《概率论与数理统计课件(复旦版)—— (5)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计课件(复旦版)—— (5)（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 3二元随机变量 也称为n元随机向量 以下只研究二元随机变量 一 离散型 把 的所有可能取值与相应概率列成表 称为 的联合概率分布表 定义3如果二元随机变量 所有可能取的数对为有限或可列个 并且以确定的概率取各个不同的数对 则称 为二元离散型随机变量 也可用一系列等式来表示 P xi yj pij i j 1 2 称为 与 的联合分布律 联合分布有如下性质 1 pij 0 例1同一品种的5个产品中 有2个正品 每次从中取1个检验质量 不放回地抽取 连续2次 证 k 0 表示第k次取到正品 而 k 1 为第k次取到次品 k 1 2 写出 1 2 的联合分布律 解 试验结果由4个基本事件组成 P
2、1 0 2 0 P 1 0 P 2 0 1 0 0 1 P 1 0 2 1 0 3 P 1 1 2 0 0 3 P 1 1 2 1 0 3 列成联合概率分布表 二元随机变量 中 分量 或 的概率分布称为 的关于 或 的边缘分布 若已知联合分布 则 P xi i 1 2 P yj j 1 2 pi 1 表示联合概率表中第i行各概率之和 它表示 不论 取何值 取值xi的概率 pj 2 的含义类似 例2将两封信随机地往编号为I II III IV的4个邮筒内投 i表示第i个邮筒内信的数目 i 1 2 写出 1 2 的联合分布以及 1 2的边缘分布 解 试验共有42种不同的等可能结果 p12 p21
3、p22 0 列成联合分布表 即边缘分布为 对于二元随机变量 若P yj 0 称pij pj 2 i 1 2 为在 yj条件下关于 的条件分布 显然P xi yj 是非负的 且对所有i 它们的和为1 同样 若pi 1 0 称为在 xi条件下关于 的条件分布 p yj xi 是非负的 且对所有j 它们的和为1 记为 例3求出例2中在 2 1条件下关于 1的条件分布 0 故 2 1时 1的条件分布为 例4反复掷一颗骰子 直到出现小于5点为止 表示最后一次掷出的点数 表示投掷次数 求 的联合分布律 边缘分布律及条件分布 解 的取值是1 2 3 4 的取值是1 2 i j 表示掷了j次 而最后一次掷出i
4、点 前j 1次掷出5点或6点 由于各次掷骰子是相互独立的 故联合分布表为 pi 1 条件分布为 二 连续型 它有性质 对任意平面区域D 解 P 1 同样地 P 分别称为二元随机变量 中关于 及关于 的边缘分布函数 求导可得相应的概率密度 是关于 的边缘概率密度 是关于 的边缘概率密度 解 当a x b时 在其它点 0 解 当0 x 1时 0 同理可求出 三 随机变量的相互独立性 判断独立的充要条件 pij pi 1 pj 2 例8在例2中 1与 2是否相互独立 解 已经得到 故 1与 2不是相互独立的 例9掷两颗骰子 用 与 分别表示第一颗与第二颗的点数 与 是否独立 可见对所有i j有pij
5、 pi 1 pj 2 故 与 是相互独立的 例10例6中的随机变量 与 是否相互独立 可见 对任何x y有 故 与 相互独立 故 与 不独立 例11例7中的随机变量 与 是否相互独立 4随机变量函数的分布 也有多元函数 f 1 n 等 一 离散型随机变量函数的分布 定义1设f x 是定义在随机变量 的一切可能值x集合上的函数 如果对于 的每一可能取值x 有另一个随机变量 的相应取值y f x 称 为 的函数 记作 f 0 2 0 4 0 1 0 3 故 的分布表为 解 P 0 P 0 0 2 P 1 P 1 P 1 0 2 0 1 0 3 P 4 P 2 P 2 0 1 0 4 0 5 故 的分布为 的概率分布表为 解 P 1 P 0 1 P 1 0 0 4 而P 1 P 1 1 0 2 解 的取值可以为1 2 3 4 P 2 P 4 2 P 5 3 P 4 P 2 P 5 P 3 0 38 类似可算出其它概率 的概率分布表为 二 连续型随机变量函数的分布 P 4 1 x 两边求导 解 当x 0时 0 两边对x求导 0 1 0 x 1时
