成功学校初三数学竞赛试题(决赛)

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1、成功学校初三数学竞赛试题(决赛)2007年4月13日(时间:120分钟 满分:120分)一、选择题(每小题5分,共30分)1两杯等量的液体,一杯是咖啡,一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里,搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时,设咖啡杯里的奶油量为a,奶油杯里的咖啡量为b,那么a和 b的大小为( )A B C D与勺子大小有关2若,则关于a的说法正确的是( ) A是正整数,而且是偶数 B是正整数,而且是奇数 C不是正整数,而是无理数 D无法确定3方程的所有整数解的个数是( )A5个 B4个 C3个 D2个4如图,直线l1:与直线l2:把平面直角坐标系分成四个部分,点(1,2)在( )A第一部

2、分 B第二部分 C第三部分 D第四部分5方程的解的个数是( ) A1个 B2个 C3个 D4个AOCBP一Oyx二三四 第4题 第6题6如图,点P为弦AB上的一点。连接OP。过点P作PCOP,PC交O于C若AP8,PB2,则PC的长是( ) A4 B C5 D无法确定二、填空题(每小题5分,共30分)7已知已知、是一元二次方程的两个根,则代数式的值等于 8已知,则的值为 9如图,在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD,已知AD3,AO8,OC5,若点P在梯形内且SPADSPOC,SPAOSPCD,那么点P的坐标是 385OxCyAD10如图,正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3

3、,且点B、C、G在同一直线上,M是线段AE的中点,连结MF,则MF的长为 第9题 第10题11军训基地购买苹果慰问学员,已知苹果总数用八进位制表示为,七进位制表示为 ,那么苹果的总数用十进位制表示为 12若二次函数的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(1,0)则的值的变化范围是 三、解答题(每小题15分,共60分)13已知A港在B港的上游,小船于凌晨3:00从A港出发开往B港,到达后立即返回,来回穿梭于A、B港之间,若小船在静水中的速度为16千米小时,水流速度为4千米小时,在当晚23:00时,有人看见小船在距离A港80千米处行驶求A、B两个港口之间的距离14如图,RtABC的内切圆O和斜

4、边BC的切点为T,求证:BTTCSABCTOCBA15已知:关于x的方程有两个符号不同的实数根,且0;关于x的方程有两个有理数根且两根之积等于2求整数的值16已知二次函数(1)若此二次函数的图象经过点(1,1),且记两数中较大者为P,试求P的最小值(2)若变化时,它们的图象是不同的抛物线,如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点,过这三个交点作圆,证明这些圆都经过同一定点,并求出这个定点的坐标参考答案一、选择题1C 2B 3B 4B 5B 6A二、填空题75 8 9, 10 11220 120S2三、解答题13设两港口之间距离为,则233=20(小时) 则小船行驶AB间一周的时间不小于(小时)

5、 小船为行驶一周后,由再出行80千米或还差80千米行驶一周,又或还差80千米行驶2周 (5分)(1)第一种情况:(千米)(8分)(2)情况二(千米) (11分)(3)情况三(千米) (14分)综上所述,A、B两港口之间的距离可能是100千米或120千米或200千米(15分)14证明:如图,设AB切O于E,AC切O于F,连结OE、OF、OTO为ABC的内切圆,切点分别为T、E、F,BTBE、AEAF、CFCTBTBCBAAC,CTCACBAB,FTEOCBA ,15由方程知:,00,(3分)2m2(6分)由方程知:(舍去),(8分)代入得:方程的两根为有理数,其中k为正整数,即 (11分)因为n,k均为整数,所以与的奇偶性相同,且,或或(15分)16 (1)由过点(1,1)得到:要比较m,n4的的大小,即: (5分)如图所示,当时,(8分)(2)图象与坐标轴有三个不同的交点,可设交点坐标为A(x1,0),B(x2,0),C(0,n2)又x1x2n2,若n0,则与三个交点不符,x1x2n20,x1,x2分布在原点左右两侧 (10分)又,存在点P0(0,1)使得|OA|OB|OP0|OC|,所以A,B,C,P四点共圆,这些抛物线必过定点P0(0,1)(15分)

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