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1、2020年新高考数学自学检测黄金（03）卷 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，若，则实数的取值范围为ABCD【答案】D【解析】由，
2、得，若，则故答案为D2“C5”是“点(2，1)到直线3x4yC0的距离为3”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意知点到直线的距离为等价于，解得或，所以“”是“点到直线的距离为”的充分不必要条件，故选B.3已知随机变量服从正态分布，则（ ）A B C D 【答案】C【解析】正态曲线的对称轴是，,若XN(，2)，有P(X)0682 6，P(2X2)0954 4，P(3X3)0997 4，所以，所以,故选C4一个物体的位移(米)与时间(秒)的关系为，则该物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A6米/秒B5米/秒C4米/秒D3米/秒【答案】C【解析】由
3、题意，物体的位移(米)与时间(秒)的关系为，则，当时，即3秒末的瞬时速度为4米/秒，故选C5将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到的函数图象关于轴对称，则的值可以是（ ）ABCD【答案】C【解析】函数的图象沿轴向右平移个单位后的解析式是，若函数图象关于轴对称，当时，解得： ， 当时，.故选：C6已知函数.若没有零点，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】当时，令则恒成立，无解，即无零点。故选：A。7若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A B1CD2【答案】C【解析】因为点P是曲线yx2ln x上任意一点，所以当点P处的切线和直线yx2平行时，点P到
4、直线yx2的距离最小因为直线yx2的斜率等于1，曲线yx2ln x的导数y2x，令y1，可得x1或x (舍去)，所以在曲线yx2ln x上与直线yx2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P到直线yx2的最小距离为，故选：C.8已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所以函数在上为减函数. 由得.解得.故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9四边形内接于圆，下列结论正确的有
5、（ ）A四边形为梯形B圆的直径为7C四边形的面积为D的三边长度可以构成一个等差数列【答案】ACD【解析】可证显然不平行即四边形为梯形，故正确；在中由余弦定理可得圆的直径不可能是，故错误；在中由余弦定理可得解得或（舍去）故正确；在中，满足的三边长度可以构成一个等差数列，故正确；故选：10我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）A为等比数列BC 轴，且D四边形的内切圆过焦点【答案】BD【解析】，对于：为等比数列则不满足条件，故错误；对于：即解得或（舍去）满足条件故正确；对于： 轴，且即解得不满足题意，故错误；
6、对于：四边形的内切圆过焦点即四边形的内切圆的半径为，解得（舍去）或故正确故选：11如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （ ）A直线平面B三棱锥的体积为定值C异面直线与所成角的取值范围是D直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】对于选项A,连接,由正方体可得,且平面,则,所以平面,故；同理,连接,易证得,则平面,故A正确；对于选项B,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确；对于选项C,当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为,故C错误；对于选项D,因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所
7、成角的余弦值最大,则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1,在中,故D正确故选：ABD12已知函数是偶函数，且，若，则下列说法正确的是（ ）A函数是偶函数B10是函数的一个周期C对任意的，都有D函数的图象关于直线对称【答案】BCD【解析】函数是偶函数，且，即，10是函数的一个周期，B对；又是偶函数，且，函数是奇函数，A错；，又，故C对；是偶函数，且，又，函数的图象关于直线对称，D对；故选：BCD3、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13在三角形中，点是线段的中点，则_.【答案】【解析】因为，故，化简得到，故为直角三角形且为斜边.又，故，因为为斜边上的中线，故.故答案为：.14已知数列
8、满足，则_.【答案】4【解析】因为，所以，即数列是以2为公比的等比数列，所以.故答案为：4.15在直角三角形ABC中，点D是斜边AB上的点，且满足，设，则，满足的相等关系式是_ ；三角形ABC面积的最小值是_【答案】， 2【解析】作，面积最小值为216如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为_；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为_ 【答案】 【解析】（1）因为，所以该六面体的表面积为.（2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，每个三角形面积是，六面体体积是正四面体的2倍，
9、所以六面体体积是.由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为，所以，所以球的体积.故答案为： ；.4、 解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分10分）已知数列满足：，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）令当时，当时，当时，满足，所以的通项公式为（2）由（1）得由减去得所以的前n项和18（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点、分别在线段、上，且，其中，连接，延长与的延长线交于点，连接（）求证
10、：平面；（）若时，求二面角的正弦值；（）若直线与平面所成角的正弦值为时，求值【答案】（）证明见解析；（）；（）.【解析】（）在线段上取一点，使得，且，且，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（）以为坐标原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，0，0，2，2，0，1，0，设平面的一个法向量为，令，设平面的一个法向量为，令，二面角的正弦值为（）令，设平面的一个法向量为，令，由题意可得：，19（本小题满分12分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12,a,a (0a1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率P(=i)(i=0，1，2，3)中,
11、若P(=1)的值最大, 求实数a的取值范围.【答案】（1）4a+12，的分布列为0123P12(1a)212(1a2)12(2aa2)a22（2）(0,12【解析】(1)P()是“个人命中，3个人未命中”的概率其中的可能取值为0、1、2、3.P(0)C10 (112) C20(1a)212(1a)2；P(1)C1112 C20(1a)2C10 (112) C21a(1a)12(1a2)；P(2)C1112 C21a(1a)C10 (112) C22a212(2aa2)；P(3)C1112 C22a2a22.所以的分布列为0123P12(1a)212(1a2)12(2aa2)a22的数学期望为E
12、()012(1a)2112(1a2)212(2aa2)3a224a+12.(2)P(1)P(0)12(1a2)(1a)2a(1a)；P(1)P(2)12(1a2)(2aa2)12a2；P(1)P(3)12(1a2)a212a22.由a(1a)0,12a20,12a220和0a1，得0a12，即a的取值范围是(0,12.20（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求A和B的大小；若M，N是边AB上的点，求的面积的最小值【答案】（1），（2）【解析】，由正弦定理得：，可得，即;,由由余弦定理可得：，如图所示:设，,在中由正弦定理,得,由可知,所以:,同理,由于,故，此时故的面积的最小值为21（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线（0）交与M,N两点，（）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由.【答案】（）或（）存在【解析】（）由题设可得，或，.，故在=处的导数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的导数值为-，C在处的切线方程为，即.故所求切线方程为或.（）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为复合题意得点，直线PM，PN
