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1、1 随机试验 样本空间和随机事件随机事件间的关系与运算随机事件的概率及其性质条件概率 全概公式与贝叶斯公式随机事件 试验的独立性 第一章随机事件及其概率 2 两类现象 在一次试验中结果呈现出不确定性 在大量重复试验中其结果又呈现出一定的规律性的现象 确定现象 在一定条件下必然发生的现象 如 在标准大气压下 水加热至100 时沸腾 上抛一物体必然下落 同性电荷必然相斥 等等 随机现象 如 抛一枚硬币可能出现正面 也可能出现反面 电话交换台在1分钟内接到的呼叫次数 测试在同一工艺下生产的灯泡的寿命 等等 高等数学 线性代数等 概率论 数理统计等 3 试验的结果不止一个 且在试验前能知道试验的所有可
2、能结果 但在一次具体试验之前不能确定会出现哪一种结果 定义1使随机现象得以实现和对它的观察的全过程称为随机试验 E 随机试验具有下列特点 1 随机事件 重复性 随机性 可以在相同条件下重复进行 一 随机实验 4 E1 抛一枚硬币 观察正面H和反面T出现的情况 E2 将一枚硬币连抛三次 观察正 反面出现的情况 E3 将一枚硬币连抛三次 观察正面出现的次数 E4 掷一枚骰子 观察出现的点数 随机试验举例 E5 电话交换台在1分钟内接到的呼叫次数 E6 在一批灯泡中任意抽取一只 测试它的寿命 E7 记录某地一昼夜的最高温度与最低温度 5 定义2随机试验E所有可能结果组成的集合称为E的样本空间 S 样
3、本空间的元素称为样本点 e 二 样本空间与随机事件 E1 抛一枚硬币 观察正面H和反面T出现的情况 S1 H T E2 一硬币连抛三次 观察正面 反面出现的情况 S2 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT 例如 显然 样本点是由试验的目的所确定的 6 E3 一枚硬币连抛三次 观察正面出现的次数 S3 0 1 2 3 E4 掷一枚骰子 观察出现的点数 S4 1 2 3 4 5 6 E5 电话交换台在1分钟内接到的呼叫次数 S5 0 1 2 3 E6 在一批灯炮中任意抽取一只 测试它的寿命 S6 t t 0 E7 记录某地一昼夜的最高温度与最低温度 S7 x y T最低
4、x y T最高 样本空间举例 7 定义3样本空间S的子集称为随机事件 简称为事件 特别的 S称为必然事件 称为不可能事件 单个样本点组成的单点集 e 称为基本事件 试验E 掷一枚骰子 观察出现的点数 样本空间S 1 2 3 4 5 6 出现偶数点 的事件A 2 4 6 例如 出现不小于3的点数 的事件B 3 4 5 6 出现大于6点 的事件为不可能事件 出现点数不超过6 的事件为必然事件S 等等 8 在一次试验中 事件A发生当且仅当A中的一个样本点出现 必然事件在每次试验中均发生 不可能事件在每次试验中均不发生 基本事件两两互斥 且在每次试验中有且有一个发生 说明 9 集合间的关系与运算 意义
5、 事件A发生必导致事件B发生 2 事件A B称为事件A与事件B的和事件 意义 和事件A B发生 事件A与事件B至少有一个发生 三 事件间的关系与运算 10 3 事件A B称为事件A与事件B的积事件 意义 积事件A B发生 事件A与事件B同时发生 4 事件A B称为事件A与事件B的差事件 意义 差事件A B发生 事件A发生 事件B不发生 3 4 11 5 若A B 则称事件A与事件B是互不相容的 或互斥 意义 事件A与事件B互斥 事件A与事件B不能同时发生 6 若A B 且A B S 则称事件A与事件B互为对立事件或互逆 意义 在每次试验中 事件A与事件有且仅有一个发生 5 6 互逆一定互斥 互
