《学生版 第七讲因数与倍数(公因数和公倍数(二)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《学生版 第七讲因数与倍数(公因数和公倍数(二)(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第七讲 因数与倍数(公因数和公倍数(二)【知识概述】这一讲我们主要介绍最小公倍数与最大公约数之间的关系。定理一:两个自然数分别除以它们的最大公因数,所得的商互质,即:如果(a,b)=d,那么(ad,bd)=1。定理二:两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。即a,b(a,b)=ab。定理三:两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。例题精学例1 两个数的最大公因数是4,最小公倍数是252,其中一个数是28,另一个数是多少?【思路点拨】设一个数为A,得短除式如下:显然,7和a互质,否则4就不是最大公因数,那么252=47a,a=9,A=49=36。另外,我们可以根据定理:a,
2、b(a,b)=ab。求得425228=36。同步精练1. 某数与24的最大公因数是4,最小公倍数是168,这个数是多少?2. 甲数和乙数的最大公因数是6,最小公倍数是90,且小数不能整除大数,求这两个数。3. 四个连续奇数的最小公倍数为6435,这四个奇数中最大的一个为多少?例2 两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,求这两个数的差。【思路点拨】若(A,B)=d,可以假设A=ad,B=bd,那么a和b互质,即(a,b)=1。在本题中,由于已知两数的最大公因数为5,故可设一个数为5a,另一个数为5b,(a,b)=1。又因为这两个数的和为50,这样可以得到5a+5b=50,5(a+b)=50
3、,a+b=10。根据a与b互质,我们不难得到a=1,b=9或a=3,b=7。这样可以求出这两个数是53=15和57=35或51=5或59=45。它们的差也就好求了。同步精练1. 两个自然数的和是56,它们的最大公因数是7,求这两个数。2. 已知两个自然数的积是5766,它们的最大公因数是31,求这两个数。3. 两个数的和是70,它们的最大公因数是7,求这两个数的差是多少。例3 两个数的最大公因数为21,最小公倍数为126,求这两个数的和。【思路点拨】已知两个数的最大公因数是21,最小公倍数是126,要求这两个数,可以根据“两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”先求出这两个数的
4、乘积,再把这个积分解成两个数。再求两个数的和。设这两个数为A和B,根据题意:(a与b互质)ab=12621=6=16=23同步精练1. 两个自然数的最大公因数是7,最小公倍数是210,这两个数的和是77。求这两个数。2. 两个数的最大公因数是12,最小公倍数是72,这两个数的和是多少?3. 两个数的最大公因数是18,最小公倍数是180,两个数的差是54,求这两个数的和。例4 两个自然数的和是54,它们的最小公倍数与最大公因数的差是114,求这两个自然数。【思路点拨】设两个自然数为A,B,且AB。m是两个数的最大公因数,a与b互质。根据条件可得:abm-m=114,am+bm=54。化简后得 (
5、114,54)=6。因为6的因数有1,2,3,6,所以m可能是1,2,3,6。如果m=1,那么a+b=54,ab=115。115=1115=523,且1+115=11654,5+23=2854,所以m不可能是1。如果m=2,那么a+b=27,ab=58。58=158=229,且1+58=59/27,2+29=31/27,所以加不可能是2。如果m=3,那么a+b=18,ab=39。39=139=313,且1+39=40/18,3+13=16-18,所以m不可能是3。如果m=6,那么a+b=9,ab=20。20=45,且4+5=9,所以m=6。那么A=64=24,B=65=30。同步精练1. 两个
6、数的差是4,最大公因数与最小公倍数的积是252,求这两个数。2. 两个数的差是30,它们最小公倍数与最大公因数的差是450,求这两个数。3. 两个自然数的差是2,它们的最大公因数与最小公倍数之和是86,求这两个数。练习卷1. 两个数的最大公因数是60,最小公倍数是720,其中一个数是180,另一个数是多少?2. 两个自然数的最大公因数是15,最小公倍数是180,其中一个数是45,求这两个自然数的差。3. 已知两个自然数的和为165,它们的最大公因数是15,求这两个数。4. 已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。5. 两个数的最大公因数是6,最小公倍数是144,求这两个数。6. 两个不同自然数的和是60,它们的最大公因数与最小公倍数的和也是60,满足条件的自然数共有多少组?7. 两个自然数的和是60,它们的最大公因数与最小公倍数的和是84,求这两个数。8. 已知a与b,a与c的最大公因数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c。位真商跟9. 两个自然数的差是3,它们的最大公因数与最小公倍数的积是180,求这两个数。10.已知a与b,a与c,b与c的最小公倍数分别是60,90和36。问:满足此条件的a,b,c有多少组?第 6 页 共 6 页