《2020年高考数学三轮专项提升21空间向量与几何体(教师版)江苏》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学三轮专项提升21空间向量与几何体(教师版)江苏（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专项提升备战高考专题21 空间向量与几何体1、【2019年高考浙江卷】如图,已知三棱柱,平面平面,分别是AC,A1B1的中点.（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.【解析】方法一：（1）连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1平面ABC=AC,所以,A1E平面ABC,则A1EBC又因为A1FAB,ABC=90,故BCA1F所以BC平面A1EF因此EFBC（2）取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC,故A1EEG,所以平行四边形EGFA1为矩形由（
2、1）得BC平面EGFA1,则平面A1BC平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上连接A1G交EF于O,则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）不妨设AC=4,则在RtA1EG中,A1E=2,EG=.由于O为A1G的中点,故,所以因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是方法二：（1）连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1平面ABC=AC,所以,A1E平面ABC如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Exyz不妨设AC=4,则A
3、1（0,0,2）,B（,1,0）,C(0,2,0)因此,由得（2）设直线EF与平面A1BC所成角为由（1）可得设平面A1BC的法向量为n,由,得,取n,故,因此,直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.2、【2018年江苏卷】 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值【解析】（1）先建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据向量数量积求得向量的夹角,再根据向
4、量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量,再根据向量数量积得向量夹角,最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.详解：如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,设AC,A1C1的中点分别为O,O1,则OBOC,OO1OC,OO1OB,以为基底,建立空间直角坐标系Oxyz因为AB=AA1=2,所以（1）因为P为A1B1的中点,所以,从而,故因此,异面直线BP与AC1所成角的余弦值为（2）因为Q为BC的中点,所以,因此,设n=（x,y,z）为平面AQC1的一个法向量,则即不妨取,设直线CC1与平面AQC1所成角为,则,所以直线CC1与平面AQC1
5、所成角的正弦值为3、【2018年江苏卷】 如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AA1平面ABCD,且ABAD2,AA1,BAD120.(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2) 求二面角BA1DA的正弦值解：在平面ABCD内,过点A作AEAD,交BC于点E.因为AA1平面ABCD,AE,AD平面ABCD,所以AA1AE,AA1AD.如图,以,为正交基底,建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2,AA1,BAD120,则A(0,0,0),B(,1,0),D(0,2,0),E(,0,0),A1(0,0,),C1(,1,)(1)(,1,),(,1,),则cos,因此异面直线A
6、1B与AC1所成角的余弦值为.(2)平面A1DA的一个法向量为(,0,0)设m(x,y,z)为平面BA1D的一个法向量,又(,1,),(,3,0),则即不妨取x3,则y,z2,所以m(3,2)为平面BA1D的一个法向量,从而cos,m.设二面角BA1DA的大小为,则|cos|.因为0,所以sin.因此二面角BA1DA的正弦值为.4、【2018年高考浙江卷】如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2（1）证明：AB1平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值【解析】方法一：（
7、1）由得,所以.故.由,得,由得,由,得,所以,故.因此平面.（2）如图,过点作,交直线于点,连结.由平面得平面平面,由得平面,所以是与平面所成的角.由得,所以,故.因此,直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（1）如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.（2）设直线与平面所成的角为.由（1）可知设平面的法向量.由即可取.所以.因此,直线与平面所成的角的正弦值是.5、【2017课标3,理19】如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD（1）证明