6、斥不一定互逆 12 13 例1 用事件A B C的运算关系表示下列复合事件 解 例1 1 A发生 B与C均不发生 特别注意 14 2 A B C至少有一个发生 A B C不会同时不发生 解 对应于不同的等价说法有多种表示形式 A B C至少有一个发生 互斥分解也有各种表示形式 如 15 3 A B C都不发生 4 A B C不多于两个发生 A B C至少有一个不发生 A B C不会同时发生 解 A B C都不发生 A B C至少有一个发生的事件 不发生 解 16 例2 射击3次 事件表示第次命中目标 则事件 至少命中一次 为 解 由事件运算律知 而仅表示 恰有一次击中目标 故应选A B C 例
7、2 17 它表示 甲滞销 与 乙畅销 至少有一个发生 故应选 D 例3 事件A表示 甲产品畅销 乙产品滞销 则其对立事件表示 A 乙畅销 B 甲乙均畅销 C 甲滞销 D 甲滞销或乙畅销 解 设事件B 甲畅销 C 乙畅销 则 从而 例3 18 设好事件 并用简单事件的运算关系来表达复杂事件在解概率题中是基本而重要的 特别 要弄清 恰有 至少 至多 都发生 都不发生 不都发生 等词语的含义 有些文字表达的事件可通过设事件为字母 再利用事件的关系与运算来表达 此外 要注意同一个事件的不同表达形式 注意语言表述的准确性 注意 利用文图易知 差事件可化为积事件 和事件可互斥分解为 显然 这种互斥分解不一
8、定唯一 19 本节要点提示 四个概念 随机现象 随机试验 样本空间 随机事件 四个关系 包含 相等 互斥 互逆 三个运算 和 积 差 事件运算律 20 2 概率及其性质 研究随机事件时 不仅希望了解哪些随机事件可能出现 而且希望知道事件出现的可能性的大小 我们用 0 1 中的一个数来表示随机事件A发生的可能性大小 并称之为该事件的概率 记为P A 一 古典概型 定义1具有下列特点的随机试验称为古典概型 等可能概型 试验的样本点只有有限个 试验中每个基本事件发生的可能性相同 下面沿概率论的发展轨迹介绍概率概念的形成 21 设古典概型 的样本空间 含有n个样本点 事件 包含k个样本点 则事件 的古
9、典概率为 一 古典概率 在古典概率计算中 注意掌握一些如 摸球问题 分房问题 随机取数问题 等典型模型中概率的计算 22 例1 袋中有5只红球和6只黑球 现从中任意取出2只球 试求下列事件的概率 1 取出的2只全为红球 2 取出的2只球中一只为红球一只为黑球 3 取出的2只球中至少有一只黑球 球是可辨的 如编号1 5为红球 6 11为黑球 以保证等可能性 例1 例1 1 摸球问题 分析 理解题意 不放回抽样 摸球模型 23 任意取出2只 如认为是 依次 取出 则样本点是有序结果 计数时采用排列 如认为是 一次 同时取出2只 则样本点是无序结果 计数时采用组合 样本空间和样本点 采用不同方法时
10、样本空间和样本点有所不同 但计算必须在相同样本空间中进行 设好事件 A 取出的2只全为红球 B 取出的2只中红球 黑球各一 C 取出的2只中至少有一只黑球 解 例1 2 24 此时 样本空间是所有的两个不同球的排列 相当于两不同号码的有序数对 注意 同色 1 2 和 2 1 是不同的样本点 正确计数 方法1 依次有序取2只 样本点总数 基本事件总数 相当于 从编号分别为1 11的11张卡片中任意取2张的 不同排列种数 即 1 A所含的样本点数相当于 从编号分别为1 5的5张卡片中任意取2张的 不同排列种数 即 例1 3 25 2 B所含的样本点分两类 先红后黑 相当于 从编号1 5中取1个 再
11、从编号6 11中取1个 由乘法原理知 共有5 6个不同样本点 先黑后红 相当于 从编号中6 11取1个 再从编号1 5中取1个 由乘法原理知 共有6 5个不同样本点 因此由加法原理知 B所含样本点总数为 故由古典概率计算公式得 例1 4 26 故由古典概率计算公式得 3 C所含的样本点分两类 一红一黑 先红后黑 先黑后红 有60个 两黑 从编号6 11中取2个 的排列数 有6 5 30个 因此 由加法原理知 C所含样本点总数为 故由古典概率计算公式得 例1 5 27 此时 样本空间是所有的两个不同球的组合 相当于一次取两不同号码的不同组合 注意 同色 1 2 和 2 1 是同一个样本点 方法2
