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1、人教 A 版高中数学必修1 同步检测 1 单元评估验收 一 时间 120分钟满分 150分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小 题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 1 已知集合 A 0 1 则下列关系表示错误的是 A 0 AB 1 A C AD 0 1 A 解析 1 与 A 均为集合 而 用于表示元素与集合的关系 所 以 B 错 其正确的表示应是 1 A 答案 B 2 已知函数 y f x 的对应关系如下表 函数 y g x 的图象是如 下图的曲线 ABC 其中 A 1 3 B 2 1 C 3 2 则 f g 2 的值 为 A 3B 2C 1D 0 解
2、析 由图象可知 g 2 1 由表格可知 f 1 2 所以 f g 2 2 答案 B 3 设全集 U 1 2 3 4 M 1 3 4 N 2 4 P 2 那么下列关系中正确的是 A P UM NB P M N C P M UN D P M N x 123 f x 230 人教 A 版高中数学必修1 同步检测 2 解析 由题意知 UM 2 故 P UM N 答案 A 4 已知函数 f x 的定义域为 1 0 则函数 f 2x 1 的定义域 为 A 1 1 B 1 1 2 C 1 0 D 1 2 1 解析 对于 f 2x 1 1 2x 1 0 解得 1 x0 f x 1 x 0 则 f 4 3 f
3、4 3 的值等于 A 2 B 4 C 2 D 4 解析 4 3 0 f 4 3 2 4 3 8 3 4 3f a 2 2a 3 D f 1 f a 2 2a 3 解析 因为 a2 2a 3 a 1 2 2 2 且函数 f x 是偶函数 所以 f 1 f 1 又因为函数f x 在区间 0 上是增函数 所 以 f 1 f 1 0 若 f a 4 则实数a 的值为 人教 A 版高中数学必修1 同步检测 6 解析 当 a 0 时 f a a 4 所以 a 4 当 a 0 时 f a a2 4 所以 a 2 故 a 4 或 a 2 答案 4 或 2 15 已知全集 U 2 4 a2 a 1 A a 4
4、4 UA 7 则 a 解析 a2 a 1 7 a 2 a 6 0 解得 a 2 a 3 检验知 a 2 答案 2 16 若函数 f x 满足 f x 2f 1 x 3x x 0 则 f x 解析 因为 f x 2f 1 x 3x 所以以 1 x代替 x 得 f 1 x 2f x 3 x 由 得 f x 2 x x x 0 答案 2 x x x 0 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 集合 U R 集合 A x x 2 mx 2 0 B x x2 5x n 0 A B 且 UA B 2 求集合 A 解 因为 UA B
5、2 所以 2 B 2 A 所以 2 是方程 x2 5x n 0 的根 即 22 5 2 n 0 所以 n 6 所以 B x x2 5x 6 0 2 3 人教 A 版高中数学必修1 同步检测 7 由 A B 知 3 A 即 3 是方程 x2 mx 2 0 的根 所以 9 3m 2 0 所以 m 11 3 所以 A x x2 11 3 x 2 0 2 3 3 18 本小题满分 12 分 已知集合 A x 2a x a 3 B x x5 若 A B 求 a 的取值范围 解 若 A 则 A B 此时 2a a 3 解得 a 3 若 A 由 A B 得 2a 1 a 3 5 2a a 3 解得 1 2
6、a 2 综上所述 a 的取值范围是a 1 2 a 2或a 3 19 本小题满分 12 分 设函数 f x 对任意实数 x y 都有 f x y f x f y 且 x 0 时 f x 0 f 1 2 1 求证 f x 是奇函数 2 求 f x 在区间 3 3 上的最大值和最小值 1 证明 令 x y 0 则 f 0 0 再令 y x 则 f 0 f x f x 0 所以 f x f x 故 f x 为奇函数 2 解 任取 x10 所以 f x2 x1 f x2 x1 f x2 f x1 f x2 f x1 0 且 f x 在区间 1 上单调递减 求 a 的取值范围 1 证明 任取 x1 x20
7、 x1 x2 0 所以 f x1 f x2 故函数 f x 在区间 2 上单调递增 2 解 任取 1 x10 x1 x20 只需 x1 a x2 a 0 恒成立 所以 a 1 故 a 的取值范围是 0 1 21 本小题满分 12分 某商场经销一批进价为每件30 元的商品 在市场试销中发现 此商品的销售单价x 元 与日销售量 y 件 之间有 如下表所示的关系 x 30404550 y 6030150 1 在所给的坐标图纸中 根据表中提供的数据 描出实数对 x y 的对应点 并确定y 与 x 的一个函数关系式 人教 A 版高中数学必修1 同步检测 9 2 设经营此商品的日销售利润为P 元 根据上述
8、关系 写出P 关于 x 的函数关系式 并指出销售单价x 为多少元时 才能获得最大 日销售利润 解 1 由题表作出 30 60 40 30 45 15 50 0 的对 应点 它们近似地分布在一条直线上 如图所示 设它们共线于直线 y kx b 则 50k b 0 45k b 15 k 3 b 150 所以 y 3x 150 0 x 50 且 x N 经检验 30 60 40 30 也在此直线上 所以所求函数解析式为y 3x 150 0 x 50 且 x N 2 依题意 P y x 30 3x 150 x 30 3 x 40 2 300 所以当 x 40 时 P 有最大值 300 故销售单价为40
9、 元时 才 能获得最大日销售利润 22 本小题满分 12 分 已知函数 f x x m x 且 f 1 2 1 判断函数 f x 的奇偶性 人教 A 版高中数学必修1 同步检测 10 2 判断函数f x 在 1 上的单调性 并用定义证明你的结 论 3 若 f a 2 求实数 a 的取值范围 解 由 f 1 2 得 1 m 2 m 1 所以 f x x 1 x 1 f x x 1 x的定义域为 0 0 f x x 1 x x 1 x f x 所以 f x 为奇函数 2 f x x 1 x在 1 上是增函数 证明 设任意的 x1 x2 1 且 x1 x2 则 f x1 f x2 x1 x2 x1
10、x2 x1x2 x1 x2 x 1x2 1 x1x2 因为 1 x1 x2 所以 x1 x21 x1x2 1 0 所以 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 所以 f x 在 1 上是增函数 3 设任意的 x1 x2 0 1 且 x1 x2 由 2 知 f x1 f x2 x 1 x2 x1x2 1 x1x2 由于 x1 x2 0 0 x1x20 即 f x1 f x2 所以 f x 在 0 1 上是减函数 由 f x 在 1 上是增函数 在 0 1 上是减函数 且 f 1 2 知 人教 A 版高中数学必修1 同步检测 11 当 a 0 1 时 f a 2 f 1 成立 当 a 1 时 f a 2 f 1 成立 而当 a 0 时 f a 0 不满足题设 综上可知 实数a 的取值范围为 0 1 1
