《2020届南京市六校联合体高三下5月联考数学试题含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届南京市六校联合体高三下5月联考数学试题含答案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020届高三模拟考试试卷 数 届高三模拟考试试卷 数 学学 满分160分 考试时间120分钟 2020 5 一 填空题 本大题共14小题 每小题5分 共70分 1 已知集合A x x2 2x 0 B x x 1 则A B 2 已知复数z a 2i 1 i 的实部为0 其中i为虚数单位 a为实数 则z 3 如图 用茎叶图记录了甲 乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩 则方差较小的那组同学成 绩的方差为 第3题 4 运行如图所示的伪代码 则输出S的值为 S 0 I 1 While I0 个单位长度 所得图象对应的函数恰 为偶函数 则 的最小值为 9 已知双曲线 x2 a2 y2 b2 1 a
2、0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 过F2且与x轴垂直的直线与 双曲线交于A B两点 若F1F2 3 2 AB 则双曲线的渐近线方程为 10 如图 五边形 ABCDE 由两部分组成 ABE 是以角 B 为直角的直角三角形 四边形 BCDE 为 正方形 现将该图形以AC为轴旋转一周 构成一个新的几何体 若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等 则 圆锥和圆柱的体积之比为 11 在平行四边形 ABCD 中 AD 2AB 6 DAB 60 DE 1 2 EC BF 1 2 FC 若 FG 2GE 则AG BD 12 已知在锐角三角形 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 若 a 3bc
3、os C 则 1 tanA 1 tanB 1 tanC 的最小值为 13 已知圆O x2 y2 4 点A 2 2 直线l与圆O交于P Q两点 点E在直线l上且满足 PQ 2QE 若AE2 2AP2 48 则弦PQ中点M的横坐标的取值范围是 14 若函数f x x3 3a2x 2a ex 1 的图象恰好经过三个象限 则实数a的取值范围是 二 解答题 本大题共6小题 共90分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分14分 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 已知bsin A asin 2 3 B 1 求角B的大小 2 若a 2 c 3 求sin A C 的
4、值 16 本小题满分14分 如图 在三棱柱ABCA1B1C1中 侧面BCC1B1是矩形 平面ACC1A1 平面BCC1B1 M是棱CC1上 的一点 1 求证 BC AM 2 若N是AB的中点 且CN 平面AB1M 求证 M是棱CC1中点 17 本小题满分14分 疫情期间 某小区超市平面图如图所示 由矩形 OABC 与扇形 OCD 组成 OA 30 米 AB 50 米 COD 6 经营者决定在O点处安装一个监控摄像头 摄像头的监控视角 EOF 3 摄像头监 控区域为图中阴影部分 要求点E在弧CD上 点F在线段AB上 设 FOC 1 求该监控摄像头所能监控到的区域面积S关于 的函数关系式 并求出t
5、an 的取值范围 2 求监控区域面积S最大时 角 的正切值 18 本小题满分16分 已知椭圆C x2 a2 y2 b2 1 a b 0 的左焦点为F1 点A B为椭圆的左 右顶点 点P是椭圆上 一点 且直线PF1的倾斜角为 4 PF1 2 椭圆的离心率为 2 2 1 求椭圆C的方程 2 设 M N 为椭圆上异于 A B 的两点 若直线 BN 的斜率等于直线 AM 斜率的 2 倍 求四边形 AMBN面积的最大值 19 本小题满分16分 已知函数f x ax2 bx c a b c R g x ex 1 若a b 1 c 1 求函数h x f x g x 在x 1处的切线方程 2 若a 1 且x
