《北师大版数学必修二1.3.1 (27)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学必修二1.3.1 (27)（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 课时两平面垂直的判定明目标、知重点 1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直1二面角的概念一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面2二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角3直二面角及两平面垂直的概念平面角是直角的二面角叫做直二面角，这时我们说这两个平面互相垂直，记作 .4平面与平面垂直的判定定理如果
2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直情境导学 在学 习了异面直 线所成的角、直线和平面所成的角后我们自然而然就提出：两个平面所成的角该怎么定义？如何衡量它的大小？为此，我们需要引入二面角的概念，研究两个平面所成的角探究点一二面角的概念思考 1平面几何中“角”是怎样定义的？答从平面内一点出发的两条射线(半直线) 所组成的图形思考 2在立体几何中， “异面直线所成的角” 、 “直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？答已知异面直线 a、b，经过空间中任一点 O 作直线 aa、bb，我们把 a与 b所成的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角；平面的一条
3、斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角它们的共同特征都是平面角，都是由两条直线组成的图形，角的范围不超过 90.思考 3在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？答修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度；教室的门在打开的过程中与墙面成一定的角度；书本翻开的过程中，两张纸面呈一定的角度等等小结 二面角的概念：从一条直 线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面思考 4如何用
4、字母来记作二面角？答如图，棱为 AB，面分别为 ， 的二面角记作二面角 AB.有时为了方便，也可在 ， 内(棱以外的半平面部分)分别取点 P，Q，将这个二面角记作二面角 PABQ.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角 l 或 PlQ.思考 5二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系，那我们应如何度量二面角的大小呢？答如图，在二面角 l 的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的AOB 叫做二面角的平面角二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度小结关于二面角的平
5、面角有以下几点要引起重视：(1)在表示二面角的平面角时，要求“OAl” ，“OBl ”；(2)AOB 的大小与点 O 在 l 上的位置无关；(3)二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角 时叫直二面角(4)二面角的平面角的范围是：0，180例 1如图，在正方体 ABCDABC D中：(1)求二面角 DABD 的大小；(2)求二面角 AABD 的大小解(1)在正方体 ABCDABCD 中，AB 平面 AD， 所以 ABAD ， 又因为ABAD .因此，DAD 为二面角 DABD 的平面角在 Rt DAD 中，DAD45，所以二面角 DABD 的大小为 45.(2)同理，A A
6、D 为二面角 AABD 的平面角，二面角 AABD 的大小为 90.反思与感悟1.求二面角的步骤简称为“一作二证三求” 2作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如图，则AOB 为 二面角 l 的平面角(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角如图，AOB 为二面角 l 的平面角(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的 A 点向另一个平面作垂 线，垂足为 B，由点 B 向二面角的棱作垂线，垂足为 O，连结 AO，则AOB 为二面角的平面角或其补角如图，AOB 为二
7、面角 l 的平面角跟踪训练 已知 RtABC，斜边 BC，点 A，AO ，O 为垂足，ABO30 ，ACO45，求二面角 ABCO 的大小解如图所示，在平面 内，过 O 作 ODBC ，垂足 为 D，连结 AD.AO ，BC ，AO BC .又AOOD O，BC平面 AOD.而 AD平面 AOD，AD BC.ADO 是二面角 ABC O 的平面角由 AO ，OB，OC，知 AOOB， AOOC.又ABO30，ACO45，设 AOa，则 AC a，AB2a.2在 Rt ABC 中，BAC90，BC a，AC2 AB2 6AD a.ABACBC 2a 2a6a 233在 Rt AOD 中，sinA
