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1、数学物理方法 傅立叶变换 傅里叶生平 1768年生于法国1807年提出 任何周期信号都可用正弦函数的级数表示 1822年发表 热的分析理论 首次提出 任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示 傅立叶变换 傅立叶级数傅立叶变换狄拉克函数本章小结 傅立叶级数 三角级数定义由周期为2l的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数 基本函数族组成 1 cos n x l sin n x l 性质 任意两个在一个周期上的积分等于0 称为正交性 傅立叶级数 傅立叶展开傅立叶展开定理 周期为2l的函数f x 可以展开为三角级数 展开式系数为 狄利克雷收敛定理收敛条件在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 在一个
2、周期内至多只有有限个极值点 收敛结果当x是连续点时 级数收敛于该点的函数值 当x是间断点时 级数收敛于该点左右极限的平均值 其它形式的三角函数正交完备集 傅立叶级数 展开的复数形式展开公式 基本函数族 正交性 展开系数 若已知 是以 为周期的周期函数 且满足狄利 克雷条件 则可展成傅里叶级数 其中 我们将 称为 的第 次谐波 称为第 次谐波的频率 频谱 由于 其中 称为初相 称为第 次谐波的振幅 记为 即 若将傅里叶级数表示为复数形式 即 其中 恰好是 次谐 波的振幅的一半 我们称 为复振幅 显然 次谐波的振幅 与复振幅有下列关系 当取 这些数值时 相应有不同的频率 和不同的振幅 描述了各次谐
3、波的振幅随频率变化的分布情况 频谱图通常是指频率和振幅的关系图 称为函数 的振幅频谱 简称频谱 若用横坐标表示频率 纵坐标表示振幅 把点 用图形表示出来 这样的图 形就是频谱图 由于 所以频谱 不连续的 称之为离散频谱 的图形是 正弦级数和余弦级数 1 周期为2 的奇 偶函数的傅里叶级数 定理 对周期为2 的奇函数f x 其傅里叶级数为 周期为2 的偶函数f x 其傅里叶级数为余弦级数 它的傅里叶系数为 正弦级数 它的傅里叶系数为 2 在 0 上的函数展成正弦级数与余弦级数 周期延拓F x f x 在 0 上展成 周期延拓F x 余弦级数 奇延拓 偶延拓 正弦级数 f x 在 0 上展成 例1
4、 设f x 是周期为2 的周期函数 它在 上的表达式为 解 先求傅里叶系数 将f x 展成傅里叶级数 1 根据收敛定理可知 时 级数收敛于 2 傅氏级数的部分和逼近 说明 f x 的情况见右图 周期延拓 傅里叶展开 上的傅里叶级数 定义在 上的函数f x 的傅氏级数展开法 其它 例2 将函数 级数 则 解 将f x 延拓成以 展成傅里叶 2 为周期的函数F x 利用此展式可求出几个特殊的级数的和 当x 0时 f 0 0 得 说明 设 已知 又 内容小结 1 周期为2 的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中 注意 若 为间断点 则级数收敛于 2 周期为2 的奇 偶函数的傅里叶级数 奇函数 正弦级数
5、偶函数 余弦级数 3 在 0 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 展开为正弦级数 作偶周期延拓 展开为余弦级数 1 在 0 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 答 不唯一 延拓方式不同级数就不同 思考与练习 傅立叶变换 傅立叶变换的意义数学意义从一个函数空间 集合 到另一个函数空间 集合 的映射 f x 称为变换的原函数 相当于自变量 F 称为象函数 应用意义把任意函数分解为简单周期函数之和 F 的自变量为频率 函数值为对应的振幅 物理意义把一般运动分解为简谐运动的叠加 把一般电磁波 光 分解为单色电磁波 光 的叠加 物理实现分解方法 棱镜光谱仪 光栅光谱仪 记录方式 用照相底版 摄谱仪 用光电探测
