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1、 第二讲变分法与最优控制 主要内容 2 1变分法概述2 2无约束最优化问题无约束固定端点泛函极值必要条件无约束自由端点泛函极值必要条件2 3等式约束最优化问题2 4变分法求解最优控制问题引入哈密顿函数求解拉格朗日问题求解综合型 波尔扎 问题 2 1变分法概述1 泛函定义2 泛函的连续性3 泛函的极值4 线性泛函5 泛函的变分6 泛函变分的求法7 泛函变分的规则8 泛函极值的条件 2 1变分法概述 1 泛函定义定义 如果变量y对于某一函数类中的每一个函数x t 都有一个确定的值与之对应 那么就称变量y为依赖于函数x t 的泛函 记为 y J x t 说明 由于函数的值是由自变量的选取而确定的 而
2、泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的 所以将泛函理解为 函数的函数 例2 1 是一个泛函 变量J的值是由函数x t 的选取而确定 当时 有 当时 有 例2 2 曲线的弧长求 平面上连接给定两点A x0 y0 和B x1 y1 的曲线的弧长J A B两点间的曲线方程为 y f x A B两点间的弧长为 泛函的上述概念 可以推广到含有几个函数的泛函的情况 例如 求一般函数极值微分法求泛函极值变分法 2 泛函的连续性 函数相近 零阶相近 当函数x t 与x0 t 之差的绝对值 即 x t x0 t t1 t t2对于x t 的定义域中的一切t t1 t t2 都很小时 称函数x t 与函数x0 t
3、 是相近的 也称为零阶相近 一阶相近当函数x t 与x0 t 之差的绝对值以及它们的一阶导数和之差的绝对值 即t1 t t2都很小 称函数x t 与函数x0 t 是一阶相近的 注意 一阶相近的两个函数 必然是零阶相近 反之不成立 K阶相近当t1 t t2都很小时 称函数x t 与函数x0 t 是k阶相近的 函数间距离在不同的函数空间 函数间的距离定义也不同 在函数空间C a b 在区间 a b 上连续的函数的全体构成的函数空间 中 通常采用下式定义距离 在函数空间Ck a b 在区间 a b 上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间 中 任意两个函数间的距离定义为 显然 式 2 1
4、 定量地表示两个函数之间的零阶相近度 而式 2 1 定量地表示两个函数之间的k阶相近度 2 1 2 2 零阶距离 零阶距离 函数间距离在不同的函数空间 函数间的距离定义也不同 在函数空间C a b 在区间 a b 上连续的函数的全体构成的函数空间 中 通常采用下式定义距离 在函数空间Ck a b 在区间 a b 上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间 中 任意两个函数间的距离定义为 2 1 函数间距离在不同的函数空间 函数间的距离定义也不同 在函数空间C a b 在区间 a b 上连续的函数的全体构成的函数空间 中 通常采用下式定义距离 在函数空间Ck a b 在区间 a b 上
5、连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间 中 任意两个函数间的距离定义为 函数间距离在不同的函数空间 函数间的距离定义也不同 在函数空间C a b 在区间 a b 上连续的函数的全体构成的函数空间 中 通常采用下式定义距离 在函数空间Ck a b 在区间 a b 上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间 中 任意两个函数间的距离定义为 函数间距离在不同的函数空间 函数间的距离定义也不同 在函数空间C a b 在区间 a b 上连续的函数的全体构成的函数空间 中 通常采用下式定义距离 在函数空间Ck a b 在区间 a b 上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空
6、间 中 任意两个函数间的距离定义为 函数间距离在不同的函数空间 函数间的距离定义也不同 在函数空间C a b 在区间 a b 上连续的函数的全体构成的函数空间 中 通常采用下式定义距离 在函数空间Ck a b 在区间 a b 上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间 中 任意两个函数间的距离定义为 函数间距离在不同的函数空间 函数间的距离定义也不同 在函数空间C a b 在区间 a b 上连续的函数的全体构成的函数空间 中 通常采用下式定义距离 在函数空间Ck a b 在区间 a b 上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间 中 任意两个函数间的距离定义为 函数间距离在
