28章_锐角三角函数(全章)ppt课件

《28章_锐角三角函数(全章)ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《28章_锐角三角函数(全章)ppt课件（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、28章锐角三角函数 在Rt ABC中 C 90 由于 A 45 所以Rt ABC是等腰直角三角形 由勾股定理得 因此 即在直角三角形中 当一个锐角等于45 时 不管这个直角三角形的大小如何 这个角的对边与斜边的比都等于 综上可知 在一个Rt ABC中 C 90 当 A 30 时 A的对边与斜边的比都等于 是一个固定值 当 A 45 时 A的对边与斜边的比都等于 也是一个固定值 一般地 当 A取其他一定度数的锐角时 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值 结论 问题 在图中 由于 C C 90 A A 所以Rt ABC Rt A B C 这就是说 在直角三角形中 当锐角A的度数一定时 不管三角形的

2、大小如何 A的对边与斜边的比也是一个固定值 并且直角三角形中一个锐角的度数越大 它的对边与斜边的比值越大 如图 在Rt ABC中 C 90 我们把锐角A的对边与斜边的比叫做 A的正弦 sine 记住sinA即 当 A 30 时 我们有 当 A 45 时 我们有 c a b 对边 斜边 1 正弦函数 同理 sin60 注意 sinA是一个完整的符号 它表示 A的正弦 记号里习惯省去角的符号 sinA没有单位 它表示一个比值 即直角三角形中 A的对边与斜边的比 sinA不表示 sin 乘以 A 正弦的常见表示 sinA sin42 sin 省去角的符号 sin DEF sin 1 不能省去角的符号

3、 例1如图 在Rt ABC中 C 90 求sinA和sinB的值 解 1 在Rt ABC中 因此 2 在Rt ABC中 因此 A B C A B C 3 4 13 例题示范 5 练一练 1 判断对错 1 如图 1 sinA 2 sinB 3 sinA 0 6m 4 SinB 0 8 sinA是一个比值 注意比的顺序 无单位 2 如图 sinA 2 在Rt ABC中 锐角A的对边和斜边同时扩大100倍 sinA的值 A 扩大100倍B 缩小C 不变D 不能确定 C 练一练 根据下图 求sinA和sinB的值 A B C 3 5 练习 解 1 在Rt ABC中 因此 根据下图 求sinA和sinB

4、的值 A B C 12 5 练习 解 1 在Rt ABC中 因此 根据下图 求sinB的值 A B C n 练习 解 1 在Rt ABC中 因此 m 练习 如图 Rt ABC中 C 90度 CD AB 图中sinB可由哪两条线段比求得 解 在Rt ABC中 在Rt BCD中 因为 B ACD 所以 求一个角的正弦值 除了用定义直接求外 还可以转化为求和它相等角的正弦值 如图 C 90 CD AB sinB可以由哪两条线段之比 想一想 若 C 5 CD 3 求sinB的值 解 B ACD sinB sin ACD 在Rt ACD中 AD sin ACD sinB 4 回味无穷 1 锐角三角函数定

5、义 2 sinA是 A的函数 4 只有不断的思考 才会有新的发现 只有量的变化 才会有质的进步 Sin300 sin45 sin60 3 sinA是线段之间的一个比值 sinA没有单位 小结 如图 Rt ABC中 直角边AC BC小于斜边AB 所以0 sinA 1 0 sinB 1 如果 A B 则BC AC 那么0 sinA sinB 1 1 1 1 sinA的取值范围是什么 2 结合右图 思考 A的其他两边的比值是不是也是唯一确定的 发挥你的聪明才智 动手试一试 28 1 2余弦 正切 如图 在Rt ABC中 C 90 当锐角A确定时 A的对边与斜边的比就随之确定 此时 其他边之间的比是否