8、DO .AOAD a233a 32ADO 60.即二面角 ABC O 的大小是 60.探究点二两个平面垂直的概念思考 1教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出是哪些二面角？这些二面角各是多少度？答可以构成三个二面角；分别是两相邻墙面构成的二面角，一个墙面与地面构成的二面角，另一个墙面与地面构成的二面角；这三个二面角都为 90.思考 2如何定义两个平面互相垂直？答一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直思考 3如何画两个相互垂直的平面？平面 与平面 垂直，记作什么？答两个互相垂直的平面通常画成下图中的两种样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直
9、平面 与平面 垂直，记作 .例 如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 是 AA1 的中点求证：平面 C1BD平面BDE.证明设 ACBDO，则 O 为 BD 的中点， 连结 C1O，EO，C1E.因为 EBED ，点 O 是 BD 的中点，所以 BDEO .因为 C1BC 1D，点 O 是 BD 的中点，所以 BDC 1O，所以C 1OE 即为二面角 C1 BDE 的平面角因为 E 为 AA1 中点，设正方体的棱长为 a，则 C1O a，a2 22a2 62EO a，a22 22a2 32C1E a， 2a2 12a2 32所以 C1O2EO 2C 1E2，所以 C1OOE，所以C
10、 1OE90.所以平面 C1BD平面 BDE.反思与感悟面面垂直定义的两个作用(1)证明面面垂直首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角，然后证 明此平面角是直角(2)证明线线垂直首先作出两个平面相交所形成的二面角的平面角，然后根据面面垂直推出该直二面角的平面角是直角跟踪训练 2如图，ABC 是等腰直角三角形，BAC 90，ABAC1，将ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折叠，使平面 ABD平面 ACD，则折叠后 BC_.答案1解析因为 ADBC，所以 ADBD ，ADCD ，所以BDC 是二面角 BADC 的平面角因为平面 ABD平面 ACD，所以BDC90.在BCD 中BDC90，BD
11、CD ，所以 BC 1.22 222 222探究点三平面与平面垂直的判定思考 1判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有其它的判定定理吗？答面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直这个定理简称“线面垂直，则面面垂直” 思考 2如何用符号语言表达面面垂直的判定定理？答Error! 平面 平面 .例 3如图，AB 是O 的直径， PA 垂直于O 所在的平面， C 是圆周上不同于 A、B 的任意一点，求证：平面 PAC平面 PBC.证明设O 所在平面为 ，由已知条件，PA， BC 在 内，所以 PABC .因为点 C 是圆周上不同于 A、B 的任意一点， AB
12、是O 的直径，所以BCA 是直角，即BCAC.又因为 PA 与 AC 是 PAC 所在平面内的两条相交直线所以 BC平面 PAC.又因为 BC 在平面 PBC 内，所以，平面 PAC平面 PBC.反思与感悟证明面面垂直的方法有：面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本 题二面角 APCB 的平面角不好找，故用判定定理，而用判定定理证面面垂直的关键是在其中一个平面内找(作)一条直线与另一个平面垂直跟踪训练 3如图，在四面体 ABCD 中，CBCD ，ADBD，且 E、F 分别是 AB、BD 的中点求证：(1)EF面 ACD；(2)面 EFC面 BCD.证明(1)E， F 分别是 AB，BD 的中
13、点，EF 是ABD 的中位线，EFAD，EF面 ACD，AD面 ACD，EF面 ACD.(2)AD BD，EFAD，EFBD.CBCD， F 是 BD 的中点，CF BD .又 EFCFF， BD 面 EFC.BD面 BCD，面 EFC面 BCD.1以下角：异面直线所成角；直线和平面所成角；二面角的平面角，可能为钝角的有_个答案1解析异面直线所成角的范围为(0，90，直 线和平面所成角的范围为0 ，90，二面角的平面角的范围为0，180，只有二面角的平面角可能为钝角2直线 l平面 ，l平面 ，则 与 的位置关系是_答案垂直解析由面面垂直的判定定理，得 与 垂直3下列命题：两个相交平面组成的图形
14、叫做二面角；异面直线 a、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是_答案解析不符合二面角定义，从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角4如图所示，在三棱锥 SABC 中，SBC ，ABC 都是等边三角形，且BC1，SA ，则二面角 SBCA 的大小为_32答案60解析取 BC 的中点 O，连结 SO，AO，因为 ABAC ，O 是 BC 的中点，所以 AOBC，同理可证 SOBC，所以SOA 是二面角 SBCA 的平面角在AOB 中， AOB90，ABO60， AB1，所以 AO1sin 60 .32同理可求 SO .32又 SA ，所以SOA 是等边 三角形，32所以SOA60，所以二面角 SBCA 的大小为 60.呈重点、现规律1二面角的大小是通过二面角的平面角的大小来确定的，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度两个相交平面的相对位置是两个平面所成的二面角来确定的，