12、 一次无序取2只 样本点总数相当于 从编号分别为1 11的11张卡片中任意取2张的 不同组合种数 即 1 A所含的样本点数相当于 从编号分别为1 5的5张卡片中任意取2张的 不同排列种数 即 例1 6 28 故由古典概率计算公式得 2 B所含的样本点数相当于 从编号1 5中取1个 再从编号6 11中取1个 的不同组合数 因此 由乘法原理知 B所含样本点总数为 故由古典概率计算公式得 例1 7 29 故由古典概率计算公式得 3 C所含的样本点分两类 一红一黑 两黑 从编号6 11中取2个 组合数 因此 由加法原理知 C所含样本点总数为 例1 8 30 从N件产品中任取n件 每种不同取法就是一个样
13、本点 样本点总数 基本事件总数 相当于是 从N个相异元素中取n个元素 的组合数 即为 例2 超几何分布 例2 设有N件产品 其中D件为次品 现从中作不放回抽样任取n件 求其中恰有k k D 件次品的概率 解 N件产品是可辨的 不放回任取n件 相当于 一次同时取n件 因而 试验结果是无序的 设事件A 任取n件中恰有k件次品 则其所含样本点总数相当于 从D件次品中取k件 再从N D件正品中取 31 故由古典概率公式得 许多问题 如正品次品 男生女生等 与本例属于相同的数学模型 这种类型概率称为超几何分布 n k件 的不同组合数 由乘法原理知为 例2 2 32 例3 将n只球随机地放入N个盒子中去
14、N n 试求 每个盒子至多有一球 的概率 设盒子容量不限 解 由于盒子容量不限 所以n只球放入N个盒子的每种放法就是一个样本点 例3 球入盒问题 分房问题 样本点总数为 从N个盒子中可重复地取n个的排列数 每个球有N种放法 一共有n只球 由乘法原理知有Nn种 而 每个盒子至多有一只球 的有利场合数知为 分房问题 33 从N个盒子中选n个 出来 再放入n只球 n 由乘法原理 故所求概率为 许多问题 生日问题 住房问题 乘客下车问题等 与本例属于相同的数学模型 例3 2 因此 n人中至少有两人生日相同 的概率为 例如 生日问题 n 365 个人生日各不相同的概率为 34 n人中至少有两人生日相同的
15、概率 例3 3 35 例4 从0 1 2 9共十个数中随机取4个 求下列事件的概率 1 A1 4个数中不含1和8 2 A2 4个数中既含1也含8 3 A3 4个数中不含1或8 解 显然 基本事件总数 十取四的组合 三事件的有利场合数分别为 除1 8外的八取四的组合 随机取数问题 例4 随机取数问题 36 1 8必取 再在除1 8外的八取二的组合 乘法原理 不含 1或8 分为互斥的三类 含1不含8 含8不含1 既不含1也不含8 加法原理 故所求概率分别为 例4 2 37 小概率事件在一次具体试验中几乎是不会发生的 统计推断原理 小概率事件在大量重复试验中几乎是必然发生的 关于小概率事件的重要结论
16、 下面的例题是利用统计推断原理对某种假设作出判断 接受或拒绝 这在数理统计的假设检验中是非常有用的 统计推断原理 38 例4 某接待站在某一周内接待了12次来访者 已知所有这些来访都是在星期二与星期四进行的 问能否由此推断该接待站的接待时间是有规定的 解 若接待时间没有规定 且来访者可在一周内任何一天到接待站 则 12次来访都在星期二与星期四 的概率为 千万分之三 人 球 星期几 盒 抽象 模型化 例4 小概率事件 39 现在小概率事件竟然在一次试验中发生 因此依据统计推断原理可以认为 该接待站的接待时间是有规定的 例4 2 40 理解题意 分析随机试验的基本事件 构造尽可能简单的等可能的样本空间 特别是不同方法求解时 必须在同一样本空间中进行计算 设好事件 一般在理解题意前提下 设出一些简单事件 使其它复杂事件能利用简单事件的关系与运算表达出来 正确计数 计算样本点总数 基本事件总数 和事件所含样本点总数 有利场合数 避免计数的重复或遗漏 常用到排列 组合 乘法原理和加法原理等知识 计算古典概率的基本思路 41 利用公式 常用古典概率计算公式 对立事件概率公式 加法公式 全概公式 贝