6、也确定了呢 为什么 当锐角A的大小确定时 A的邻边与斜边的比 A的对边与邻边的比也分别是确定的 我们把 A的邻边与斜边的比叫做 A的余弦 cosine 记作cosA 即 把 A的对边与邻边的比叫做 A的正切 tangent 记作tanA 即 锐角A的正弦 余弦 正切都叫做 A的锐角三角函数 锐角A的正弦 余弦 正切都叫做 A的锐角三角函数 1 下图中 ACB 90 CD AB 垂足为D 指出 A和 B的对边 邻边 练习 CD AB BC AC AD AB BC CD 例2如图 在Rt ABC中 C 90 BC 6 sinA 求cosA tanB的值 解 又 例题示范 变题 如图 在Rt ABC

7、中 C 90 cosA 求sinA tanA的值 解 例题示范 设AC 15k 则AB 17k 所以 例3 如图 在Rt ABC中 C 90 例题示范 1 求证 sinA cosB sinB cosA 2 求证 3 求证 1 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值 余弦值和正切值 练习 解 由勾股定理 2 在Rt ABC中 如果各边长都扩大2倍 那么锐角A的正弦值 余弦值和正切值有什么变化 解 设各边长分别为a b c A的三个三角函数分别为 则扩大2倍后三边分别为2a 2b 2c 3 如图 在Rt ABC中 C 90 AC 8 tanA 求 sinA cosB的值 A B C 8 解 小结

8、 如图 Rt ABC中 C 90度 因为0 sinA 1 0 sinB 1 tanA 0 tanB 0 0 cosA 1 0 cosB 1 所以 对于任何一个锐角 有0 sin 1 0 cos 1 tan 0 定义中应该注意的几个问题 1 sinA cosA tanA是在直角三角形中定义的 A是锐角 注意数形结合 构造直角三角形 2 sinA cosA tanA是一个比值 数值 3 sinA cosA tanA的大小只与 A的大小有关 而与直角三角形的边长无关 若已知锐角 的始边在x轴的正半轴上 顶点在原点 终边上一点P的坐标为 x y 它到原点的距离为r求角 的四个三角函数值 推广 sin

9、cos tan cot M 例4 如图 已知AB是半圆O的直径 弦AD BC相交于点P 若 例题示范 那么 B 变题 如图 已知AB是半圆O的直径 弦AD BC相交于点P 若AB 10 CD 6 求 4 如图 在 ABC中 AD是BC边上的高 tanB cos DAC 1 求证 AC BD 2 若 BC 12 求AD的长 5 如图 在 ABC中 C 90度 若 ADC 45度 BD 2DC 求tanB及sin BAD AD 8 新人教版九年级数学 下册 第二十八章 28 2解直角三角形 1 复习 30 45 60 角的正弦值 余弦值和正切值如下表 对于sin 与tan 角度越大 函数值也越大

10、对于cos 角度越大 函数值越小 问题 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端 梯子与地面所成的角a一般要满足50 a 75 现有一个长6m的梯子 问 1 使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙 精确到0 1m 2 当梯子底端距离墙面2 4m时 梯子与地面所成的角a等于多少 精确到1 这时人是否能够安全使用这个梯子 这样的问题怎么解决 问题 1 可以归结为 在Rt ABC中 已知 A 75 斜边AB 6 求 A的对边BC的长 问题 1 当梯子与地面所成的角a为75 时 梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5 8m 所以BC 6

11、0 97 5 8 由计算器求得sin75 0 97 由得 对于问题 2 当梯子底端距离墙面2 4m时 求梯子与地面所成的角a的问题 可以归结为 在Rt ABC中 已知AC 2 4 斜边AB 6 求锐角a的度数 由于 利用计算器求得 a 66 因此当梯子底墙距离墙面2 4m时 梯子与地面所成的角大约是66 由50 66 75 可知 这时使用这个梯子是安全的 一般地 在直角三角形中 除直角外 共有五个元素即三条边和两个锐角 在图中的Rt ABC中 1 根据 A 75 斜边AB 6 你能求出这个直角三角形的其他元素吗 能 6 75 在图中的Rt ABC中 2 根据AC 2 4 斜边AB 6 你能求出

