《概率论与数理统计课件(中国矿业大学)第六章 2012》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计课件(中国矿业大学)第六章 2012（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第六章 样本及抽样分布 二 抽样分布 一 随机样本 2 100个样品进行强度测试 于是面临下列几个问题 1 估计这批合金材料的强度均值是多少 参数的点估计问题 2 强度均值在什么范围内 参数的区间估计问题 3 若规定强度均值不小于某个定值为合格 那么这 批材料是否合格 参数的假设检验问题 例如某厂生产一型号的合金材料 用随机的方法选取 我们依次讨论参数的点估计 区间估计 假设检验 下面首先引入一些数理统计中的基础知识 3 随机样本 第六章 第一节 一 总体 二 样本 4 一 总体 研究对象的某项数量指标值的全体称为总体 总体中每个研究对象 元素 称为个体 样品 一个统计问题总有它明确的研究
2、对象 例如 测试矿大全体男生的身高 总体 有限总体 无限总体 5 总体可以用一个随机变量X及其分布来描述 此总体就可以用随机变量X或其分布函数 例如 研究某批灯泡的寿命时 这批灯泡中每个 灯泡的寿命是我们所关心的指标 表示 6 二 样本 样本 在总体中抽取的部分个体 样本容量 样本中所含个体的数目n 定义为了准确地进行判断 对抽样有所要求 代表性 样本的每个分量 与总体X有相同的 分布函数 独立性 为相互独立的随机变量 满足以上条件的样本 称为来自总体 X的容量为n的一个简单随机样本 简称样本 7 样本的一次具体实现 称为样本值 联合分布函数为 联合概率密度为 联合分布律为 8 例1设总体 求
3、样本的联合分布律 总体 解 其分布律为 于是的联合分布律为 9 例2设总体 求样本的联合密度函数 解 由已知 总体X的密度函数为 于是的联合分布律为 10 例3设总体X的密度函数为 解 样本的联合密度函数为 求样本的联合密度函数 11 抽样分布 第六章 第二节 一 统计量的定义及常用的统计量 二 几种常用的分布 三 正态总体统计量的分布 12 的函数 它把样本中所含的 某一方面 的信 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 由样本值去推断总体情况 需要对样本值进 行 加工 这就要构造一些合适的依赖于样本 计量 它是完全由样本决定的量 息集中起来 一 统计量的定义及常用的统计量 13 定义1设
4、是来自总体X的一个样本 为一实值连续函数 其不包含任何 未知参数 则称 为一个统计量 为 的观测值 注 仍为随机变量 是一个数 例如总体 是一个样本 则 均为统计量 14 当 未知时 均不是统计量 当 已知时 其为统计量 下面介绍几种常用的统计量 1 样本均值 2 样本方差 设 是来自总体X的一个样本 它反映了总体X取值的平均值的信息 常用来估计EX 15 3 样本标准差 4 样本k阶原点矩 5 样本k阶中心矩 它反映了总体k阶矩的信息 可见 它们的观察值分别为 16 统计量是样本的函数 它是一个随机变量 17 证1 由于 是独立同分布的随机变量 且 例1设总体X的数学期望为 其样本为 18
5、19 下面介绍几种常用的统计量的分布 统计量的分布称为抽样分布 20 记为 1 定义设 相互独立 都服从正态 分布N 0 1 则称随机变量 所服从的分布为自由度为n的 分布 分布 一 二 几种常用的分布 21 分布的密度函数为 来定义 通过积分 其中伽玛函数 22 分布的密度函数 单击可播放电影 23 由分布的定义 不难得到 相互独立 都服从 则 1 设 2 性质 正态分布 证明因为 所以 又X1 X2 Xn相互独立 24 且X1 X2相 这个性质叫分布的可加性 2 设 互独立 则 也是相互独立的 25 则可以求得 E X n D X 2n 3 若 证明 则 所以 应用中心极限定理可得 的分布
6、近似正态分布N 0 1 26 4 c2分布的分位点 称满足条件 定义 对于给定的正数 的点为的上分位点 231页查表 27 记为T t n 所服从的分布为自由度为n的t分布 1 定义 设X N 0 1 Y 则称变量 且X与Y 相互独立 二 t分布 T的密度函数为 28 t分布的密度函数关于x 0对称 当n充分大时 其图形类似于标准正态分布密度函数的图形 29 1 具有自由度为n的t分布的随机变量T的 2 t分布的密度函数关于x 0对称 2 性质 E T 0 D T n n 2 对n 2 数学期望和方差为 当n充分大时 其图形类似于标准正态分布 密度函数的图形 138页 但对于较小的n t分布与
7、N 0 1 分布相差很大 30 3 t分布的分位点 称满足条件 定义 对于给定的正数 的点为分布的上分位点 性质 例 31 因为 由图可知 所以查表可得 故 32 1 定义 设 X与Y相互 独立 则称统计量 服从自由度为 三 F分布 n1及n2的F分布 记作F F n1 n2 33 即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1 2 X的数学期望为 若n2 2 1 由定义可见 F n2 n1 2 性质 若n2 4 34 3 F分布的分位点 对于给定的正数 称满足条件 分位点 分布的上 的点 为 35 证明 设 由定义 36 又因为 故 37 统计三大分布的定义 基本性质在后面的学习中经常用到 要牢记
8、38 例1设总体X Y相互独立 其样本为 试求统计量 服从什么分布 解由已知得 所以 39 例2设总体X服从正态分布 其样本为 解由已知得 所以 故 40 例3已知总体X服从自由度为n的t分布 求证 解由已知得 其中 故 所以 还能得 41 1 单个正态总体的统计量的分布 定理1 设X1 X2 Xn是取自正态总体 的样本 分别为样本均值和样本方差 则有 相互独立 三 正态总体统计量的分布 42 定理2设总体X服从正态分布 是X的样本 分别为样本均值和样本方差 则有 证明 因为 是样本 的线性组 合 故 标准化后可得 43 又因为 相互独立 所以 也相互独立 则由t分布的定义得 44 2 两个正
9、态总体的统计量的分布 定理3 设X1 X2 Xn1与Y1 Y2 Yn2分别是来自 正态总体 的样本 并且这两个样 本相互独立 记 则有 45 当 时 其中 46 例4设总体X服从正态分布 其样本为 解由已知得 得 47 例5设总体X服从正态分布 其样本为 解由已知得 查表 48 例6设总体X服从正态分布 其样本为 解因为 49 例7设总体X服从正态分布 其样本为 解由已知得 所以 标准化得 50 又因为 故 51 例8设总体X Y相互独立 其样本为 试求以下概率 解由已知得 则 所以 52 总体 样本 统计量 描述 作出推断 随机抽样 这一讲 我们介绍了数理统计的基本概念 熟记内容 灵活应用 53 作业 P140习题6 31 3 4 P147习题6 41 4
