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1、概率统计与随机过程 宋晖 2012 第二章样本估计 统计基础区间估计单样本 估计均值预测区间两样本 估计均值差 区间估计 intervalestimation 引入点估计方法简单 意义明确 但无法判断估计结果的稳定性 估计值因样本不同产生误差考虑寻找参数存在的范围 以及落入该范围的概率根据样本数据 求得两个数值 构成一个置信区间 confidenceinterval C I 给出参数的可能范围 估计大学生平均每月可用零用钱为1000元 该估计为单一数值 是点估计 若估计大学生平均每月可用零用钱介於600 2000元 为区间估计 关系置信区间估计量基于点估计随着样本容量增大 2 n随之减少 估计
2、区间变小 则称随机区间为 的置信水平为1 的置信区间 分别称为置信下限和置信上限 置信水平也称为置信度 通常 较小 1 较大 连续型总体 则取 例1 假设容器中装的硫磺酸容量逼近正态分布 7个容器中的容量分别为 9 8 10 2 10 4 9 8 10 0 10 2和9 6L 求所有容器均值的95 的置信区间 问题分析 样本 xi N 2 根据抽样数据 可得 1 样本均值2 标准差求解 估计均值的置信区间 单样本 估计均值 样本均值符合正态分布 N 2 n 存在历史经验参数 没有经验参数 未知 故对于给定的置信水平1 查表可求得Z 2使得 等价地有 的样本均值为 根据Lindeberg Lev
3、y定理 样本均值估计 0已知 1 Z1 2 1 于是 的置信水平为0 95的一个置信区间为 未知参数 的置信水平为1 的置信区间 给出了 的点估计 给出了 所在的一个范围 都可以作为 的点估计 其估计误差 以上分析的可信度为95 即若反复抽样100次 则包含真值 的区间约有95个 不包含 的区间大约只有5个 样本均值估计 未知 对给定的置信水平1 可求得 使得 2的无偏估计分别为 那么 等价地有 故 的置信水平为1 的置信区间为 均值 的置信水平为1 的置信区间 例1 解答 假设容器中装的硫磺酸容量逼近正态分布 7个容器中的容量分别为 9 8 10 2 10 4 9 8 10 0 10 2和9
4、 6L 求所有容器均值的95 的置信区间 解 根据抽样数据 样本均值和标准差分别为10 0和0 283 共有7个样本 自由度n 6 0 05查表可得t 2 447 由此 的95 的置信区间为 即 9 47 10 26 单边置信某些应用中 只需要单边界 如 某条河流中汞的含量上限 C硬盘的寿命下限 对于给定的置信水平1 查表可求得Z 使得 单边上界 单边下界 预测区间预测区间给出新样本可能出现的数据范围 以及置信度在质量控制中 利用估测样本预测新样本的观测值 例2 Citizen银行收到抵押申请 最新50个申请样本中 平均值为257300美元 假设总体标准差为25000美元 那么置信度为95 时
5、下一名顾客借贷金额 问题分析 样本 xi N 2 根据抽样数据 可得 样本均值 标准差求解 预测值的置信区间 预测值的分布 假设 新观测值为X0 随机误差的方差为 2 所有样本都来自于正态分布总体 构造统计量 Y N 0 1 利用统计量Y的概率分布可以计算 例2 解答 Citizen银行收到抵押申请 最新50个申请样本中 平均值为257300美元 假设总体标准差为25000美元 那么置信度为95 时下一名顾客借贷金额 解 总体方差为25 000 样本值为257 300 y0 025 1 96 即 207812 43 x0 306787 57 预测区间计算 未知 对于未知均值 方差 2未知的正态
6、抽样分布 新观测值x0置信度为1 的预测区间为 例3 随机检验30包瘦牛肉 样本结果的均值为瘦肉含量96 2 标准差为0 8 就一个新样本的99 置信的预测区间 解 自由度n 29 t0 0005 2 756 99 置信的预测区间为 即 93 96 x0 98 44 其中 t 2是自由度为n 1 其右边面积为 2的t值 总结单样本 估计均值 样本来自一个总体 的置信区间 2已知 2未知单边置信区 2已知 2未知预测区间 2已知 2未知 例4 为了提高某化学产品得率 试采用新工艺 在对比试验中 用老工艺进行了8次试验 计算出得率的样本方差 用新工艺进行了8次试验 计算出得率的平均值 样本方差 假
7、定老 新工艺的得率且两样本相互独立 试求 1 2的置信水平为0 95的置信区间 问题分析 已知 两个总体 均值分别为 1和 2方差 12和 22 1 2点估计值 为目标 找出其概率分布 两样本 估计均值差 根据中心极限定理的推论 抽样分布近似正态分布 n1 n2 30 均值 标准差 1 2的1 置信区 12和 22已知 说明 在实例中 如果 1 2 0的置信度很高 可以推断 1 2 例4 解答 老工艺进行8次试验 得率的平均值样本方差 新工艺进行8次试验 得率的平均值 样本方差 假定老 新工艺的得率分别为两样本相互独立 试求 1 2的置信水平为0 95的置信区间 解 由题给条件有 求得 1 2
8、的置信度为0 95的置信区间为 问 新工艺是否能显著提高产品得率 故不能认为新工艺显著提高了产品得率 方差未知 12 22 2 为自由度n1 1和n2 1的卡方分布 T符合自由度n1 n2 2的t分布 由此可知 且 水平为1 的置信区间 的无偏估计分别为 故的置信度为的置信区间为 2 1 2 总结两样本 样本来自两个总体均值差置信区 2已知 正态分布 2未知 t分布方差比置信区间F分布 作业 推导 未知时 预测区间计算公式编程实现单样本均值和方差的区间估计 输入 样本 已收集的样本 xls文件 置信度输出 均值估计 区间 样本均值和方差的概率分布图实现 1 xls文件读写C 或JAVA实现2 调用Matlab函数实现数据计算 画图3 分析结果 意义续在报告中4 设计自己的系统 以便不断扩充数据分析功能
