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1、Ch3 1 Ch3 2 第三章 多维随机变量及其分布 Ch3 3 在实际问题中 试验结果有时需要同 时用两个或两个以上的r v 来描述 例如用温度和风力来描述天气情况 通过对含碳 含硫 含磷量的测定来研究 需考虑多维r v 及其取值规律 多维分布 钢的成分 要研究这些r v 之间的联系 就 Ch3 4 3 1二维随机变量及其分布 定义设 为随机试验的样本空间 则称 X Y 为二维r v 或二维随机向量 3 1 Ch3 5 二维随机变量的联合分布函数 定义设 X Y 为二维r v 对任何一对 定义了一个二元 实函数F x y 称为二维r v X Y 的分布函数 即 记为 的概率 实数 x y 事
2、件 Ch3 6 分布函数的几何意义 如果用平面上的点 x y 表示二维r v X Y 的一组可能的取值 则F x y 表示 X Y 的取值落入图所示角形区域的概率 x y Ch3 7 联合分布函数的性质 x y F性质 Ch3 8 Ch3 9 固定x 对任意的y1 y2 固定y 对任意的x1 x2 F x0 y0 F x0 0 y0 F x0 y0 F x0 y0 0 F x y1 F x y2 F x1 y F x2 y Ch3 10 F b d F b c F a d F a c 0 事实上 F b c F a d F a c F b d Ch3 11 例1 设 讨论F x y 能否成为二
3、维r v 的分布函数 解 x y 1 故F x y 不能作为某二维r v 的分布函数 例1 Ch3 12 注意对于二维r v a c a c Ch3 13 二维随机变量的边缘分布函数 Ch3 14 例2设随机变量 X Y 的联合分布函数为 其中A B C为常数 确定A B C 求X和Y的边缘分布函数 求P X 2 例2 Ch3 15 解 1 2 Ch3 16 3 可以将二维r v 及其边缘分布函数的概念推广到n维r v 及其联合分布函数与边缘分布函数 Ch3 17 定义若二维r v X Y 所有可能的取值为有限多个或无穷可列多个 则称 X Y 为二维离散型r v 要描述二维离散型r v 的概率
4、特性及其与每个r v 之间的关系常用其联合概率分布和边缘概率分布 离散 Ch3 18 联合分布律 设 X Y 的所有可能的取值为 则称 为二维r v X Y 的联合概率分布也简称概率分布或分布律 显然 Ch3 19 二维离散r v 的联合分布函数 已知联合分布律可以求出其联合分布函数 反之 由分布函数也可求出其联合分布律 Ch3 20 二维离散r v 的边缘分布律 由联合分布可确定边缘分布 其逆不真 Ch3 21 x1xi X Y 的联合分布律 Ch3 22 1 x1xi 联合分布律 及边缘分布律 Ch3 23 的求法 利用古典概型直接求 利用乘法公式 Ch3 24 例3某校新选出的学生会6名
5、女委员 文 理 工科各占1 6 1 3 1 2 现从中随机指定2人为学生会主席候选人 令X Y分别为候选人中来自文 理科的人数 解X与Y的可能取值分别为0 1与0 1 2 求 X Y 的联合分布律和边缘分布律 例3 由乘法公式 Ch3 25 或由古典概型 相仿有 Ch3 26 故联合分布律与边缘分布律为 01 012 3 156 151 15 3 152 150 pi p j 1 3 2 3 1 6 158 151 15 Ch3 27 例4二元两点分布 p j pi 10 10 pq pq 1 p q 1 0 p 1 例4 Ch3 28 作业P131习题三 123 习题 Ch3 29 二维连续
6、r v 及其概率特性 定义设二维r v X Y 的分布函数为F x y 若存在非负可积函数f x y 使得对于任意实数x y有 则称 X Y 为二维连续型r v f x y 为 X Y 的联合概率密度函数简称概率密度函数简记p d f 连续 Ch3 30 联合密度与联合分布函数的性质 除d f 的一般性质外还有下述性质 从而有 f性质 Ch3 31 P X a Y 0 P X Y a 0 若G是平面上的区域 则 Ch3 32 边缘分布函数与边缘d f 与离散型相同 已知联合分布可以求得边缘分布 反之则不能唯一确定 Ch3 33 例5设r v X Y 的联合d f 为 其中k为常数 求 常数k
7、P X Y 1 P X 0 5 联合分布函数F x y 边缘d f 与边缘分布函数 例5 Ch3 34 解令 1 Ch3 35 2 0 5 Ch3 36 的分段区域 Ch3 37 当0 x 1 0 y x时 3 当x 0或y 0时 F x y 0 当0 x 1 x y 1时 Ch3 38 当0 x 1 y 1时 Ch3 39 当x 1 0 y 1时 当x 1 y 1时 Ch3 40 Ch3 41 4 Ch3 42 Ch3 43 也可直接由联合d f 求边缘d f 再积分求边缘分布函数 例如 Ch3 44 作业P 132习题三 671011 习题 Ch3 45 常用连续型二维随机变量分布 G是平
8、面上的有界区域 面积为A 若r v X Y 的联合d f 为 则称 X Y 服从区域G上的均匀分布 常见连续分布 Ch3 46 则 G1 G 设G1的面积为A1 若 X Y 服从区域G上的均匀分布 边平行于坐标轴的矩形域上的均匀分布的边缘分布仍为均匀分布 Ch3 47 例6设 X Y G上的均匀分布 f x y P Y X2 X Y 在平面上的落点到y轴距离小于0 3的概率 例6 求 Ch3 48 解 1 2 Ch3 49 3 Ch3 50 若r v X Y 的联合为 则称 X Y 服从参数为 1 12 2 22 的正态分布 记作 X Y N 1 12 2 22 其中 1 2 0 1 1 二维
9、正态分布 Ch3 51 Clear f x y f x y Exp x 2 y 2 2 2Pi Plot3D f x y x 3 3 y 3 3 ViewPoint 2 869 1 790 0 110 AspectRatio 0 6 PlotPoints 30 Ch3 52 二维正态分布图 Ch3 53 Ch3 54 二维正态分布剖面图 Ch3 55 正态分布的边缘分布仍为正态分布 Ch3 56 令 B为正定矩阵 再令则二维正态联合d f 为 推广 Ch3 57 本节结束 Ch3 58 每周一题7 第7周 问题 某中外合资公司准备通过考试招工200名 其中180名正式工 20名临时工 报考人数为1684名 考试满分为300分 阅卷后人事部门公布如下信息 平均成绩是178分 270以上的高分有32名 考生小王的成绩是233分 他能否被录取 如被录取能否是正式工
