内蒙古工业大学 多媒体技术(第5章)概要1.ppt

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1、第五章小波变换和小波图像编码 小波介绍一维哈尔小波变换二维哈尔小波变换小波图像编码 5 1小波介绍 小波分析是近二十年才发展起来 并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工具 它是继一百多年前的傅立叶分析之后的一个重大突破 无论对古老的自然科学还是对新兴的高新技术应用都产生了强烈冲击 小波理论是应用数学的一个新领域 要深入理解小波理论需要到比较多的数学知识 本章企图从工程应用角度出发 用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用 为读者深入研究小波理论和应用提供一些背景材料 小波简史 傅立叶理论指出 一个信号可以表示成一系列正弦和余弦函数之和 叫做傅立叶展开式 用傅立叶展开式表示一个信号

2、时 只有频率分辫率而没有时间分辨率 这就意味我们可以确定信号中包含的所有频率 但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候 为了继承博立叶分析的优点 同时又克服它的缺点 人们一直在寻找新的方法 20世纪初 哈尔 AlfredHaar 对在函数空间中寻找一个与傅立叶基类似的基非常感兴趣 1909年他发现了小波 并被命名为哈尔小波 Haarwavelets 他最早发现和使用了小波 20世纪70年代 当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家JeanMorlet提出了小被变换 wavelettransform WT 的概念 进入20世纪80年代 法国的科学家Y Meyer和他的同事开始为此开发系统的小

3、波分析方法 Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数 他用缩放 dilations 与平移 transltions 均为2j j 0的整数 的倍数构造了L2 R 空间的规范正交基 使小波得到真正的发展 小波变换的主要算法则是由法国的科学家StephaneMallat在19884年提出 他在构造正交小波基时提出了多分辨率的概念 从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特件 提出了正交小波的构造方法和快速算法 叫做Mallat算法 该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法 它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位 InridDaubechies RonaldCoif

4、man和VictorWickerhaser等著名科学家把这个小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要的贡献 例如 InridDubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器组 filterbanks 之间的内在关系 使离散小被分析变成为现实 在信号处理中 自从S Mallat和InridDaubchies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后 小波在信号 如声音信号 图像信号等 处理中得到极其广泛的应用 小波概念 小波是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数 它的波形如图8 1 b 所示 图8 1 a 是大家所熟悉的正弦波 图8 1 b 是从许多使用比较广泛的小波中挑选出的几种一维小

5、波 1 首先把原始图象顺序分割成8 8子块 2 采样精度为P位 二进制 把 0 2P 1 范围的无符号数变换成 2P 1 2P 1 范围的有符号数 作为离散余弦正变换 FDCT 的输入 3 在输出端经离散余弦逆变换 IDCT 后又得到一系列8 8子块 需将数值范围 2P 1 2P 1 变换回 0 2P 1 来重构图象 量化的作用 在一定主观保真度图象质量前提下 丢掉那些对视觉影响不大的信息 通过量化可调节数据压缩比 在众多的小波中 选择什么样的小波对信号进行分析是一个至关重要的问题 使用的小波不同 分析得到数据也不同 这是关系到能否达到使用小波分析的目的问题 如果没有现成的小波可用 那么还需要

6、自己开发适用的小波 小波函数在时域和领域中都应该具有某种程度的平滑度 smoothness 和集中性 concentration 这个复杂的概念在数学上使用消失矩 vanishingmoments 来描述 用N表示小波的消失矩的数目 例如 Daubechies小波简写成bdN N数日的大小反映了Daubechies小波的平滑度和集中性 信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系 傅立叶变换提供了有关频率域的信息 但时间方面的局部化信息却基本丢失 与傅立叶变换不问 小波变换通过平移母小波 motherwavelet 可获得信号的时间消息 而通过缩放小波的宽度 或者叫做尺度 可获得信号的频率

7、特性 对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数 这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系 本小节将介绍小波分析中常用的3个基本概念 连续小波变换 离散小波变换和小波重构 小波分析 信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系 傅立叶变换提供了有关频率域的信息 但时间方面的局部化信息却基本丢失 与傅立叶变换不问 小波变换通过平移母小波 motherwavelet 可获得信号的时间消息 而通过缩放小波的宽度 或者叫做尺度 可获得信号的频率特性 对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数 这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系 本小节将介绍小波分析中常用的3个基本概念 连续小波变换 离散

8、小波变换和小波重构 连续小波变换 傅立叶分折是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波 因此正弦波是博立叶变换的基函数 同样 小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波 因此小波同样可以用作表示一些函数的基函数 可以说 几乎能够用傅立叶分析的函数都可以用小波分析 因此小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅入叶变换的正弦波 仔细观察图所示的正弦波和小波可以发现 用不规则的小波分析变化激烈的信号也许比用平滑的正弦波更有效 或者说对信号的基本特性描述得更好 数学上傅立叶分析的过程实际上是用傅立叶变换表示 这个式子的含义就是 傅立叶变换是信号f t 与复数指数e j

