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1、学 海 无 涯 几何画板迭代全解 佛山市南海区石门中学 谢辅炬 目目 录录 迭代的基本概念以及迭代的基本操作 迭代的概念 迭代在代数 几何中的应用 画正多边形 数列的图像 前 n 项和与积 迭代与分形几何 Sierpinski 三角形 Sierpinski 地毯 摇曳的 Pythagorean Tree 毕达哥拉斯树 分形树 KOCH 曲线 KOCH Snowflake 柯克雪花 数学之美 H 迭代 蜂巢 其它分形欣赏 函数迭代 函数映射 M 集 朱丽亚集 迭代法求方程解 MIRA Henon Attractor Mandelbrot 集合 Julia Sets 集合 牛顿迭代法 下期预告 学
2、 海 无 涯 第一章 迭代的概念和操作第一章 迭代的概念和操作 迭代是几何画板中一个很有趣的功能 它相当于程序设计的递归算法 通 俗的讲就是用自身的结构来描述自身 最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下 的定义 1 1 1 2 nnn nnn 递归算法的特点是书写简单 容易理解 但 是运算消耗内存较大 我们先来了解下面这几个最基本的概念 迭代迭代 按一定的迭代规则 从原象到初象的反复映射过程 原象原象 产生迭代序列的初始对象 通常称为 种子 初象初象 原象经过一系列变换操作而得到的象 与原象是相对概念 更具体一点 在代数学中 如计算数列 1 3 5 7 9 的第 n 项 我们 知道 1 2 nn
3、 aa 所以迭代的规则就是后一项等于前一项加 2 以 1 作为原像 3 作为初像 迭代一次后得到 5 再迭代一次得到 7 如此下去得到以下数值序 列 7 9 11 13 15 如图 1 1 所示 图 1 1 图 1 2 在几何学中 迭代使一组对象产生一组新的对象 图 1 2 中 A B C D E F G 各点相距 1cm 那么怎么由 A 点和 B 点得到其它各点呢 我们可以 发现其中的规律就是从左到右 每一个点相当于前面一个点向右平移了 1cm 所 以我们以 A 点作为原像 B 点作为初像 迭代一次得到 B 点 二次为 C 点 以 此类推 所以 迭代像迭代像就是迭代操作产生的象的序列 而迭代
4、深度迭代深度是指迭代的次数 那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念 几何画板中迭代的控制方式分为两种 一种是没有参数的迭代 另一种是 带参数的迭代 我们称为深度迭代深度迭代 两者没有本质的不同 但前者需要手动改变 迭代的深度 后者可通过修改参数的值来改变迭代深度 我们先通过画圆的正 n 学 海 无 涯 边形这个例子来看一下它们的区别 例 1 画圆的内接正 7 边形 分析 由正 7 边形的特征 我们知道 每一个点都相当于前面的点逆时 针旋转 360 7 抓住这个规律 我们可以用迭代功能来解决 步骤 1 新建圆 O 在圆 O 上任取一点 A 2 双击圆心 O 作为旋转中心 选中 A
5、点 单击菜单 变换 缩放 旋转 参数选为选择固定角度 然后在框中输入 360 7 得到 B 点 连接线段 AB 第 2 步 第 3 步 3 选择 A 点 单击 变换 迭代 点击 B 点作为初像 屏幕上显示出迭 代的像是正 7 边形的 4 条边 因为系统默认非深度迭代的迭代次数是 3 次 4 单击迭代框的 显示 按钮 选择 增加迭代 或者按键盘的 或 增加三次迭代后 我们可以看到一个完整的正 7 边形 此时 的迭代次数为 6 次 正 7 边形制作完成 第 4 步 第 5 步 5 单击迭代框的 显示 按钮 最终迭代 得到的图像仅是最后一条边 6 点击迭代框 结构 按钮 我们可以设置创建的对象 选择