8、：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角DAEC的余弦值.【解析】（2）由题设及（1）知,两两垂直,以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.则由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,即E为DB的中点,得.故.设是平面DAE的法向量,则即可取.设是平面AEC的法向量,则同理可得.则.所以二面角D-AE-C的余弦值为.6、【2015江苏高考】如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；（
9、2）点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成角最小时,求线段BQ的长【解析】则各点的坐标为,（1）因为平面,所以是平面的一个法向量,因为,设平面的法向量为,则,即令,解得,所以是平面的一个法向量从而,所以平面与平面所成二面角的余弦值为（2）因为,设（）,又,则,又,从而设,则当且仅当,即时,的最大值为因为在上是减函数,此时直线与所成角取得最小值又因为,所以一、基础知识（一）刻画直线与平面方向的向量1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题,而方向向量可由直线上的两个点来确定2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度,何为法向量？与平面垂直的直线称为平面的法线,法线的方向向量就是平面的法
10、向量,3、如何求出指定平面的法向量呢？求法：（先设再求）设平面的法向量为,若平面上所选两条直线的方向向量分别为,则可列出方程组： 解出的比值即可（二）空间向量可解决的立体几何问题（用表示直线的方向向量,用表示平面的法向量）1、判定类（1）线面平行： （2）线面垂直：（3）面面平行：（4）面面垂直：2、计算类：（1）两直线所成角： （2）线面角：（3）二面角：或（视平面角与法向量夹角关系而定）（三）、关于通过向量求角的一些注意点1、线线角：线线角一定是锐角或者直角,通过向量求角可能会出现钝角或者余弦值为负的,要注意转化。2、线面角：线面角是指斜线与平面内的摄影所成的角,并且也是锐角。但是通过直线
11、的方向向量与平面的法向量所求的角所求的角不是同一个角,要注意转化。3、面面角：面面角是通过平面的法向量求出的角,所求出的角与面面角相等或者互补,因此要注意观察题目中所给的角为锐角还是钝角。题型一 异面直线所成的角线线角一定是锐角或者直角,通过向量求角可能会出现钝角或者余弦值为负的,要注意转化。例1、(2019南京、盐城一模） 如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,AD1,PAAB,点E是棱PB的中点(1) 求异面直线EC与PD所成角的余弦值；(2) 求二面角BECD的余弦值 第(1)问,欲求“异面直线EC与PD所成角的余弦值”,即求“直线EC与PD方向向量的余弦值的绝
12、对值”；第(2)问,欲求“二面角BECD的余弦值”,则需先求“两平面法向量夹角余弦值”,再根据图形判断二面角与向量夹角的大小关系判断符号规范解答 (1)因为PA底面ABCD,且底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直,以A为原点,AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系又因为PAAB,AD1,所以A(0,0,0),B(,0,0),C(,1,0),D(0,1,0),P(0,0,),(2分)因为E是棱PB的中点,所以E,所以,(0,1,),所以cos,所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为.(6分)(2)由(1)得,(0,1,0),(,0,0)设平面BEC的法向量为n1(x1,
13、y1,z1),所以令x11,则z11,所以平面BEC的一个法向量为n1(1,0,1)设平面DEC的法向量为n2(x2,y2,z2),所以令z2,则y21,所以平面DEC的一个法向量为n2(0,1,),所以cosn1,n2.由图可知二面角BECD为钝角,所以二面角BECD的余弦值为.(10分)例2、(2018南京学情调研） 如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ABAD,ADBC,APABAD1.(1) 若直线PB与CD所成角的大小为,求BC的长；(2) 求二面角BPDA的余弦值解答 (1) 以,为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为APABAD1,所以A(0,0,0
14、),B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)设C(1,y,0),则(1,0,1),(1,1y,0)(2分)因为直线PB与CD所成角大小为,所以|cos,|,即,解得y2或y0(舍),所以C(1,2,0),所以BC的长为2.(5分)(2) 设平面PBD的法向量为n1(x,y,z)因为(1,0,1),(0,1,1),则即令x1,则y1,z1,所以n1(1,1,1)(7分)因为平面PAD的一个法向量为n2(1,0,0),所以cosn1,n2,所以,由图可知二面角BPDA的余弦值为.(10分) 1.先建立空间直角坐标系,再利用位置关系解出或设出各点坐标,求出要用的向量坐标,一切具备后再进行相关角的计算,忌书写混乱；2.平面PAD的法向量可直接利用题中垂直信息来减少计算量例3、(2016苏州暑假测试） 如图,在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,A1ECF1.(1) 求异面直