6、1是函数m x f x g x 的一个极值点 确定m x 的单调区间 3 若b 2a c 2 且对任意x 0 f x g x 2x 2恒成立 求实数a的取值范围 20 本小题满分16分 设数列 an 任意项都不为零 的前n项和为Sn 首项为1 对于任意n N 满足Sn an an 1 2 1 求数列 an 的通项公式 2 是否存在k m n N k m0 若由 bn 的前r项依次构成的数列是单调 递增数列 求正整数r的最大值 2020届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷 十三十三 数学附加题数学附加题 满分40分 考试时间30分钟 21 选做题 在A B C三小题中只能选做两题 每小题 10分
7、 共20分 若多做 则按作答的 前两题计分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修42 矩阵与变换 求椭圆C x2 16 y2 4 1在矩阵A 1 4 0 0 1 2 对应的变换作用下所得曲线C 的方程 B 选修44 坐标系与参数方程 在极坐标系中 已知圆C经过点P 2 4 圆心为直线 sin 3 3 2 与极轴的交点 求圆C 的极坐标方程 C 选修45 不等式选讲 已知正数a b c满足abc 1 求 a 2 b 2 c 2 的最小值 必做题 第 22 23 题 每小题 10 分 共 20 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算 步骤 22 如图 直四棱柱ABCDA
8、1B1C1D1的底面是菱形 AA1 4 AB 2 BAD 60 E M N 分别是BC BB1 A1D的中点 1 求异面直线A1M与C1E所成角的余弦值 2 求二面角AMA1N的平面角的正弦值 23 已知数列 an 满足an m C1 n 1 2 C2 n 2 22 C3 n 3 23 C n n n 2n n N 其中m为常数 a2 4 1 求m a1的值 2 猜想数列 an 的通项公式 并证明 2020届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷 南京南京 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 1 2 2 4i 3 14 3 4 25 5 7 10 6 8 7 3 8 12 9 y 2 x
9、 10 3 3 11 21 12 2 7 3 13 1 7 2 1 7 2 14 1 0 0 1 15 解 1 在 ABC中 由正弦定理 a sinA b sinB 及bsin A asin 2 3 B 得sin Bsin A sin Asin 2 3 B 2分 由A 0 时 sin A 0 可得sin B sin 2 3 B 展开得sin B sin 2 3 cos B cos 2 3 sin B 即sin B 3 cos B 4分 又由B 0 得sin B 0 从而cos B 0 从而有tan B 3 可得B 3 6分 2 在 ABC中 由余弦定理及a 2 c 3 B 3 得b2 a2 c
10、2 2accos B 7 故b 7 7分 由 a sinA b sinB 得 2 sinA 7 3 2 解得sin A 3 7 因为ab 0 的离心率为 2 2 所以a 2 c 设椭圆右焦点为F2 在 F1PF2中 PF1 2 PF1F2 4 由余弦定理得 2a 2 2 22 2c 2 2 2c 2 cos 4 解得c 2 则a 2 b 2 所以椭圆的方程为 x2 4 y2 2 1 4分 2 解法1 设直线AM的斜率为k 则直线AM的方程为y k x 2 联立 y k x 2 x2 4 y2 2 1 整理得 2k2 1 x2 8k2x 8k2 4 0 64k4 4 2k2 1 8k2 4 0
11、设M x1 y1 则 2x1 8k2 4 2k2 1 即x1 2 4k2 2k2 1 从而y1 4k 2k2 1 8分 由kBN 2kAM 可得直线BN的方程为y 2k x 2 联立 y 2k x 2 x2 4 y2 2 1 整理得 8k2 1 x2 32k2x 32k2 4 0 322k4 4 8k2 1 32k2 4 0 设N x2 y2 则2x2 32k2 4 8k2 1 即x2 16k2 2 8k2 1 从而y2 8k 8k2 1 12分 由对称性 不妨设k 0 则四边形AMBN的面积 S 1 2 4 y1 y2 2 4k 2k2 1 8k 8k2 1 24 4k3 k 2k2 1 8
