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1、2020年度挑战中考数学压轴题八大类型综合强化训练第一部分压轴题强化训练题专题训练一等腰三角形的存在性问题针对训练1、如图在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为（3,4），点P是x轴正半轴上的一个动点，如果DOP是等腰三角形，求点P的坐标解析：因为D（3,4），所以CD=5，cosDOP= 如图1，当PD=PO时，作PEOD于E.在RtOPE中，cosDOP=，CE=，所以OP=此时点P的坐标为（，0） 如图2，当OP=O=5时，点P的坐标为（5,0） 如图3，当DO=DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为（6,0）拓展：直接写出以OD为边的等腰三角形在坐标轴上的顶点坐标2、如
2、图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时停止运动在P、Q两点移动过程中，当PQC为等腰三角形时，求时间t解析：在RtABC中，AC=.因此cosACB=，在PQC中CQ=4， CP=10-2t 如图1.当CP=CQ时，t=10-2t，解得t=10（秒） 如图2，当QP=QC时，过点Q作QMAC于M，则CM=PC=5-t在RQMC中，cosQCM=，解得t=（秒） 如图3，当PQ=PC时过点P作PNBC于N，则CN=C=t，在RtQMC中，cosPC
3、N=，解得t=（秒）综上：当t为秒，秒，秒时，PQC为等腰三角形3、如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果APQ是等腰三角形，求点P的坐标解析：由y=2x+2得A（-1,0）、B（O，2）。所以OA=1，OB=2如图，由AOBQOP得，OP:OQ=OB:OA=2:1设点Q的坐标为（0，m），那么点P的坐标为（2m，0）因此AP2=（2m+1）2，AQ2=m2+1PQ2=m2+(2m)2=5m2 当AP=AQ时，AP2=AQ2，解方程（2m+1）2=m2+1，得m=0或m=-.所以符合条件的点P不存在 当PA=
4、PQ时，PA2=PQ2，解方程（2m+1）2=5m2，得m=2.所以P（4+2,0）当QA=QP时，QA2=QP2，解方程m2+1=5m2，得m=.所以P（1，O）4、如图，在ABC中，AB=AC=10，BC=16，DE=4.动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止过点E作EFAC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），连结DF，设运动的时间为t秒（t0）（1）直接写出线段BE、EF的长（用含t的代数式表示）（2）在整个运动过程中，DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由解析：（1）BE=t+4，EF=
5、（t+4）（2）DEF中，DEF=C是确定的 如图1，当DE=DF时，即解得 如图2，当ED=EF时，4=（t+4）。解得t= 如图当FD=FE时，即，解得t=0，即D与B重合5、如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=16，BC=12.点E在射线BC上，点F在线段BD上且DEF=ADB.设EE=x，当DEF为等腰三角形时，求x的值解析：如图1，在RtABD中，AB=16，AD=12，所以BD=20，cosADB=如图2，由DEF=ADB=DBE，EDF=BDE，得DEFDBE所以当DEF是等腰三角形时，DBE也是等腰三角形。在DBE中，cosDBE=，BD=20，BE=x.分三种情况讨论： 如
6、图3.当BE=BD时，x=BE=20 如图4，当DB=DE时，点D在BE的垂直平分线上，所以x=BE=2BC=24 如图5，当EB=ED时，BD=BE，所以20=BE，此时x=BE=6、如图，在等腰直角三角形BCE中，斜边BC=4.P是BE延长线上一点，连结PC，以FC为直角边向下方作等腰直角三角形PCD，（D交线段BE于点F.若PE=x，当BDF为等腰三角形时，求x的值解析：在等腰直角三角形BCE中，斜边BC=4，所以BE=CE=4如图1、因为CBE与CDP均是等腰直角三角形，所以CBECDP所以,如图2，因为BCD=ECP，所以BCDECP所以BDC=EPC，CBD=CEP=90所以FBD
7、=CBP=45，所以BDFBPC（如图3所示）所以当BDF是等腰三角形时，BPC也是等腰三角形，分三种情况讨论 如图4，当BP=BC=4时，x=PE=4-4 如图5，当CP=CB=4时，BCP是等腰直角三角形，CE是斜边上的高此时x=PE=4 如图6，当PB=PC时，P、E重合，B、D重合，BDF不存在真题演练7、（19攀枝花24）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（0,2），动点P在y=32x的图象上运动（不与O重合），连结AP.过点P作RQAP，交x轴于点Q，连结AQ（1）求线段AP长度的取值范围（2）试问：点P运动的过程中，QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由（3
8、）当OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标作图区爾区解析：（1）如图1，作AHOP于点H由直线OP的斜率k=，得直线l与x轴的夹角为30，所以AOH=60，在RtAOH中，AO=2，AOH=60，故AH=，所以AP（2）QAP为定值。理由如下：如图2，过点P构造矩形AOMN，得到ANPPMQ所以，因为AN=OM，所以=tanPOM=tan30，由题意可知QAP为锐角，所以QAP=30，为定值（3）当点Q在x轴的正半轴上时，分三种情况讨论当PO=PQ时，OPQ=12090，所以这种情况不存在如图3，当QP=QO时，RtAOQRtAPQ所以OAQ=PAQ=30，在RtAOQ中，AO=2，OAQ=30，
