 4 p r q r E ee E rd E d

9、r r 电力线微分方程 1 22 2 2cos Rrdrd 2 sinrD 解得 线方程为 等位线方程 球坐标系 cos Cr C r4 cosp 2 0 2 11cosd Rrr dr 2 0 cos 4 ql E r 例3 2 求电荷面密度为 半径为R 均匀带电圆盘 轴线上的电场强度 解 采用柱坐标 在园盘上取半径为r宽为dr的园环 其元电荷dq 2 rdr 在轴线上P电所产生的电位 例3 2 求电荷面密度为 半径为R 均匀带电圆盘 轴线上的电场强度 解 采用柱坐标 在园盘上取半径为r宽为dr的园环 其元电荷dq 2 rdr 在轴线上P电所产生的电位 22 0 22 0 4 2 dq d

10、rz rdr rz 2 2 22 00 22 0 zzR zr rdr r R r 圆盘在P点产生的电场强度 22 0 1 2 rz zz r Eeee rrz z ee z Rz 当R趋于无穷时 z r eE 0 2 3 3 泊松方程与拉普拉斯方程 2 0 0 2 如果场中无电荷分布 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 例3 4 1半径为a的带电导体球 球体电位U 无限远 0 求空间的电位函数及电场 例3 4 1半径为a的带电导体球 球体电位U 无限远 0 求空间的电位函数及电场 对于一维场 场量仅仅是一个坐标变量的函数 对二阶常系数微分方程积分两次 得到通解 利用边界条件求得积分常数 得到电位的解

11、由得到电场强度E E的分布 总结 E 作业 求带电Q的导体球 半径为a 产生的电势 1 参考点的选择 2 对称性 0 rB r A 0 2 ar 0 r r A B 0 2 r A rn 2 2 0 2 00 4 a aA dS a A dS r Q ar 0 4 Q A 4 0 ar r Q 0 4 Q ra a 表面内 3 4 唯一性定理 已知边界上的电位函数 求场中的电位分布 第一类边值问题 第一类边值问题 已知边界上的电位法向导数 求导体电位和场 中电位分布 第二类 第二类 已知某一部分边界电位和另一部分边界电位法 向导数 求场的分布 混合 混合 在 静 电 场 中 满 足 给 定 边

12、 界 条 件 的 电 位 微 分 方 程 泊 松 方 程 或 拉 普 拉 斯 方 程 的 解 是 唯 一 的 1 S f S 2 S fS n 3 S f S n 0 0 3 0 0 2 20 1 Ux d U C Ux d U B x d U A 重要意义 例 图示平板电容器的电位 哪一个解答正确 正确答案 C 可判断静电场问题的解的正确性 电场强度垂直于导体表面 电场强度垂直于导体表面 导体是等位体 导体表面为等位面 导体是等位体 导体表面为等位面 导体内电场强度导体内电场强度E E为零 静电平衡 为零 静电平衡 电荷分布在导体表面 且电荷分布在导体表面 且 一导体的电位为零 则该导体不带

13、电 接地导体都不带电 3 5 电介质中的高斯定律 边界条件 1 静电场中导体的性质1 静电场中导体的性质 任何导体 只要它们带电量不变 则其电位是不变的 0 E 电介质在E E作用下发生极化 形成有向排列的电偶极矩 电介质内部和表面产生极化电荷 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源 无极性分子有极性分子 V 0V p P lim C m2电偶极矩体密度 2 静电场中的电介质2 静电场中的电介质 应用 微波加热 微波炉加热原理 一个电偶极子产生的电位 22 00 1cos 44 R qd RR p e 根据叠加原理 体积V内 电偶极子产生的电位为 3 0 1 4 V RdV R P r z qd

14、pe 式中 4 1 2 0 dV R V R erP 2 11 R RRR e 0 11 4 V dV R P r 00 1 1 44 VV dVdV RR P rP r 矢量恒等式 uAuAAu 00 1 1 44 n VS dVdS RR P reP r 散度定理 p P 极化电荷体密度 p n P 极化电荷面密度 4 1 4 1 0 0 dS R dV R r S p V p rr 在均匀极化的电介质内 极化电荷体密度在均匀极化的电介质内 极化电荷体密度 0 p 33 0 1 4 fpfp VS RR dVdS RR E r 电荷守恒电荷守恒 0 VS ndS dVePP 0 1 4 f

15、pfp VS dVdS RR r 有电介质存在的场域中 任一点有有电介质存在的场域中 任一点有 讨论与引申 3 电介质中的高斯定律 a 高斯定律的微分形式 0 f E 0 fp E 真空中 电介质中 定义电位移矢量 0 DEP 则有 D 电介质中高斯定律的微分形式 p P 1 f 0 EP 0 f EP EEEEEPED 00000 1 ree 在各向同性介质中 D D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷 相对介电常数 介电常数 D D 线由正自由电荷发出 终止于负自由电荷线由正自由电荷发出 终止于负自由电荷 P P 线由负极化电荷发出 终止于正极化电荷线由负极化电荷发出 终止于正极化电荷

16、 E E线的起点与终点既可以在自由电荷上 又可以在极化电荷上 线的起点与终点既可以在自由电荷上 又可以在极化电荷上 E D线E线P线 Q Q 0 U 0 CC U r Q Q 电场强度在电介质内部是增加 了 还是减少了 电场强度在电介质内部是增加 了 还是减少了 D D 通量只取决于高斯面内的自由电荷 2 高斯定律的积分形式 D VV dVdV D S dq DS 散度定理 4 高斯定律的应用 计算技巧 a 分析给定场分布的对称性 判 断能否用高斯定律求解 a 分析给定场分布的对称性 判 断能否用高斯定律求解 b 选择适当的闭合面作为高斯 面 使其容易积分 b 选择适当的闭合面作为高斯 面 使其容易积分 高斯定律高斯定律适用于任何情况适用于任何情况 但只有具有一定但只有具有一定对称性的场才能得到解析解对称性的场才能得到解析解 a 分析给定场分布的对称性 b 选择适当的闭合面作为高斯面 计算技巧 S S 球对称 Er e 2 4 柱对称 rlE e 2 平面对称 ES e 上的电通量 设 SS SE e 的面积为 场强为E 则 c 写出 S d 计算S内的总电量 内n S q E n S