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1、领航高一数学必修二解析几何初步领航圆与方程的知识点及题型一、圆的方程（一）圆的标准方程，圆心为（a，b），半径为r1、求标准方程的方法关键是求出圆心和半径待定系数：往往已知圆上三点坐标利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 与轴相切 与轴相切 与两坐标轴都相切 （二）圆的一般方程1、表示圆方程则(1) 当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.(2)
2、当时，方程表示一个点.(3) 当时，方程不表示任何图形.2、求圆的一般方程一般可采用待定系数法或者利用圆的几何性质结合图形分析3、常可用来求有关参数的范围（三）点与圆的关系1、设点到圆心的距离为d，圆半径为r： a、点在圆内 dr b、点在圆上 d=r c、点在圆外 dr2、 给定点及圆. 在圆内 在圆上 在圆外对应训练（求圆的方程）1、过点A(1，1)，B(1，1)且圆心在直线xy20上的圆的方程是 2、若表示圆，则的取值范围是 3、以点为圆心且与直线相切的圆的方程为 4、圆心在直线yx上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为 5、以点C(2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是 6、求经过A
3、(4，2)，B(1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 7、求经过点(8，3)，并且和直线x6与x10都相切的圆的方程 8、点在圆的内部，则的取值范围是 9、过点,且圆心在直线上的圆的方程 10、若直线与两坐标轴交点为A,B,则以线段为直径的圆的方程是 11、（2016年天津高考）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为 二、直线与圆的位置关系1、直线与圆 圆心到直线的距离1）；2）；3）；弦长|AB|=2还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当时，直线与圆有2个交点，直线与圆相交；（2）当时，直线与圆只
4、有1个交点，直线与圆相切；（3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；2、直线与圆相切（1）常见题型求过定点的切线方程切线条数点在圆外两条；点在圆上一条；点在圆内无求切线方程的方法及注意点i）点在圆外如定点，圆：，第一步：设切线方程第二步：通过，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上千万不要漏了！例：过点作圆的切线，则切线方程 ii）点在圆上若点在圆上，则切线方程为会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.若点在圆上，则切线方程为碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果。若点在圆上，则切线方程为 由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常
5、重要的第一步就是判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.求切线长：利用基本图形，求切点坐标：利用两个关系列出两个方程3、直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理及勾股定理常用弦长公式：（暂作了解，无需掌握）（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：1、若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是_. 答案：2、已知圆，当为 时，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1。3、已知圆，当为 时，圆上恰有1个点到直线的距离都等于1。4、已知圆，当为 时，圆上恰有2个点到直线的距离都等于1。5、已知圆，当为 时，圆上恰有4个点
6、到直线的距离都等于1。对应训练（直线与圆的关系）1、以点(3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是 2、若直线xym0与圆x2y2m相切，则m为 3、直线与圆没有公共点，则的取值范围是 4、过坐标原点且与圆相切的直线方程为 5、直线过点，与圆有两个交点时，斜率的取值范围是 6、设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则 .7、设圆x2y24x50的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是 8、求过点P（6，4）且被圆截得长为的弦所在的直线方程 9、（2016全国高考新课标卷文数6）圆的圆心到直线的距离为1，则 10、（2016全国高考新课标卷 文数15T）设直线与圆相交于两点，若，则圆C的面积
7、为 11、（2016全国高考新课标卷文数15T）已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则_12、（2016全国高考新课标卷理数16T）已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则_.13、（2016年北京高考）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 14、已知圆,Q是轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A，B两点（1）若点Q的坐标为（1,0），求切线QA、QB的方程 (2)求四边形QAMB的面积的最小值； (3)若，求直线MQ的方程.三、对称问题1、若圆，关于直线，则实数的值为_.2、已知点是圆:上任意一点，点关于直线的对称点在圆上，则实数_.3、圆关
8、于直线对称的曲线方程是_.4、已知圆：与圆：关于直线对称，则直线的方程为_.5、圆关于点对称的曲线方程是_.6、圆x2+y2+x6y+3=0上两点P、Q关于直线kxy+4=0对称，则k=_.7、设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OPOQ，则m的值 ，直线PQ的方程 四、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1、已知实数，满足方程，求：（1）的最大值和最小值为 （2）的最小值为 （3）的最大值和最小值分别为 2、圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 3、已知，点在圆上运动，则的最小值是 .4、设
9、P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x4y10=0的距离的最小值为_5、若点在直线上,直线分别切圆于两点,则四边形面积的最小值为 6、动点P在直线2x+y=0上运动，过P作圆（x-3）2+（y-4）2=4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为 7、已知点B（2,3），圆C：（x-3）2+（y-4）2=9，若点A是圆C上一动点，点P是x轴上的一动点，则|PA|+|PB|的最小值是 .8、若直线（，），始终平分圆的周长，则的最大值是_.9、【2014年江西卷（理09）】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为 五、圆的参数方程，为参数，为参数六
10、、圆与圆的位置关系1、判断方法：几何法（为圆心距）（1）外离 （2）外切（3）相交 （4）内切（5）内含2、两圆公共弦所在直线方程圆：，圆：，则为两相交圆公共弦方程.补充说明：若与相切，则表示其中一条公切线方程；若与相离，则表示连心线的中垂线方程.3、圆系问题（1）过两圆：和：交点的圆系方程为（）说明：上述圆系不包括；当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线与圆交点的圆系方程为（3）两圆公切线的条数问题相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；相离时，有四条公切线对应训练（圆与圆的位置关系）1、两个圆C1：x2y22x2y20与C2：x2y24x2y10
11、的位置关系为 2、圆x2y22x50与圆x2y22x4y40的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是 3、圆x2y22x0和圆x2y24y0的公切线有且仅有 条4、两圆x2y21和(x4)2(ya)225相切，试确定常数a的值 5、两圆x2+y24x+6y=0和x2+y26x=0的连心线方程为 6、求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程为 7、求半径为4，与圆x2y24x2y4=0相切且和直线y=0相切的圆的方程 七、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式轨迹方程.（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动 动点 主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.对应训练（求动点的轨迹方程）1、过圆外一点作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程 2、如图，已知定点，点是圆上的动点，的平分线交于，当点在圆上移动时，求动点的轨迹方程.3、已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程。八、综合题1、2014全国新课标卷 已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积2、【2015高考