6、器 光度计 傅立叶变换 非周期函数的傅立叶展开问题 把定义在 中的非周期函数f x 展开 思路 把该函数定义在 L L 中的部分展开 再令L 实施 展开公式 展开系数 困难展开系数cn为无穷小 幂指数n x L不确定 傅立叶变换 解决方法 把n L作为新变量 即定义 n n L 把cnL 作为新的展开系数 即定义F n cnL 公式的新形式 展开公式 展开系数 取极限 傅立叶变换 傅立叶积分 傅立叶变换 例题1 求矩形脉冲x t rect t 2T1 的傅立叶变换 解 傅立叶变换 例题2将矩形脉冲f t hrect t 2T 展开为傅立叶积分 解 先求出f t 的傅立叶变换 代入傅立叶积分公式
7、 得 例题3求对称指数函数f t 的傅立叶变换 傅立叶变换 傅立叶变换 傅立叶变换的性质一般假定f x F g x G 奇偶虚实性f x 为偶函数 F f x cos x dx 2 为实函数 f x 为奇函数 F i f x sin x dx 2 为虚函数线性性质kf x kF f x g x F G 分析性质f x i F 傅立叶变换 位移性质f x a exp i a F exp i x f x F 相似性质f ax F a a f x b b F b 卷积性质f x g x f g x d 2 F G f x g x F G F G d 对称性质正变换与逆变换具有某种对称性 适当调整定义
8、中的系数后 可以使对称性更加明显 傅立叶变换 应用举例 傅立叶变换 推广推广1问题 把定义在 0 上的函数f t 展开 方法 先把它延拓为 上的奇函数或偶函数 再按公式进行傅立叶变换 注意 偶函数满足条件f 0 0 形式为f t 奇函数满足条件f 0 0 形式为sgn t f t 结果 所得到的傅立叶积分仅在原定义范围中与f t 一致 傅立叶变换 推广2问题 多元函数的傅立叶变换公式 狄拉克函数 概念问题质点的密度函数如何表示 思路质点是物体在尺度趋于零时的理想模型 一个位于原点的单位质点 可以看成一个线密度为hrect hx 的物体在宽度d 1 h趋向零时的极限 极限密度为 x limh h
9、rect hx 一般定义 狄拉克函数 狄拉克函数 性质奇偶性质 x x x x 分析性质 选择性质 f x x a dx f a f x x a dx f a 变换性质 狄拉克函数 狄拉克函数的应用描述功能位于x a处质量为m的质点 质量线密度为m x a 位于x a处电量为q的点电荷 电荷线密度为q x a 位于t a时刻强度为I的脉冲信号 信号函数为I t a 分解功能质量密度为 x 的物体 可分解为质点的空间叠加 x a a x da电荷密度为 x 的带电体 可分解为点电荷的空间叠加 x a a x da信号函数为 t 的信号 可分解为脉冲信号的时间叠加 t a a t da 狄拉克函数
10、 狄拉克函数的推广问题 三维空间中的质点的密度 点电荷的电荷密度 三维狄拉克函数 r x y z x y z 应用位于r a处质量为m的质点 质量体密度为m r a 位于r a处电量为q的点电荷 电荷体密度为q r a 本章小结 傅立叶级数周期函数的三角展开公式 基本三角函数的性质 傅立叶变换非周期函数的三角展开公式 傅立叶变换的性质 狄拉克函数狄拉克函数概念 狄拉克函数性质 狄拉克函数应用 本章作业 例3 设 的表达式为f x x 将f x 展成傅里叶级数 是周期为2 的周期函数 它在 解 若不计 周期为2 的奇函数 因此 n 1 根据收敛定理可得f x 的正弦级数 级数的部分和 n 2 n 3 n 4 逼近f x 的情况见右图 n 5 例4 将周期函数 展成傅里叶级数 其 中E为正常数 解 是周期为2 的 周期偶函数 因此 例5 将函数 分别展成正弦级 数与余弦级数 解 先求正弦级数 去掉端点 将f x 作奇周期延拓 注意 在端点x 0 级数的和为0 与给定函数 因此得 f x x 1的值不同 再求余弦级数 将 则有 作偶周期延拓 说明 令x 0可得 即
