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1、泰勒公式与极值问题 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题 一 高阶偏导数 设z f x y 在域D内存在连续的偏导数 若这两个偏导函数仍存在偏导数 则称它们是 z f x y 的二阶偏导数 按求导顺序不同 有下列 四个二阶偏导数 类似可以定义更高阶的偏导数 z f x y 的三阶偏导数共有八 23 种情形 又如z f x y 关于x的n 1阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 再关于y的一阶偏导数为 例1 求函数 解 的二阶偏导数及 注意 从上面两个例子看到 有 但这一结论并不总成立 例如 二者不等 定理17 7 例如 对三元函数u f x y z 说明 本定理对n元函数的高阶混合
2、偏导数也成立 函数在其定义区域内是连续的 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 当三阶混合偏导数 在点 x y z 连续时 有 而初等 今后除特别指出外 都假设相应的混合偏导数连续 从而混合偏导数与求导顺序无关 例6 证明函数 证 利用对称性 有 满足拉普拉斯方程 注意 多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分 方程变形与验证解的问题中经常遇到 下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧 与常用导数符号 得 例设 f具有二阶连续偏导数 求 解 二 中值定理和泰勒公式 凸区域 若区域D上任意两点的连线都含于D 若D为区域 则对任何 恒有 凸区域 非凸区域 内
3、 则称D为凸区域 一元函数中值定理回顾 证 令 由定理的条件知 t 在 0 1 上连续 在 0 1 内可微 由复合函数的求导法则 于是 由于D为凸区域 所以 从而有 于是根据一元函数中值定理 存在 使得 二 二元函数的泰勒公式 一元函数泰勒公式回顾 其中 一般地 表示 表示 这正是二元函数的拉格朗日中值公式 Rn称为其拉格朗日型余项 证 令 其中 由定理的假设 在 0 1 在满足一元函数泰勒定理条件 于是有 下面计算 利用多元复合函数求导法则可得 一般地 将上述导数代入公式 即得二元函数泰勒公式 若在泰勒公式中只要求余项 带入型余项的泰勒公式中 即 令x 1 08 y 3 96 则有x 1 0
4、 08 y 1 0 04 把这个值与前面用全微分近似公式计算的结果相比 较 这个结果更接近于真值1 356307 三极值问题 定义 若函数 则称函数在该点取得极大值 极小值 极大值和极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 的某邻域内有 注意 函数的极值点只可能是定义域的内点 例如 在点 0 0 有极小值 在点 0 0 有极大值 在点 0 0 无极值 若 例如 定理17 10 必要条件 函数 存在偏导数 证 取得极值 取得极值 取得极值 稳定点不一定是极值点 有驻点 0 0 但在该点不取极值 且在该点取得极值 则有 故 则称 x0 y0 为f的稳定点或驻点 所以 所以 在原点 0 0 没
5、有偏导数 但它在原点有极小值 所以 函数的极值只可能在稳定点或偏导数 不存在的点取得 时 具有极值 定理17 11 充分条件 的某邻域内具有二阶连续偏导数 令 则 1 当 A 0时取极大值 A 0时取极小值 2 当 3 当 时 没有极值 时 不能确定 需另行讨论 若函数 且 证 由二元函数的泰勒公式 并注意 则有 所以 其中 是当h 0 k 0时的无穷小量 于是 1 当AC B2 0时 必有A 0 且A与C同号 可见 从而 z 0 因此 从而 z 0 2 当AC B2 0时 若A C不全为零 无妨设A 0 则 时 有 异号 同号 可见 z在 x0 y0 邻近有正有负 若A C 0 则必有B 0
6、 不妨设B 0 此时 可见 z在 x0 y0 邻近有正有负 3 当AC B2 0时 若A 0 则 若A 0 则B 0 为零或非零 此时 因此 不能断定 x0 y0 是否为极值点 并求出偏导数不存在的点 求出二阶偏导数的值 例 求函数 解 第一步求稳定点 得稳定点 1 0 1 2 3 0 3 2 第二步判别 在点 1 0 处 为极小值 解方程组 的极值 求二阶偏导数 故f在 1 0 有极值 又因 在点 3 0 处 不是极值 在点 3 2 处 为极大值 在点 1 2 处 不是极值 故f在 3 2 有极值 又因 例 讨论函数 及 在点 0 0 是否取得极值 解 显然 0 0 都是它们的驻点 在 0
7、0 点邻域内的取值 因此 0 0 不是 因此 为极小值 正 负 0 并且在 0 0 都有 可能为 的极值点 最大值最小值 简称最值 问题 函数f在闭域上连续 函数f在闭域上可达到最值 最值可疑点 稳定点 偏导数不存在的点 边界上的最值点 特别 当区域内部最值存在 且只有一个极值点P时 为极小值 为最小值 大 大 依据 例 解 设水箱长 宽分别为x y米 则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2米3的有盖 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在 长方体水箱 问当长 宽 高各取怎样的尺寸 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点 即当长 宽均为 高为 时 水箱所用材料最省
8、时 才能使用料最省 米 例 有一宽为24cm的长方形铁板 把它折起来做成 解 设折起来的边长为xcm 则断面面积 一个断面为等腰梯形的水槽 倾角为 积最大 为 问怎样折法才能使断面面 令 解得 由题意知 最大值在定义域D内达到 而在域D内只有 一个驻点 故此点即为所求 问题的提出 已知一组实验数据 求它们的近似函数关系y f x 需要解决两个问题 1 确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景 2 确定近似函数的标准 实验数据有误差 不能要求 最小二乘法 偏差 有正有负 值都较小且便于计算 可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对 来确定近似函数f x 最小二乘法原理 设有一列
9、实验数据 分布在某条曲线上 通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法 找出的函数关系称为经验公式 它们大体 特别 当数据点分布近似一条直线时 问题为确定a b 令 满足 使 得 解此线性方程组即得a b 例 为了测定刀具的磨损速度 每隔1小时测一次刀 具的厚度 得实验数据如下 找出一个能使上述数据大体适合的经验公式 解 通过在坐标纸上描点可看出它们 大致在一条直线上 列表计算 故可设经验公式为 得法方程组 解得 故所求经验公式为 为衡量上述经验公式的优劣 计算各点偏差如下 称为均方误差 对本题均方误差 它在一定程度上反映了经验函数的好坏 偏差平方和为 称为均方误差 对本题均方误差 它在一定程度上反映了经验函数的好坏 偏差平方和为 作业 P 1411 设f在 a b 连续 在 a b 可导 则存在 使得 中值公式也可表示为 一元函数中值定理 一元函数 的泰勒公式 设函数 在x0的某邻域
