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1、 2 6用初等变换求逆矩阵 一 用初等变换法求逆矩阵及解矩阵方程 一 等价定理 定理1 设A是n阶方阵 则如下的命题等价 1 A是可逆的 2 A E E是n阶单位矩阵 3 存在n阶初等矩阵 4 A可经过有限次初等变换化为E 证明1 1 2 易证明 见书上证明 2 3 因为A E 再由矩阵 那么 把E变为A的初等变换 即有 等价的对称性 有E A 所对应的初等矩阵为 所以 3 4 由 有 由于 仍是初等矩阵 上式说明对A 实施有限次初等行变换可化为E 列的情形类似可得 4 1 设A可经有限次初等行变换可化为E 则存在初等矩阵 使 由于 初等矩阵 可逆 所以A可逆 证毕 分析 A可逆 上式表明 若
2、 则A可逆 且X即为 AX B的解X A 1B 特别 若 即如何求X A 1B 给定n阶可逆方阵A及n s阶矩阵B 如何解AX B 即有 例1 设 试用初等变换法求 解 所以 例2 设 问B是否可逆 解法1 若可逆 求其逆阵B 1 可见B不可逆 B不可逆 一 二两行相同 解法2 利用 A可逆 A 例3 求解 解 原方程变形为 可见A E可逆 且 注 若要求 思考 设A B可逆 如何解矩阵方程AXB C 方法一 方法二 内容小结 1 矩阵的初等变换与初等矩阵 2 用初等变换法求矩阵的逆 作业P64 25 1 2 注意 初等矩阵可逆 其逆矩阵为同类型初等矩阵 用初等矩阵右乘A 对A作列变换 3 用初等变换法求AX B的解X A 1B 4 与任意矩阵A等价的三种简单矩阵 解YA C转化为解 用初等矩阵左乘A 对A作行变换