12、k2 1 24 1 k 4k 8k 1 k 2k 1 k 24 1 k 4k 16k2 1 k2 10 24 1 k 4k 1 k 4k 2 2 24 1 k 4k 2 1 k 4k 令t 1 k 4k 则t 2 1 k 4k 4 当且仅当k 1 2 时取等号 则S 24 t 2 t 24 4 1 2 16 3 故S的最大值为 16 3 16分 解法2 设M x1 y1 则y2 1 1 2 4 x2 1 A 2 0 B 2 0 则 kMA kMB y1 0 x1 2 y1 0 x1 2 2 1 2 1 1 2 6分 由kBN 2kMA 故kBN kBM 1 7分 设直线MN的方程为x my t
13、 联立 x my t x2 4 y2 2 1 整理得 m2 2 y2 2mty t2 4 0 即t2 2m2 4 设N x2 y2 则y1 y2 2mt m2 2 y1y2 t2 4 m2 2 9分 由 kBN kBM 1 得 y1y2 x1x2 2 x1 x2 4 0 将 y1 y2 2mt m2 2 y1y2 t2 4 m2 2 代入整理得 m2 1 t 2 2m2t t 2 m2 2 0 即t 2 3 满足t21 即b0解得x 1 或x b 3 由m x 0解得x 1 b 3 当 b 3 4时 由m x 0解得x b 3 或x 1 由m x 0解得x b 3 1 7分 综上 当b 4时
14、m x 的单调递增区间为 b 3 和 1 单调递减区间为 b 3 1 8分 3 因为b 2a c 2 所以 f x g x ax2 2ax 2 ex 2x 2对任意x 0恒成立 即ax2 2ax 2 2x 2 ex 0对任意x 0恒成立 令p x ax2 2ax 2 2x 2 ex p 0 0 由p 1 3a 2 4e 0得a 4e 2 3 9分 p x 2a x 1 2 x 2 ex 当a 0时 对任意x 0 p x 0 所以函数y p x 在 0 上单调递减 故p x p 0 0 得a 0符合题意 10分 当0 a 4e 2 3 时 令G x p x 2a x 1 2 x 2 ex 则G
15、x 2a 2 x 3 ex 当x 0时 2 x 3 ex 6 2a 2 x 3 ex 2 4e 2 3 6 2 4e 11 3 0 所以对任意x 0 G x 0 得函数y G x 在 0 上单调递减 所以G x G 0 2a 4 当2a 4 0 即0 a 2时 对任意x 0 G x p x 0 得函数y p x 在 0 上单调递减 所以 对任意x 0 p x p 0 0恒成立 得00 即20 G 1 4a 6e 0 得G 0 G 1 0 所以函数y p x 在 0 x0 上单调递增 故当x 0 x0 时p x 0 与题意不符 综上 实数a的取值范围是a 2 16分 20 解 1 数列 an 是
16、非零数列 所以an 0 当n 1时 a1 S1 a1a2 2 a2 2 当n 2 n N 时 an Sn Sn 1 anan 1 2 an 1an 2 所以an 1 an 1 2 2分 所以 a2n 1 是首项为1 公差为2的等差数列 a2n 是首项为2 公差也为2的等差数列 a2n 1 a1 2 n 1 2n 1 a2n a2 2 n 1 2n 所以an n 4分 2 设k m n N k m8 0 k 1 3 2 k N 8分 因此 k 1 m 2 n 4 k m n 7 9分 3 若 bn 是单调递增数列 所以当n是偶数 n 1 qn 1 n 1恒成立 两边取自然对数 化简可得 ln n 1 n 1 ln q1 11分 设函数f x lnx x 求导f x 1 lnx x2 0 x e 当0 x0 所以f x 是增函 数 当x e时 f x 0 所以f x 是减函数 所以f x 在x e处取极大值 所以 当n 4时 ln n 1 n 1 是递减数列 ln1 1 ln3 3 13分 设函数 g x ln x 2 x 求导 g x x x 2 ln x 2 x2 ln3 3 当n 8