9、所以OQ=故Q（,0） 如图4，当OQ=OP时，OPQ=OQP=75.所以OPA=15。作AGx轴交OP于点G，有AGO=PQ=30在RtOAG中，OA=2，AGO=30，所以AG=2，OG=4，在AGP中，GAP=OPA=15，所以GP=MG=2。所以OQ=OP=OG+GP=4+2，故Q（4+2,0）当点Q在x轴的负半轴上时，分三种情况讨论 当QO=QP时，QPO=15090，所以这种情况不存在 如图5，当OQ=OP时，OQP=OPQ=15，所以AQO=75，QAO=15，作AQ的垂直平分线交OA于点E，连结QE，得QE=AE在RtQEO中，QEO=30，设QQ=m，则QE=AE=2m,OE
10、=m，由OA=OE+AE=m+2m=2，解得m=4-2，所以Q（2-4,0）1. 第7题图57题图6 如图6，当PQ=PO时，OQP=QOP=30.所以OQA=30在RtAOQ中，OA=2，OQA=30，所以OQ=2，故Q（-2,0）8、（18重庆卷2）抛物线y=与x轴交于点A、B点A在点B的左边与y轴交于点C，点D是该拋物线的顶点（1）如图1，连结CD求线段CD的长（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PFx轴于点F,PF与线段AC交于点E将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形POB1C的周长的最小值，并求出对应的点O的坐标（3）如图
11、3，点H是线段AB的中点，连结CH，将OBC沿直线CH翻折至OB2C的位置，再将OBC绕点B2旋转一周，在旋转的过程中，点O、C的对应点分别是点O、C，直线C1分别与直线AC、x轴交于点M、N.那么，在OB2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直按写出所有符合条件的线段OM的长；若不存在，请说明理由解析：由=，得A（-3,0），B（,0），、C（0，），D（-，），所以CD=（2）第一步，求PE+EC的值最大时点P的坐标由A（-3,0）、C（0，），得直线AC的解析式为y=，C4O=30，如图1设P（x、），E（x，）过点E作EEy轴，那么CE=
12、,CE=那么PE+EC=（）-（）-=当x=-2时，PE+EC取得最大值，此时P（-2,），PCx轴第二步，求四边形PO1B1C的周长的最小值如图2，在四边形PO1B1C中，PC=2，O1B1=，当PO1+B1C最小时，四边形PO1B1C的周长也最小将PO1向右平移，使得点O1与点B1重合，得到线段PB1.设点C关于x轴的对称点为C，所以当点B1落在线段PC上时，PB1+B1C最小。此时PO1+B1C也最小，四边形PO1B1C的周长也最小（如图3所示）。由PC=，CC=2，得PC=，所以四边形PO1B1C的周长的最小值为3+。此时B1O=PC=，所以O1O=O1B1+B1O=，所以O1（-，0
13、）（3）符合条件的线段O2M的长分别为，2-或2+。思路如下：如图4，OBC、AOC和ABC都是含30角的直角三角形，AB=4，CH是RtABC斜边上的中线，AH=CH=2如图5，四边形B2AHC是含60角的菱形，边长为2，O2是对角线AC与B2H的交点，所以B2O2=，O2A=O2C=在MAN中，MAN=30保持不变。我们绕点B2逆时针旋转O2B2C. 如图6，旋转30时，NA=MN.此时MM=AB2=2所以O2M=2- 如图7，旋转120时，MA=MN此时点M与点C重合，O2M= 如图8，旋转210时，NA=NM.此时四边形B2C1MA是边长为2的菱形此时O2M=2+ 如图9，旋转300时
14、，MA=MN.此时点N与点H重合,此时点M是等边三角形B2AH的中心，O2M=-公式接口：付费公式未能识别-9、（19湖州23）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l分别交x轴和y轴于点A（-3,0）B(0,3)（1）如图1，已知P经过点O，且与直线l1相切于点B，求P的直径长（2）如图2，已知直线l1：y=3x-3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的个动点，以Q为圆心，为半径画圆当点Q与点C重合时，求证：直线l1与Q相切；设Q与直线l1相交于M、N两点，连结QM、QN.问：是否存在这样的点Q，使得QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由10、（17广东25）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C（,0），点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD.作DEDB，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF（1）填空：点B的坐标为 （2）是否存在这样的点D，使得DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由（3）求证：设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用的结论），并求的最小值e（19湖州23）已知在平面直角坐标系xO中，直线l分别交x轴和y轴于点A（-3,0）解析：（1）（2）存在理由：
