《2020年新高考数学核心知识点6.1 平面向量初步（精讲精析篇）（学生版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年新高考数学核心知识点6.1 平面向量初步（精讲精析篇）（学生版）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、知识点透视备战高考专题6.1平面向量初步（精讲精析篇）提纲挈领考点突破热门考点01 平面向量的有关概念1向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模2零向量：长度等于0的向量,其方向是任意的3单位向量：长度等于1个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定：0与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相等且方向相反的向量【典例1】给出下列结论：数轴上相等的向量,它们的坐标相等；反之,若数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量相等；对于任何一个实数,数轴上存在一个确定的点与之对应；数轴上向量的坐标是一个实数,实数的绝对值为线段AB的长度,
2、若起点指向终点的方向与数轴同方向,则这个实数取正数,反之取负数；数轴上起点和终点重合的向量是零向量,它的方向不确定,它的坐标是0.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4【典例2】给出下列命题：若ab,bc,则ac；若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；ab的充要条件是|a|b|且ab；若ab,bc,则ac.其中正确命题的序号是 .【易错提醒】有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量解题时,不要把它与函数图象的移动混淆(
3、4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量,是与a反方向的单位向量(5)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合,易忽视重合这一条件热门考点02 平面向量的线性运算1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量
4、形式(3)比较、观察可知所求【典例3】（2018年理新课标I卷）在中,为边上的中线,为的中点,则（ ）A. B. C. D. 【典例4】（2019山东高考模拟（文）在正方形中,为的中点,若,则的值为（ ）ABCD1【特别提醒】关于平面向量的线性运算的考查,命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算,二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解热门考点03 共线向量定理及其应用1.共
5、线向量定理：向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使得ba.2.平面向量共线定理的三个应用【典例5】（2019上海市新川中学高二月考）正六边形ABCDEF中,P是CDE内（包括边界）的动点,设,则的取值范围是_【典例6】设两个非零向量a与b不共线(1)若ab,2a8b,3(ab),求证：A,B,D三点共线；(2)试确定实数k,使kab和akb共线【总结提升】求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中,当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当
6、两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线(3)直线的向量式参数方程：A,P,B三点共线(1t)t(O为平面内任一点,tR)热门考点04 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量,那么对于这个平面内任意向量,有且只有一对实数,使.其中,不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底6相反向量：长度相等且方向相反的向量【典例7】（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）在中,点满足,当点在射线（不含点）上移动时,若,则 的 取值范围为_ 【典例8】（2019江西高考模拟（理）如图所示,矩形的对角线相交于点,为的中点,若,则等于（ ）ABCD【总结提升】平面向量基本
7、定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决热门考点05 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)若,则；(2)若,则(3)设,则,.【典例9】（2019全国高考真题（文）已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|ab|=（ ）AB2C5D50【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标要注意点
8、的坐标和向量的坐标之间的关系,一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解热门考点06平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为a(R),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量(2)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若,则的充要条件是”解题比较方便【典例10】（陕西高考真题（文）已知向量,若,则实数等于（ ）A.B.C.或D.0【典例11
9、】（2018南汇县大团中学高一期中）若,则与同方向的单位向量_【典例12】（2019江苏高考模拟）如图,在平面四边形中,点为线段的中点若(),则的值为_【总结提升】主要命题角度有两个,一是利用向量共线求向量或点的坐标,二是利用向量共线求参数,总体难度不大.热门考点07 平面向量数量积的运算一、两个向量的夹角1定义已知两个非零向量a和b,作a,b,则AOB叫做向量a与b的夹角2范围向量夹角的范围是0180a与b同向时,夹角0；a与b反向时,夹角180.3向量垂直如果向量a与b的夹角是90,则a与b垂直,记作ab.二、平面向量的数量积1已知两个非零向量a与b,则数量|a|b|cos 叫做a与b的数
10、量积,记作ab,即ab|a|b|cos ,其中是a与b的夹角规定0a0.当ab时,90,这时ab0.2ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积三、数量积的运算律1交换律：abba.2分配律：(ab)cacbc.3对R,(ab)(a)ba(b)【典例13】（2018天津高考真题（文）在如图的平面图形中,已知,则的值为（ ）A BC D0【典例14】（2019全国高考真题（理）已知=(2,3),=(3,t),=1,则=（ ）A-3B-2C2D3【典例15】(2019云南第一次统一检测)在ABCD中,|8,|6,N为DC的中点,2,则()A48B36C2
11、4D12【总结提升】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时,可直接使用数量积的定义求解,即ab|a|b|cos(是a与b的夹角)(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时,应用相应运算律,最终转化为基向量的数量积,进而求解(3)坐标法：若向量选择坐标形式,则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解热门考点08 平面向量数量积的性质一、向量数量积的性质1如果e是单位向量,则aeea.2abab0.3aa|a|2,.4cos .(为a与b的夹角)5|ab|a|b|.二、数量积的坐标运算设a(a1,a2),b(b1,b2),则：1aba1b1a2b2.2aba1b1a2b
12、20.3|a|.4cos.(为a与b的夹角)【典例16】（2019浙江高考模拟）已知平面向量不共线,且,记与 的夹角是,则最大时,（ ）ABCD【典例17】（2019全国高考真题（理）已知为单位向量,且=0,若 ,则_.【典例18】（2018北京高考真题（文）设向量 =（1,0）, =（1,m）,若,则m=_.【总结提升】1.求向量夹角问题的方法(1)当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求出ab及|a|,|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知a(x1,y1)与b(x2,y2),则cosa,b.提醒：a,b0,2平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法若向量a是以坐标形式出
13、现的,求向量a的模可直接利用公式|a|.若向量a,b是以非坐标形式出现的,求向量a的模可应用公式|a|2a2aa,或|ab|2(ab)2a22abb2,先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解(2)求向量模的最值(范围)的方法代数法：把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解3平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一,计算出这两个向量的坐标；第二,根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可(2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数热门考点09 平面向量的综合应用1.向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解2向量在解析几何中的作用（解析几何专题中详讲）(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用abab0；abab(b0),可解决垂直、平行问题,特
