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1、第二节可分离变量的微分方程 一 可分离变量的微分方程 二 典型例题 一 可分离变量的微分方程 形如的方程 称为可分离变量的微分方程 分离变量 得 设y x 是方程 的解 则有恒等式 两边积分 得 即 设函数G y 和F x 是g y 和f x 的一个原函数 则有 当G y 与F x 可微且G y g y 0时 说明由 确定的隐函数y x 是 的解 称 为方程 的隐式通解 或通积分 同样 当F x f x 0时 上述过程可逆 由 确定的隐函数x y 也是 的解 一 可分离变量的微分方程 形如的方程 称为可分离变量的微分方程 求解步骤 变量分离法 1 分离变量 得 2 两边积分 得 3 求出通解
2、隐函数确定的微分方程的解 微分方程的隐式通解 例1求解微分方程 解 分离变量 得 两端积分 得 二 典型例题 解得 例2求解微分方程 解 分离变量 得 两端积分 得 解得 解 分离变量 得 两端积分 得 解得 解 根据题意 有 初始条件 对方程分离变量 即 利用初始条件 得 故所求铀的变化规律为 然后积分 解根据牛顿第二定律 得 初始条件为 对方程分离变量 然后积分 得 利用初始条件 得 代入上式后化简 得特解 例设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时 t 0 速度为0 求降落伞下落速度与时间的函数关系 t足够大时 解 分离变量 解得 然后积分 可分离变量的微分
3、方程初值问题 的解也可直接用变上限积分来确定 分离变量法步骤 1 分离变量 2 两端积分 隐式通解 三 小结 若是求特解 还需根据初值条件定常数 1 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程 常用的方法 1 根据几何关系列方程 2 根据物理规律列方程 3 根据微量分析平衡关系列方程 2 利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件 3 求通解 并根据初值条件确定特解 3 解微分方程应用题的方法和步骤 思考与练习 求方程的通解 提示 方程变形为 练习题 练习题答案 例9有高为1m的半球形容器 水从它的底部小孔流出 小孔横截面积为1cm2 如图 开始时容器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h 水面与孔口中心间的距离 随时间t的变化规律 解 由力学知识得 水从孔口流出的流量为 设在微小的时间间隔 水面的高度由h降至h dh 比较 1 和 2 得 即为未知函数的微分方程 可分离变量 所求规律为
