《同济大学版高数第三章完整ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学版高数第三章完整ppt课件（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 第三节 微分中值定理 与导数的应用 一 罗尔 Rolle 定理 第一节 二 拉格朗日 Lagrange 中值定理 三 柯西 Cauchy 中值定理 中值定理 第三章 费马 fermat 引理 一 罗尔 Rolle 定理 且 存在 证 设 则 费马 证毕 罗尔 Rolle 定理 满足 1 在区间 a b 上连续 2 在区间 a b 内可导 3 f a f b 使 证 故在 a b 上取得最大值 M和最小值m 若M m 则 因此 若M m 则M和m中至少有一个与端点值不等
2、不妨设 则至少存在一点 使 注意 2 定理条件条件不全具备 结论不一定 成立 则由费马引理得 例如 1 定理条件只是充分的 例1 证明方程 有且仅有一个小于1的 正实根 证 1 存在性 则 在 0 1 连续 且 由介值定理知存在 使 即方程有小于1的正根 2 唯一性 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 至少存在一点 但 矛盾 故假设不真 设 二 拉格朗日中值定理 1 在区间 a b 上连续 满足 2 在区间 a b 内可导 至少存在一点 使 思路 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 在 a b 上连续 在 a b 内可导 且 证 问题转化为证 由罗尔定理知至少存在
3、一点 即定理结论成立 拉氏 证毕 拉格朗日中值定理的有限增量形式 推论 若函数 在区间I上满足 则 在I上必为常数 证 在I上任取两点 格朗日中值公式 得 由的任意性知 在I上为常数 令 则 例2 证明等式 证 设 由推论可知 常数 令x 0 得 又 故所证等式在定义域上成立 自证 经验 欲证 时 只需证在I上 例3 证明不等式 证 设 中值定理条件 即 因为 故 因此应有 三 柯西 Cauchy 中值定理 分析 及 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 3 在开区间 a b 内 至少存在一点 使 满足 问题转化为证 柯西 构造辅助函数 证 作辅助函数 且 使 即 由罗尔
4、定理知 至少存在一点 思考 柯西定理的下述证法对吗 两个 不一定相同 错 上面两式相比即得结论 柯西定理的几何意义 注意 弦的斜率 切线斜率 例4 设 至少存在一点 使 证 问题转化为证 设 则 在 0 1 上满足柯西中值 定理条件 因此在 0 1 内至少存在一点 使 即 证明 内容小结 1 微分中值定理的条件 结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 2 微分中值定理的应用 1 证明恒等式 2 证明不等式 3 证明有关中值问题的结论 关键 利用逆向思维设辅助函数 费马引理 思考与练习 1 填空题 1 函数 在区间 1 2 上满足拉格朗日定理 条件 则中值 2 设 有 个根 它们分
5、别在区间 上 方程 2 设 且在 内可导 证明至少存 在一点 使 提示 由结论可知 只需证 即 验证 在 上满足罗尔定理条件 设 3 若 可导 试证在其两个零点间一定有 的零点 提示 设 欲证 使 只要证 亦即 作辅助函数 验证 在 上满足 罗尔定理条件 费马 1601 1665 费马 法国数学家 他是一位律师 数学 只是他的业余爱好 他兴趣广泛 博 览群书并善于思考 在数学上有许多 重大贡献 他特别爱好数论 他提出 的费马大定理 历经358年 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德 鲁 怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决 引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的 拉格朗日 1736 1813 法国数学家 他在方程论 解析函数论 及数论方面都作出了重要的贡献 近百 余年来 数学中的许多成就都可直接或 间接地追溯到他的工作 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一 柯西 1789 1857 法国数学家 他对数学的贡献主要集中 在微积分学 柯 西全集 共有27卷 其中最重要的是为巴黎综合学校 编写的 分析教程 无穷小分析概论 微积分 在几何上的应用 等 有思想有创建 广泛而深远 对数学的影响 他是经典分析的奠基人之一 他为微积 分所奠定的基础推动了分析数学的发展 复变函数和微分方程方面 一生发表论文800余篇 著书7本