6、 仅没有点 学 海 无 涯 的对象 则迭代的像只有正多边形的各条边 而没有顶点 反之则有 选择迭代像 我们可以修改他们的属性 比如颜色和粗细等 但是细心的 你会发现 线段的迭代像是不能够度量其长度的 当然也就不能取中点之类的操 作 迭代的点是不能够度量他们的横纵坐标 但是我们可以得到迭代的终点迭代的终点 方 法是选择迭代的点 然后单击 变换 终点 可以发现最后的那个点变成实点 了 这个功能在函数映射里面会用到 上述方法在增加后减少迭代次数时比较麻烦 而且迭代规则限定了 即每 次都是旋转同样的角度 迭代次数和迭代规则能不能用带参数来控制呢 可以 的 这就是深度迭代 例 2 画圆的任意 n 边形
7、步骤 1 新建圆 O 并在圆上任取一点 A 双击圆心 O 作为旋转中心 2 新建参数 n 7 计算 360 n 注意这时要带单位 度 3 选择 A 点 单击菜单 变换 旋转 出现旋转对话框 单击计算结果 360 n 作为标记角度 得到 B 点 连接线段 AB 第 3 步 第 4 步 4 顺次选择点 A 和参数 n 按住 shift 键不放 单击 变换 深度迭 代 I 出现迭代对话框 单击 B 点作为初像 屏幕上显示出完整的正 7 学 海 无 涯 边形 按 迭代 完成操作 5 如何改变参数 n 呢 有两种方法 第一种是双击参数 n 然后在对话框 中输入值 第二种是单击参数 n 按键盘的 系统默认
8、变 化量为 1 右键单击可以修改变化量的大小 注意注意 迭代时 作为迭代深度的参数 n 一定要在最后面选择 这是系统的 规定 上面讲的都是迭代在几何方面的应用 下面我们来看看用迭代在画数列 图像和数列求和方面的应用 例 3 求数列1 2 n n a n 1 2 的图前 8 项 并在平面上画出 散点 n n a 分析 由数列的表达式可知 n n a是直线 y 1 0 5x 上面的点 我们 要产生两个数列 一个是作为横坐标的数列 1 2 3 一个是作为纵 坐标的满足上述通项公式的数列 步骤 1 新建函数 y 1 0 5x 2 新建参数 a 1 计算 a 1 a 1 1 f a f a 1 计算 a
9、 1 1 是为了得到 f a 对应的横坐标 a 因为迭代次数为 0 的时 候 f a 1 5 a 的值在迭代数据表中是不会显示出来的 3 新建参数 n 7 作为迭代深度 4 选择 a 和 n 做深度迭代 原像是 a 初像是 a 1 学 海 无 涯 5 右键点击数据表 选择 绘制表中记录 设置 x 列变量为 a 1 1 y 列为 f a 坐标系为直角坐标系 第 5 步 第 6 步 6 点击绘图 得到散点 这些点是可以度量的 但是当参数 n 改变的时候 这些点不与数据表同步 所以是不会改变的 例 4 求数列 1 3 5 7 9 n 1 2 的前 n 项和 分析 公差为 d 假设前 n 项和为 n
10、S 111 1 nnnn SSaSand 在平面上描出 n n S 步骤 1 新建参数 x 1 计算 x 1 2 新建参数 a 1 d 2 分别表示数列首项和公差 3 新建参数 s 1 计算 s a x d 4 选择 x x 1 s s a x d 和 n 做深度迭代 绘制数据表 x 列为 x 1 y 列为 s a x d 学 海 无 涯 第 4 步 第 4 步 与此同理那么等比数列的制作也是一样的 下面我们来看看通项公式不知 道的数列怎么画出其图像 例 4 画出菲波拉契数列 1212 1 1 nnn aaaaa 分析 数列的前提条件是 12 1 1aa 因为 12nnn aaa 所以原像是
11、12 a a 初像是 23 a a 步骤 1 新建参数 f1 0 f2 1 计算 f1 f2 把计算结果的标签改为 f3 2 新建参数 a 1 计算 a 1 计算 a 1 1 因为迭代 0 次的时候 f3 2 而 所以下标应该是 3 而 a 1 故计算 a 1 1 3 新建参数 n 8 4 依次选择 f1 f2 a1 a1 1 n 做深度迭代 第 5 步 第 6 步 5 绘制表中数据 x 列为 1 3a y 列为 3 f 6 画点 0 1 1 1 两点 作为数列的前两项 从图像可以看出 数列 前面增长的很缓慢 但是到了后面就非常的惊人了 小结 学 海 无 涯 在开始下一章 迭代与分行 之前 先
