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1、新知杯上海市初中数学竞赛试题及答案一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b，定义,ab=a(a+b) +b, 已知a2.5=28.5，则实数a的值是 。 【答案】4，2、在三角形ABC中，其中a,b是大于1的整数，则b-a= 。 【答案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。【答案】50,944、已知关于x的方程有实根，并且所有实根的乘积为2，则所有实根的平方和为 。【答案】55、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PEBC，PFCA，则线段EF长的最小值为 。【答案】6、
2、设a，b是方程的两个根，c，d是方程的两个根，则(a+ c)( b + c)( a d)( b d)的值 。【答案】27727在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。【答案】8方程xyz=2009的所有整数解有 组。【答案】729如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，ABC=78，BCD=162。设AD,BC延长线交于E ，则AEB= 。【答案】21 10、如图，在直角梯形ABCD中，ABC=BCD= 90，AB=BC=10，点M在BC上，使得ADM是正三角形，则ABM与DCM的面积和是
3、 。【答案】二、（本题15分）如图，ABC 中ACB =90，点D在CA上，使得CD=1, AD=3，并且BDC=3BAC，求BC的长。解：设BC=x，则，如图，作ABD平分线BE，则,因此。由角平分线定理可知。因此，解得三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数，其中数字c可以是0。解：设,，则，故有整数解，由于10 x 100，故y0。因此是完全平方数，可设，故，050- t50+ t之和为100，而且其中有11的倍数，只能有50t= 1或50t=45，相应得到y=1,25，代入解得因此。四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一
4、个素数，求最小的n。解：由于这14个合数都小于2009且两两互质，因此n15。而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数的最小素因子，则必有一个素数47，不失一般性设，由于是合数的最小素因子，因此，矛盾。因此，任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,与都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；证明：若(a，b)是和谐的，且是有理数，则a,b都是有理数；解：不难验证是和谐的。由已知是有理数，是有理数，因此，解得是有理数，当然b=sa也是有理数。若，则是有理数，因此也是有理数。若，由已知是有理数，也是有理数，因此，故是有理数，因此也是有理数。