9、wt e jwt coswt jsinwt 之积在信号存在的整个期间里求和 博立叶变换的结果是傅立叶系数F w 它是频率w的函数 同样 连续小波变换 continuouswavelettransform CWT 用下式表示 这个式子的含义就是 小波变换是信号f t 与被缩放和平移的小波函数 之积在信号存在的整个期间里求和 CWT变换的结果是许多小波系数C 这些系数是缩放因子 scale 相位置 position 的函数 CWT的变换过程可分成如下5个步骤 步骤1 把小波 t 和原始信号f t 的开始部分进行比较 步骤2 计算系数C 该系数表示该部分信号与小波的近似程度 系数C的值越高表示信号与

10、小波越相似 因此系数C可以反映这种波形的相关程度 步骤3 把小波向右移 距离为k 得到的小波函数为 t k 然后重复步骤1和2 再把小波向右移 得到小波 t 2k 重复步骤1和2 按上述步骤一直进行下去 直到信号f t 结束 步骤4 扩展小波 t 例如扩展一倍 得到的小波函数为 t 2 步骤5 重复步骤1 4 小波变换完成之后得到的系数是在不同的缩放因子下由信号的不同部分产生的 这些小波系数 缩放因子和时间之间的关系和它们的含义可以用图表示 该图是用MATLAB软件绘制的 小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理解 缩放因子小 表示小波比较窄 度量的是信号细节 表示频率w比较高 相反缩放

11、因子大 表示小波比较宽 度量的是信号的粗糙程度 表示频率w比较低 离散小波变换 在计算连续小波变换时 实际上也是用离散的数据进行计算的 只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已 不难想象 连续小波变换的计算量是惊人的 为了解决计算量的问题 缩放因子和平移参数都选择2j j 0的整数 的倍数 使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换 dyadicwavelettransform 它是离散小波变换 discretewavelettransform DWT 的一种形式 从文献看 离散小波变换通常指的就是双尺度小波变换 使用离散小波分析得到的小波系数 缩放因子和时间关系如图8 5所示 图

12、8 5 a 是20世纪40年代使用Gabor开发的短时博立叶变换 shorttimeFouriertransform STFT 得到的时间 频率关系图 图8 5 b 是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换得到的时间 缩放因子 反映频率 关系图 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器 该方法是Mallat在1988年开发的 叫做Mallat算法 这种方法实际上是一种信号的分解方法 在数字信号处理中称为双通道子带编码 用滤波器执行离散小波变换的概念如图8 6所示 图中 S表示原始的输入信号 通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号 A表示信号的近似值 approximations D表示信

13、号的细节值 Detail 在许多应用中 信号的低频部分是最重要的 而高级部分起一个 添加剂 的作用 在小波分析中 近似值是大的缩放因子产生的系数 表示信号的低频分量 而细节值是小的缩放因子产生的系数 表示信号的高频分量 由此可见 离散小波变换可以表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树 原始信号通过这祥的一对滤波器进行的分解叫做一级分解 信号的分解过程可以叠代 也就是说可进行多级分解 如果对信号的高频分量不再分解 而对低频分量连续进行分解 就得到许多分辨率较低的低频分量 形成如图8 7所示的一棵比较大的树 这种树叫做小波分解树 waveletdecompositiontree 分解级数的多少

14、取决于要分析的数据和用户的需要 小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解 如果不仅对信号的低频分量进行连续分解 而且对高频分量也进行连续分解 这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量 而且也可得到许多分辨率较低的高频分量 这样分解得到的树叫做小波包分解树 waveletpacketdecompositiontree 这种树是一个完整的二进制树 图8 8表示的是一棵三级小波包分解树 小波包分解方法是小波分解的一般化 可为信号分析提供更丰富和更详细的信息 例如 小波包分解树允许信号S表示为S A1 AAD3 DAD3 DD2 顺便要提及的是 在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时 得到的数据将是

15、原始数据的两倍 例如 如果原始信号的数据样本为1000个 通过滤波之后每一个通道的数据均为1000个 总共为2000个 于是 根据尼奎斯特 Nyquist 采样定理就提出了降采样 downsampling 的方法 即在每个通道中每两个样本数据取一个 得到的离散小波变换的系数 coefficient 分别用cD和cA表示 如图8 9所示 图中的符号表示降采样 小波重构 离散小波变换可以用来分析或者叫做分解信号 这个过程叫做分解或者分析 把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构 waveletreconstruction 或者叫做合成 synthesis 数学上叫做逆离散小波变换 invers

16、ediscretewavelettransform IDWT 在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样两个过程 在小波重构时要包含升采样 upsampling 和滤波过程 小波重构的方法如图8 10所示 图中的符号表示升采样 升采样是在两个样本数据之间插入 0 目的是把信号的分量加长 升采样的过程如图8 11所示 重构过程中滤波器的选择也是一个重要的研究问题 这是关系到能否重构出满意的原始信号的问题 在信号的分解期间 降采样会引进畸变 这种畸变叫做混叠 aliasing 这就需要在分解和重构阶段精心选择关系紧密但不一定一致的滤波器才有可能取消这种混叠 低通分解滤波器 L 和高通分解滤波器 H 以及重构滤波器 L 和H 构成一个系统 这个系统叫做正交镜像滤波器 quadraturemirrorfilters QMF 系统 如图8 12所示 小波定义 在数学上 小波定义为对给定函数局部化的函数 小波可由一个定义在有限区间的函数 x 来构造 x 称为母小波 motherwavelet 或者叫做基本小波 一组小波基函数 a b x 可通过缩放和平移基本小波 x 来生成 其中 a为进行缩放的缩放