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1、一 条件概率 二 全概率公式与贝叶斯公式 第四节条件概率 全概率公式与贝叶斯公式 一 条件概率 甲乙两台车床加工同一种机械零件 质量表如下 从这100个零件中任取一个 求下列事件的概率 引例 1 问题的引入 取出的一个为正品 取出的一个为甲车床加工的零件 取出的一个为甲车床加工的正品 已知取出的一个为甲车床加工的零件 其为 A B AB C 解 正品 已知取出的一个为甲车床加工的零件 其为正品 4 附加条件B A 此时 样本空间已不再是原来包含100个样本点的 而缩减为只包含40个样本点的 B B 这是巧合吗 不是 注 设A B是两个事件 且P B 0 则称 为事件B发生的条件下 事件A发生的
2、条件概率 注 样本空间缩减法 用定义 2 定义1 8 条件概率的定义 如 对于古典概型 女孩的概率 设男孩与女孩是等可能的 解 样本点总数 23 例1 1 求在有3个小孩的家庭中 至少有一个 1 2 3 2 在有3个小孩的家庭中 已知至少有1个女孩 求该家庭至少有1个男孩的概率 解 证 证 3 条件概率的性质 2 规范性 1 非负性 证 3 可列可加性 证 5 逆事件的条件概率 4 加法公式 意义 两事件积的概率等于其中的某一事件的概率乘以另一事件在前一事件已发生的条件下的条件概率 推广 4 乘法公式 则 例2摸球试验 卜里耶模型 把原球放回 并加进与抽出球同色的球c只 再取第二次 这样下去共
3、取了n次球 问前n1次取到黑球 后n2 n n1次取到红球的概率是多少 解 箱中有b只黑球 r只红球 随机取出一只 此模型被卜里耶用来作为描述传染病的数学模型 因此 二 全概率公式与贝叶斯公式 1 样本空间的划分 全概率公式 定理 2 全概率公式 则 图示 化整为零各个击破 证 全概率公式中的条件 可换为 注 全概率公式的主要用处在于 它可以将一个复杂事件的概率计算问题 分解为若干个简单事件的概率计算问题 最后应用概率的可加性求出最终结果 直观意义 某事件B的发生由各种可能的 原因 Ai i 1 2 n 引起 而Ai与Aj i j 互斥 则B发生的概率与P AiB i 1 2 n 有关 且等于
4、它们的总和 3 全概率公式的意义 个黑球 乙箱中装有一个白球 两个黑球 现由甲箱中任取一球放入乙箱 再从乙箱中任取一球 问取到白球的概率是多少 解以A1表示事件 从甲箱中取出一个白球 A2表示 从甲箱中取出一个黑球 这一事件 以B表示 从乙箱中取出一个白球 这一事件 则 且 例3 甲 乙两个箱子 甲箱中装有两个白球 一 因而 子 1 5 的三等种子 1 0 的四等种子 用一等 二等 三等 四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率为0 5 0 15 0 1 0 05 求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率 解 以Ai i 1 2 3 4 分别记任选一颗种子是i等 用B表示在这批种子中任选一颗且
5、这颗种子所结 则 Ai i 1 2 3 4 是一个划分 例4 播种用的一等小麦种子中混和2 0 的二等种 i 1 2 3 4 这一事件 的穗含50颗以上麦粒这一事件 则由全概率公式 称此为贝叶斯公式 定理 4 贝叶斯公式 证毕 证 解 例5 示 被检验者患有肝癌 这一事件 以A表示 判断被检验者患有肝癌 这一事件 假设这一检验法相应的概率为 检验法诊断为患有肝癌 求此人真正患有肝癌的 假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌 以C表 由贝叶斯公式得所求概率为 即平均10000个具有阳性反应的人中大约只有38人 患有癌症 上题中概率0 0004是由以往的数据分析得到的 叫 而在得到信息之后再重新加以修正的概
6、率0 0038 先验概率与后验概率 做先验概率 叫做后验概率 乘船 乘汽车 乘飞机来的概率分别为1 5 1 10 2 5 若他乘火车来 迟到的概率是1 4 如果乘船 乘汽车来 迟到的概率是1 3 1 12 如果乘飞机便不会迟到 即迟到的概率为0 在结果是迟到的情形 解 表示乘火车 乘船 乘汽车 以B表示迟到这一事件 设A1 A2 A3 A4分别 由Bayes公式 有 例6 有朋友自远方来访 乘火车来的概率3 10 下 求他是乘火车的概率 乘飞机来的事件 全概率公式 贝叶斯公式 乘法定理 内容小结 1 条件概率 2 条件概率P A B 与积事件P AB 概率的区别 条件概率也是概率 故具有概率的