12、复习一下深度迭代的过程是 1 顺次选择原像和参数 n 注意顺序 2 按住 shift 不放 单击菜单 变换 深度迭代 出现对话框后可以松 开 shift 键 3 依次选取初像 注意顺序 添加映射的方法是按键盘 Ctrl A 第二章 迭代与分形几何第二章 迭代与分形几何 分形的特点是 整体与部分之间存在某种自相似性 整体具有多种层次结构 分形图片具有无可争议的美学感召力 特别是对于从事分形研究的科学家来说 欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识 但相对而言 分形美是通俗 易懂的 分形就在我们身边 我们身体中的血液循环管道系统 肺脏气管分岔过 程 大脑皮层 消化道 小肠绒毛等等都是分形 参天
13、大树 连绵的山脉 奔涌 的河水 漂浮的云朵等等 也都是分 形 人们对这些东西太熟悉了 当然熟悉 不等于真正理解 分形的确贴近人们的生活 因而由分形而来的分形艺术也并不 遥远 普通人也能体验分形之美 因为分形几何的迭代的原像一般不止一个 而且均为多映射迭代 为了叙述 的方便 我们先作以下两个约定 1 用 A B C 表示有顺序的两点 A B 和 C 2 A B C D E F G H I 表示 A 映射到 D B 映射到 D C 映射到 F 然后 添加映射 A 映射到 G B 映射到 H C 映射到 I 如此类推 Sierpinski 三角形 波兰著名数学家谢尔宾斯基在 1915 1916 年期
14、间 为实变函数理论构造了几 个典型的例子 这些怪物常称作 谢氏地毯 谢氏三角 谢氏海绵 谢氏 墓垛 如今 几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子 它们不但有趣 而 且有助于形象地理解分形 著名的 Sierpinski 三角形 它是很有代表性的线性分形 具有严格的自相 似特点 不断连接等边三角形的中点 挖去中间新的小三角形进行分割 随着 分割不断进行 Sierpinski 三角形总面积趋于零 总长度趋于无穷 Sierpinski 学 海 无 涯 三角形在力学上也有实用价值 Sierpinski 三角形结构节省材料 强度高 例 如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似 步骤 1 在平面上任意画一个三角形 A
15、BC 取三边中点为 D E F 连接 DEF 2 新建参数 n 3 3 顺次选择 B C A 三点和参数 n 作深度迭代 B C A D F A 4 添加新的映射 B C A B E D 第 3 步 第 4 步 5 继续添加映射 B C A E C F 6 改变参数 n 可观察图形变化 第 5 步 第 6 步 Sierpinski 地毯 和 Sierpinski 地毯相似 只是步骤多了一些 取正方形将其 9 等分 得 到 9 个小正方形 舍去中央的小正方形 保留周围 8 个小正方形 然后对每个 小正方形再 9 等分 并同样舍去中央正方形 按此规则不断细分与舍去 直至 无穷 谢尔宾斯基地毯的极限
16、图形面积趋于零 小正方形个数与其边的线段数目 学 海 无 涯 趋于无穷多 它是一个线集 图形具有严格的自相似性 步骤 1 平面上任取线段 AB 以线段 AB 构造正方形 ABCD 2 以 A 为缩放中心 B D 缩放为 1 3 得到 E F 以 D 为缩放中心 A C 缩放为 1 3 得到 G H 同理得到 I J K L 连接各点 将正方形九 等分 3 并填充中间的正方形 MNOP 度量 MNOP 的面积 选择改度量结果和填充 的正方形 单击 显示 颜色 参数 单击确定 则该 MNOP 的颜色 随它的面积变化而变化 第 2 步 第 3 步 4 新建参数 n 4 顺次选择 A B 两点和参数 n 作深度迭代 A B G P P O O J F M M N N K A E E L L B 注意迭代中点的对应 当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选 中拖动开 单击迭代 隐藏不必要的点 如果我们制作任意三角形的 Sierpinski 三角形和任意四边形的 Sierpinski 地毯 即三角形和四边形的顶点都是自由点 然后按照多面体的侧面数将他们 复制 利用画板合并点的功能 将它们 粘贴 到三棱锥和
