《2020年新高考数学核心知识点21.1 圆锥曲线的方程与几何性质（精讲精析篇）（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年新高考数学核心知识点21.1 圆锥曲线的方程与几何性质（精讲精析篇）（教师版）（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、知识点透视备战高考专题21.1 圆锥曲线的方程与几何性质（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点 ,两焦点间的距离叫做焦距(2)代数式形式：集合若,则集合P为椭圆；若,则集合P为线段；若,则集合P为空集2.椭圆的标准方程：焦点在轴时,；焦点在轴时,【典例1】（2018年上海卷）设是椭圆上的动点,则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A B C D 【答案】C【解析】椭圆=1的焦点坐标在x轴,a=,P是椭圆=1上的动点,由椭圆的定义可
2、知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2故选：C【典例2】（2019全国高考真题（文）已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,则C的方程为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】法一：如图,由已知可设,则,由椭圆的定义有在中,由余弦定理推论得在中,由余弦定理得,解得所求椭圆方程为,故选B法二：由已知可设,则,由椭圆的定义有在和中,由余弦定理得,又互补,两式消去,得,解得所求椭圆方程为,故选B【总结提升】1.应用椭圆的定义,可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x,y)(y0)与两焦点F1(c,0),F2(c,0)构成的PF1F2称为焦点三角形,其周长为2(ac)(2)椭圆
3、的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a是斜边,a2b2c2.2.对焦点三角形的处理方法,通常是运用.热门考点02 椭圆的标准方程1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴,；（2）焦点在轴,.2满足条件：【典例3】（山西省大同市与阳泉市2018届二测）已知椭圆的左焦点为,过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为,则椭圆的标准方程为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由左焦点为,可得,即,过点作倾斜角为的直线的方程为,圆心到直线的距离,由直线与圆相交的弦长为,可得,解得,则椭圆方程为,故选B.【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断焦点的位置(
4、2)设方程：焦点不确定时,要注意分类讨论,或设方程为 (3)找关系：根据已知条件,建立关于的方程组(4)求解,得方程2(1)方程与有相同的离心率(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为,恰当运用椭圆系方程,可使运算简便热门考点03 椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称顶点长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点焦距离心率,其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径,其长为【典例4】（2018全国高考真题（文）已知,是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】在中,设,则,又由椭圆定义可知则离心
5、率,故选D.【典例5】（2019山东高考模拟（文）已知椭圆的右焦点为,短轴的一个端点为,直线与椭圆相交于、两点.若,点到直线的距离不小于,则椭圆离心率的取值范围为( )ABCD【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为,为短轴的上端点,连接,如下图所示：由椭圆的对称性可知,关于原点对称,则又 四边形为平行四边形 又,解得：点到直线距离：,解得：,即 本题正确选项：【典例6】（2018全国高考真题（理）已知,是椭圆的左,右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,则的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为为等腰三角形,所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得,由正弦定理得,所以,故选D
6、.【总结提升】1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时,经常用到x,y的范围,离心率的范围等不等关系(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时,理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系2.求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出c和a的值,而是根据题目给出的椭圆的几何特征,建立关于参数c、a、b的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或范围较多时候利用解题.热门考点04 双曲线的定义及标准方程1双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)
7、这一定值一定要小于两定点的距离2双曲线的标准方程标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)图形【典例7】（2018天津高考真题（文）已知双曲线 的离心率为2,过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和,且 则双曲线的方程为( )ABCD【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c0）,则,由可得：,不妨设：,双曲线的一条渐近线方程为,据此可得：,则,则,双曲线的离心率：,据此可得：,则双曲线的方程为.本题选择A选项.【典例8】（2017天津高考真题（文）已知双曲线的左焦点为,点在双曲线的渐近线上,是边长为2的等边三角形（为原点）,则双曲线的方程为（ ）A.B
8、.C.D.【答案】D【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：,解得：,双曲线方程为：.本题选择D选项.【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合|PF1|PF2|2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的联系2求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点,且确定了焦点在x轴上或y轴上,则设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出a2,b2,从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个,也有可能是两个,注意合理取舍,但不要漏解)(2
9、)当焦点位置不确定时,有两种方法来解决：一是分类讨论,注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：双曲线过两点可设为,与共渐近线的双曲线可设为,（3）等轴双曲线可设为等,均为待定系数法求标准方程.热门考点05 双曲线的几何性质双曲线的几何性质标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)图形性质范围xa或xa,yRxR,ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)渐近线yxyx离心率e,e(1,),其中c实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|2b；a叫作双曲线的实半轴长,b叫
10、作双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2(ca0,cb0)【典例9】（2018全国高考真题（文）已知双曲线的离心率为,则点到的渐近线的距离为（ ）ABCD【答案】D【解析】所以双曲线的渐近线方程为所以点（4,0）到渐近线的距离故选D【典例10】（2019全国高考真题（文）双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率为（ ）A2sin40B2cos40CD【答案】D【解析】由已知可得,故选D【总结提升】1双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a0,b0易误认为与椭圆标准方程中a,b的要求相同若ab0,则双曲线的离心率e(1,)；若ab0,则双曲线的离心率e；若0ab,则双曲线的离心
11、率e.2注意区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆a、b、c关系,在椭圆中a2b2c2,而在双曲线中c2a2b2.3等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)4双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b5渐近线与离心率的一条渐近线的斜率为.可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小6.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接转化求解(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系,如借助双曲线上点的坐标范围,方程中0等来解决热门考点06 与双曲线有关的综合问题【典例11】（201
12、9浙江高三月考）已知,是椭圆：与双曲线的公共焦点,是,的公共点,若,则的渐近线方程为_.【答案】【解析】因为,是椭圆：与双曲线的公共焦点,所以,设点,由,不妨取正即,代入双曲线方程得：,又,即；即的渐近线方程为.故答案为【典例12】（2017全国高考真题（理）已知双曲线：的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线于交、两点,若,则的离心率为_【答案】【解析】如图所示,由题意可得,设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为,则tan =又tan =,解得a2=3b2,e=答案：【总结提升】与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e是一个比值,故只需根据条件得到关于a
13、,b,c的一个关系式,利用b2c2a2消去b,然后变形成关于e的关系式,并且需注意e1.(2)双曲线的渐近线是令,即得两渐近线方程0.(3)渐近线的斜率也是一个比值,可类比离心率的求法解答注意应用.热门考点07 抛物线的定义及应用平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线【典例13】（上海高考真题（文）抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1,则 .【答案】2【解析】设点点的坐标为,根据抛物线的定义,可得,当时,取得最小值,解得.【典例14】（2017全国高考真题（理）已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点若为的中点,则_【答案】6【解析】如图所示,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线与轴交于点,作与点,与点,由抛物线的解析式可得准线方程为,则,在直角梯形中,中位线,由抛物线的定义有：,结合题意,有,故【总结提升】1.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,注意转化思想的运用2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题,该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段