7、性质 3 条件概率的性质 1 非负性 2 归一性 3 可列可加性 再见 活到25岁以上的概率为0 4 如果现在有一个20岁的这种动物 问它能活到25岁以上的概率是多少 设A 能活20岁以上 的事件 则有 解 备用题例1 1 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0 8 B 能活25岁以上 的事件 解法1令A表示 2张都是假钞 B表示 其中1张是假钞 由缩减样本空间法得 下面两种解法哪个正确 例1 2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出 2张 将其中1张放在验钞机上检验发现上假钞 求2 张都是假钞的概率 令A表示 抽到2张都是假钞 B表示 2张中至少有1张假钞 所以 解法2 机地抽取两次
8、每次取一球 求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率 2 若无放回的抽取3次 每次抽取一球 求 a 第一次是白球的情况下 第二次与第三次均是白球的概率 b 第一次与第二次均是白球的情况下 第三次是白球的概率 例2 1 设袋中有4只白球 2只红球 1 无放回随 则有 解 抽到红球 因而他随意地拨号 求他拨号不超过3次而接通电话的概率 解 拨号3次都未接通 例2 2 某人忘记了电话号码的最后一个数字 时打破的概率为1 2 若第一次落下未打破 第二次落下打破的概率为7 10 若前两次落下未打破 第三次落下打破的概率为9 10 试求透镜落下三次而未打破的概率 解 以B表示事件 透镜落下三次而未打破 例2
9、3 设某光学仪器厂制造的透镜 第一次落下 摸球试验 卜里耶模型 解 例2 4 与取出的那只球同色的球 若在袋中连续去球4次 试求第一 二次取到红球且第三 四次取到白球 的概率 此模型被卜里耶用来作为描述传染病的数学模型 由甲 乙 丙三厂生产的分别有5箱 3箱 2箱 三厂产品的废品率依次为0 1 0 2 0 3从这10箱产品中任取一箱 再从这箱中任取一件产品 求取得的正品概率 设A为事件 取得的产品为正品 分别表示 任取一件产品是甲 乙 丙生产的 由题设知 解 例3 1 设一仓库中有10箱同种规格的产品 其中 故 有 字 三个阄内不写字 五人依次抓取 问各人抓到 有 字阄的概率是否相同 解 则有
10、 抓阄是否与次序有关 例3 2 五个阄 其中两个阄内写着 依此类推 故抓阄与次序无关 的占30 二厂生产的占50 三厂生产的占20 又知这三个厂的产品次品率分别为2 1 1 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少 设事件A为 任取一件为次品 解 例4 1 有一批同一型号的产品 已知其中由一厂生产 由全概率公式得 30 20 50 2 1 1 例4 2 有3箱同型号的灯泡 已知甲箱次品率为 1 乙箱次品率为2 丙箱次品率为3 现从3 乙 丙两箱的机得次品的概率 解 箱 B表示 取到次品 所以 例5 1 炮战中 在距目标250m 200m 150m处射 击的概率分别为0 1 0 7 0 2 而在
11、该处射击命中 目标的概率分别为0 05 0 1 0 2 现在已知目标被 击毁 求击毁目标的炮弹是由距目标250m处射出 的概率 解 标250m 200m 150m处射击 则所求概率为 例5 2 设有5个袋子中放有白球 黑球 其中1号 取1个球 结果是白球 求这个球是来自1号袋子中 的概率 解 例5 3 已知5 的男人和0 25 的女人是色盲患者 现随机地选取一人 此人恰为色盲患者 此人是男 人的概率是多少 假设男人 女人各占人数的一 半 解 设A 选取的人患色盲 设B 选取的人是男人 根据逆概公式 贝叶斯公式 所求概率为 例6 1 制造厂提供的 根据以往的记录有以下的数据 设这三家工厂的产品在
12、仓库中是均匀混合的 且无区别的标志 1 在仓库中随机地取一只元件 求它是次品的概率 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件 解 2 在仓库中随机地取一只元件 若已知取到的是次品 为分析此次品出自何厂 需求出此次品出由三 家工厂生产的概率分别是多少 试求这些概率 1 由全概率公式得 2 由贝叶斯公式得 第1次比赛时从中选取3个来用 比赛后仍放回盒中 第2次比赛时再从盒中任取3个 1 求第2次取出的球都是新球的概率 2 又已知第2次取出的球都是新球 求第1次取到的都是新球的概率 解 例6 2 盒中放有12个乒乓球 其中9个是新的 1 求第2次取出的球都是新球的概率 第一次新球 9个旧球 3个 第二
13、次新球 9 i个旧球 3 i个 比赛后放回的球变为旧球 2 又已知第2次取出的球都是新球 求第1次 第二次新球 9 3个旧球 3 3个 比赛后放回的球变为旧球 取到的都是新球的概率 解 例6 3 良好时 产品的合格率为98 而当机器发生某种故障时 其合格率为55 每天早上机器开动时 机器调整良好的概率为95 试求某日早上的一件产品是合格时 机器调整得良好的概率是多少 对以往数据分析结果表明 当机器调整得 由贝叶斯公式得所求概率为 整良好的概率为0 97 贝叶斯资料 ThomasBayes Born 1702inLondon England Died 17April1761inTunbridgeWells Kent England
