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1、2020届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1设集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】解不等式得出集合A、B，根据并集的定义写出AB【详解】集合Ax|x|1x|1x1，Bx|x（x3）0x|0x3，则ABx|1x3（1，3）故选：D【点睛】本题考查集合的运算，是基础题2若复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】C【解析】,化为，复数在复平面内所对应的点在第三象限，故选C.3本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种ABCD【答案】A【
2、解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有种排法；故选：A.4中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图所示当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）ABCD【答案】A【解析】由算筹含义直接求解【详解】根据各
3、位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，知8771用算筹可表示为，故选：A.【点睛】本题容易，只需找出规律即可求解.5在等比数列中，和是方程的两根，则（ ）ABCD【答案】C【解析】利用韦达定理得到，再利用数列的性质计算.【详解】因为是方程的根，故且，由是等比数列可知,故，因为，故，故故选：C【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前n项和，则有性质：（1）若,则；（2）且;（3）且为等差数列；（4）为等差数列.6已知向量，且，则m=( )A8B6C6D8【答案】D【解析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案【详解】，又，34+（
4、2）（m2）0，解得m8故选D【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题7下列函数中，在内单调递减的是（ ）ABCD【答案】A【解析】直接根据指数型函数的单调性判断出在R上递减，求得结果.【详解】由题，在R上递减，所以在内单调递减，故选A【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题.8函数的部分图象，如图所示，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据图像，可求出的值，进而得出解析式，将代入即可得解.【详解】由图可知，最大值为1，故则因为，故即则故选：B【点睛】根据图像解出三角函数解析式并对其性质进行考查是高考的高频考点，可从最大值点、周期
5、、零点等角度入手，解答时要注意参数取值范围.9已知：，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】若恒成立,则的最小值大于,利用均值定理及“1”的代换求得的最小值,进而求解即可.【详解】由题,因为,所以,当且仅当,即,时等号成立,因为恒成立,则,即,解得,故选:A【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.10已知边长为的等边三角形，为的中点，以为折痕，将折成直二面角，则过四点的球的表面积为ABCD【答案】D【解析】折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为， 故其外接球的半径为，其表面积为.故选：D.点睛：空间几何体与球
6、接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解11已知O为坐标原点，抛物线C：y2=8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（）A4BCD【答案】C【解析】由已知条件，结合抛物线性质求出A点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B，由|PO|P
7、B，|知|PA|+|PO|的最小值为|AB|，由此能求出结果【详解】抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，|AF|=6，A到准线的距离为6，即A点的横坐标为4，点A在抛物线上，不妨设为第一象限，A的坐标A（4，4）坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（-4，0），|PO|=|PB|，|PA|+|PO|的最小值：|AB|= 故选C【点睛】本题主要考查抛物线的相关知识两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用12已知定义在上的奇函数满足 ，当时， ，则函数 在区间上所有零点之和为( )ABCD【答案】D【解析】函数在区间上的零点就是函数与函数的交点的横坐标，即
8、函数的周期为，且函数的图象关于直线对称又可得，从而函数的图象关于点(,0)对称函数的图象关于点(,0)对称画出函数f(x),h(x)的图象（如下所示），根据图象可得函数f(x),h(x)的图象共有4个交点，它们关于点(,0)对称所以函数在区间上所有零点之和为2+2=4选D点睛：解答本题的关键是将函数零点问题转化为两个函数图象交点的横坐标问题，借助函数图象的直观性使得问题得到解答，这是数形结合在解答数学题中的应用，解题中要求正确画出函数的图象同时本题中还用到了函数的周期性、对称性、奇偶性之间的互相转化，对于这些知识要做到熟练运用二、填空题13已知的展开式中的系数为20，则_【答案】【解析】根据二
9、项式定理求解的系数再求解即可.【详解】易得中含的项为,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了二项式定理求项的系数与参数的问题,属于基础题.14曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.【详解】【点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.15的内角的对边分别为，若的面积为，则角_.【答案】【解析】根据三角形面积公式和余弦定理可得，从而求得；由角的范围可确定角的取值.【详解】 故答案为：【点睛】本题考查余弦定理和三角形
10、面积公式的应用问题，关键是能够配凑出符合余弦定理的形式，进而得到所求角的三角函数值.16已知函数，数列的通项公式为，则_此数列前2019项的和为_【答案】 2020 【解析】利用函数与数列的关系求出通项公式，即可求出；列出求和公式找到规律即可求出.【详解】由题可知，则即故答案为： 2020【点睛】本题综合考查函数、数列的相关性质，难度较易.三、解答题17已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令（）,求数列的前项和【答案】（）; （）【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，所以有，解得
11、，所以，.（2）由（1）知，所以，所以，即数列的前项和.【考点】等差数列的通项公式，前项和公式裂项求和18在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是的中点.(1)求证: 平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】(1) 连接，根据几何关系得到, 由平面平面，可得平面，进而得到,再由三角形ABE的角度及边长关系得到，进而得到结果;(2)建立空间坐标系得到面的法向量为，面的一个法向量为，根据向量夹角运算可得结果【详解】（1）连接，由，是的中点，得， 由平面平面，可得平面，又由于四边形 是边长为2的菱形，所以，从而平面.（2）以为原点，为轴，建立空间
12、直角坐标系，有，令平面的法向量为，由，可得一个，同理可得平面的一个法向量为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的证法，以及二面角的求法，证明面面垂直经常先证线面垂直，再得面面垂直，或者建立坐标系，求得两个面的法向量，证明法向量公线即可.19树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4 组，第5组，得到的频率
13、分布直方图如图所示(1) 求的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求在第1组已被抽到人的前提下，第3组被抽到人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出人，记关注“生态文明”的人数为，求的分布列与期望.【答案】(1) (2) （3）【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图求出的值；（2）设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件，由条件概率公式得到所求概率；（3）的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率值，从而得到的分布列与期望.试题解析：（1）由，得，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30
14、人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人. 设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件， 则 （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为 的可能取值为0，1，2，3. ，所以的分布列为， 20在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于,两点，求四边形面积的最大值.【答案】(1) (2)6【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值