12、这个直角三角形的其他元素吗 能 6 2 4 事实上 在直角三角形的六个元素中 除直角外 如果再知道两个元素 其中至少有一个是边 这个三角形就可以确定下来 这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素 解直角三角形 在直角三角形中 由已知元素求未知元素的过程 解直角三角形 2 两锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 1 三边之间的关系 勾股定理 在解直角三角形的过程中 一般要用到下面一些关系 例1如图 在Rt ABC中 C 90 解这个直角三角形 解 例2如图 在Rt ABC中 B 35 b 20 解这个直角三角形 精确到0 1 解 A 90 B 90 35 55 你还有其他方法求出

13、c吗 例3如图 在Rt ABC中 C 90 AC 6 BAC的平分线 解这个直角三角形 6 解 因为AD平分 BAC 在Rt ABC中 C 90 根据下列条件解直角三角形 1 a 30 b 20 练习 解 根据勾股定理 在Rt ABC中 C 90 根据下列条件解直角三角形 2 B 72 c 14 解 解决有关比萨斜塔倾斜的问题 设塔顶中心点为B 塔身中心线与垂直中心线的夹角为A 过B点向垂直中心线引垂线 垂足为点C 如图 在Rt ABC中 C 90 BC 5 2m AB 54 5m 所以 A 5 28 可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角 你愿意试着计算一下吗 A B C 解直

14、角三角形 A B 90 a2 b2 c2 三角函数关系式 计算器 由锐角求三角函数值 由三角函数值求锐角 解直角三角形 由已知元素求未知元素的过程 直角三角形中 28 2 2应用举例 一 方位角 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角 叫做方位角 如图 点A在O的北偏东30 点B在点O的南偏西45 西南方向 例5 如图 一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向 距离灯塔80海里的A处 它沿正南方向航行一段时间后 到达位于灯塔P的南偏东34 方向上的B处 这时 海轮所在的B处距离灯塔P有多远 精确到0 01海里 65 34 P B C A 解 如图 在Rt APC中 PC PA cos 9

15、0 65 80 cos25 80 0 91 72 8 在Rt BPC中 B 34 当海轮到达位于灯塔P的南偏东34 方向时 它距离灯塔P大约130 23海里 65 34 P B C A 练习 海中有一个小岛A 它的周围8海里范围内有暗礁 渔船跟踪鱼群由西向东航行 在B点测得小岛A在北偏东60 方向上 航行12海里到达D点 这时测得小岛A在北偏东30 方向上 如果渔船不改变航线继续向东航行 有没有触礁的危险 B A D F 60 12 30 B A D F 解 由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F 垂足为F AFD 90 由题意图示可知 DAF 30 设DF x AD 2x 在Rt ABF中

16、解得x 6 10 4 8没有触礁危险 30 60 坡度与坡角 坡度一般用i来表示 即 一般写成i 1 m 如i 1 5 1 坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度 显然 坡度越大 坡角就越大 坡面就越陡 2 坡面与水平面的夹角叫坡角 例6一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD 试根据下图中的数据求出坡角 和坝底宽AD 单位是米 结果保留根号 练习 如图 拦水坝的横断面为梯形ABCD 图中i 1 3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比 根据图中数据求 1 坡角a和 2 坝底宽BC和斜坡CD的长 精确到0 1m 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是 1 将实际问题抽象为数学问题 画出平面图形 转化为解直角三角形的问题 2 根据条件的特点 适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形 3 得到数学问题的答案 4 得到实际问题的答案 解直角三角形应用中考题列举 2014 四川凉山州 如图 河堤横断面迎水坡AB的坡比是 堤高BC 10m 则坡面AB的长度是 C 4 2014云南省 如图 小明在M处用高1米 DM 1米 的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30 再向旗杆方向前进10米到F处 又