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1、专项提升备战高考第6讲 平面向量的应用1、【2019年高考江苏卷】如图,在中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点.若,则的值是_.2、【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1,当每个取遍时,的最小值是_；最大值是_.3、【2019年高考北京卷文数】已知向量=（4,3）,=（6,m）,且,则m=_4、【2019年高考全国III卷文数】已知向量,则_.5、【2019年高考天津卷文数】在四边形中,点在线段的延长线上,且,则_6、【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中,为直线上在第一象限内的点,以为直径的圆与直线交于另一点若,则点的横坐标为_1.向量的有关概念名称定义
2、备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律向量的加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc).向量的减法求两个向量差的运算三角形法则aba(b)数乘求实数与向
3、量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时,a的方向与a的方向相同；当0时,a的方向与a的方向相反；当0时,a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.向量共线定理如果有一个实数,使ba(a0),那么b与a是共线向量；反之,如果b与a(a0)是共线向量,那么有且只有一个实数,使ba.4、平面向量基本定理（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键.（2）平面向量共线的坐标表示两向量平行的充要条件若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件是ab,这与x1y2x2y10在本质上是没有差
4、异的,只是形式上不同.（3）三点共线的判断方法：判断三点是否共线,先求由三点组成的任两个向量,然后再按两向量共线进行判定.失误与防范要区分点的坐标和向量的坐标,向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件不能表示成,因为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2x2y10.5、平面向量的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫做向量a和b的数量积(或内积),记作ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a与b垂直的充要条件是ab0,两个非零向量a与
5、b平行的充要条件是ab|a|b|.6、平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.7、平面向量数量积的重要性质(1)eaae|a|cos ；(2)非零向量a,b,abab0；(3)当a与b同向时,ab|a|b|；当a与b反向时,ab|a|b|,aaa2,|a|；(4)cos ；(5)|ab|a|b|.8、平面向量数量积满足的运算律(1)abba(交换律)；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.9、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1x2y1y2,由此得到(1)若a(
6、x,y),则|a|2x2y2或|a|.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点间的距离|AB|.(3)设两个非零向量a,b,a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1x2y1y20.10、主要问题归类与方法：1）几何图形中的向量关系与计算问题方法1：基底法,选择适当的基底,把所研究的向量用基底表示； 方法2：坐标法,建立适当的坐标系,找到图形中各点的坐标,从而求出各向量的坐标2）方法选择与优化建议：解决这类问题的基本方法是：（1）基底法；（2）坐标法第(1)题用基底法,方便,第(2)题的两种解法总体难度相当,坐标法相对比较好想一点建议与说明：1、以向量为载体求相关变量的取值
7、或范围,是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题（2）以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算,可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题,是此类问题的一般方法（3）向量的两个作用：载体作用,关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题；工具作用,利用向
8、量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题2、平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a(x1,y1),b(x2,y2),则的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便（2）利用两向量共线的条件求向量坐标一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为a(R),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量（3）三点共线问题A,B,C三点共线等价于与共线.题型一 平面向量基本定理的应用平面向量基本定理表明,平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示,题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出
9、来,因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解.例1、(2019泰州期末）已知点P为平行四边形ABCD所在平面上一点,且满足20,0,则_例2、（2017江苏）如图,在同一个平面内,向量、,的模分别为1,1,与的夹角为,且,与的夹角为,若, 则的值为_ 题型二 平面向量的坐标运算(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(a0),则ba.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.例3、(2018泰州学情调研）.已知向量,若为实数,则 例
10、4、(2017南京学情调研） 设向量a(1,4),b(1,x),ca3b.若ac,则实数x的值是_题型三 平面数量积的基本运算(1)在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对|a|要引起足够重视,它是求距离常用的公式.(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中,灵活运用运算律,达到简化运算的目的.例5、(2019常州期末）平面内不共线的三点O,A,B,满足|1,|2,点C为线段AB的中点,AOB的平分线交线段AB于D,若|,则|_例6、(2019南京、盐城二模） 已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高,点P在DA的延长线上,且满足()4.若AD,
11、则的值为_题型四 运用基底转化求向量的数量积 向量的运算问题,通常有两种基本方式,一是基底法、二是坐标法一般地,基底法更具有一般性,基底法的难点在于将所研究的向量表示为基底的形式,坐标法一般用于一些特殊的图形,即便于建立坐标系的问题本题中的两种解法的难易程度相当例7、(2019通州、海门、启东期末）如图,在平行四边形ABCD中,AB4,AD,BAD45,E,F分别是BC,CD的中点,若线段EF上一点P满足2,则_题型五 运用建系求向量的数量积 向量的数量积考查常见思路：基底法、坐标法(建系)、投影等常用的知识：极化恒等式、向量共线定理、平面向量基本定理、鸡爪定理等基底法：题目中有角,有边长的坐
12、标法：有特殊角的,如30,60,90,120等；有特殊图形的,如等腰三角形、矩形等；有线段长,根据对称性建系,线段中点为原点例8、(2019苏北三市期末） 在ABC中,AB2,AC3,BAC60,P为ABC所在平面内一点,满足2,则的值为_题型六 平面向量数量积的范围问题平面向量数量积的范围问题是把平面数量积建立目标函数的问题,然后运用函数研究最值。例9、(2018南通、泰州一调） 如图,已知矩形ABCD的边AB2,AD1.点P,Q分别在边BC,CD上,且PAQ45,则的最小值为_题型六 平面向量数量积中的隐圆问题通过建系运用相关点法即可求得点的轨迹方程,通过点的轨迹方程发现其轨迹是一个圆,接
13、下来问题就转化为定点与圆上的动点的距离的最小值问题,那就简单了一般与动点有关的最值问题,往往运用轨迹思想,首先探求动点的轨迹,在了解其轨迹的基础上一般可将问题转化为点与圆的关系或直线与圆的关系或两圆之间的关系例10、(2017扬州期末）已知ABC是边长为3的等边三角形,点P是以A为圆心的单位圆上一动点,点Q满足,则|的最小值是_. 一、填空题1、(2018苏州暑假测试）已知平面向量a(2,1),ab10,若|ab|5,则|b|的值是_2、(2017无锡期末） 已知向量a(2,1),b(1,1),若ab与mab垂直,则实数m的值为_3、(2017苏北四市期末）已知非零向量a,b满足|a|b|ab|,则a与2ab夹角的余弦值为_4、(2017苏锡常镇调研）在ABC中,已知AB1,AC2,A60,若点P满足,且1,则实数的值为_5、(2018南京学情调研）在ABC中,AB3,AC2,BAC120,.若,则实数的值为_6、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA3,OC5.若7,则的值是_7、(2019南京学情调研）在菱形ABCD中,ABC60,E为边BC上一点,且6,则的值为_8、(201