7、不同的函数空间 函数间的距离定义也不同 在函数空间C a b 在区间 a b 上连续的函数的全体构成的函数空间 中 通常采用下式定义距离 在函数空间Ck a b 在区间 a b 上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间 中 任意两个函数间的距离定义为 函数间距离在不同的函数空间 函数间的距离定义也不同 在函数空间C a b 在区间 a b 上连续的函数的全体构成的函数空间 中 通常采用下式定义距离 在函数空间Ck a b 在区间 a b 上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间 中 任意两个函数间的距离定义为 零阶距离 零阶距离 函数间距离在不同的函数空间 函数间的距离
8、定义也不同 在函数空间C a b 在区间 a b 上连续的函数的全体构成的函数空间 中 通常采用下式定义距离 在函数空间Ck a b 在区间 a b 上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间 中 任意两个函数间的距离定义为 泛函的连续性如果对于任意给定的正数 可以找到这样一个 0 当d x t x0 t 时 存在 J x t J x0 t 那么 就说泛函J在点x0 t 处是连续的 根据所采用的函数之间距离定义的不同 对应的泛函分别称为零阶连续泛函 2 1 或k阶连续泛函 2 2 3 泛函的极值 如果是在与仅仅具有零阶接近度的曲线的泛函中比较得出的极值 称为强极值 如果是在与具有一阶
9、或一阶以上接近度的曲线的泛函中比较得出的极值 则称为弱极值 4 线性泛函 连续泛函如果满足下列条件 1 叠加原理 J x1 t x2 t J x1 t J x2 t 2 齐次性 J cx t cJ x t 其中 c是任意常数 就称为线性泛函 例如 都满足上述两个条件 故均为线性泛函 5 泛函的变分 宗量的变分若函数x t 是变量J的自变量函数 则称x t 为泛函J x t 的宗量函数 宗量的变分是指在同一函数类中的两个宗量函数间的差 也就是说 泛函的变分是泛函增量的线性主部 当一个泛函具有变分时 称该泛函是可微的 泛函的变分当宗量x t 有变分时 泛函的增量可以表示为 其中 L x t x t
10、 是关于 x t 的线性连续泛函 r x t x t 是关于 x t 的高阶无穷小 L x t x t 称为泛函的变分 记为 线性主部 6 泛函变分的求法 定理2 1连续泛函J x 的变分 等于泛函对 的导数在 0时的值 即 定理2 2连续泛函J x 的二次变分定义为 证明略 证明略 7 泛函变分的规则 求泛函的变分 例2 3 8 泛函极值的条件 泛函极值的必要条件 定理2 3连续可微泛函J x 在x0 t 上达到极值的必要条件为 J x 在x x0处必有 泛函极值的充要条件 定理2 4设可微泛函J x 存在二次变分 则在x x0处达到极小值的充要条件为 同理 设可微泛函J x 存在二次变分
11、则在x x0处达到极大值的充要条件为 主要内容 2 1变分法概述2 2无约束最优化问题无约束固定端点泛函极值必要条件无约束自由端点泛函极值必要条件2 3等式约束最优化问题2 4变分法求解最优控制问题引入哈密顿函数求解拉格朗日问题求解综合型 波尔扎 问题 2 2无约束最优化问题 1 无约束固定端点泛函极值必要条件 问题2 1 无约束固定终端泛函极值问题为 其中 及x t 在 t0 tf 上连续可微 t0及tf固定 求满足上式的极值轨线x t x t0 x0 x tf xf 定理2 5若给定曲线x t 的始端x t0 x0和终端x tf xf 则泛函 达到极值的必要条件是 曲线x t 满足欧拉方程
12、 其中x t 应有连续的二阶导数 则至少应是二次连续可微的 欧拉 Euler 方程 证明略 边界条件 或 欧拉方程的全导数形式 在中 第二项为全导数 令 得欧拉方程的全导数形式 或 例2 4 求泛函在边界条件 下的极值曲线及极值 几种特殊的欧拉方程 可以得到封闭形式的解 被积函数L不依赖于 即被积函数L不依赖于x 即被积函数L不依赖于t 即在这种情况下 欧拉方程的首次积分为其中c是待定的积分常数 实际上 将上式左边对t求全导数 有 被积函数L线性地依赖于 即 例2 5 最速降线 又称捷线 问题 设在竖直平面内有两点A和B 它们不在同一条铅垂线上 现有一质点受重力的作用自较高的A点向较低的B点滑
13、动 如果不考虑各种阻力的影响 问应取怎样的路径 才能使所经历的时间最短 在A B两点所在的竖直平面内选择一坐标系 如上图所示 A点为坐标原点 水平线为x轴 铅垂线为y轴 结论 最速降线是一条圆滚线 对于向量空间的泛函 也存在着欧拉方程 不过是欧拉方程组 即向量欧拉方程 定理2 6在n维函数空间中 若极值曲线X t x1 t x2 t xn t T的始端X t0 x1 t0 x2 t0 xn t0 T和终端X tf x1 tf x2 tf xn tf T是给定的 则泛函 达到极值的必要条件是曲线X t 满足向量欧拉方程 其中X t 应有连续的二阶导数 而则至少应是二次连续可微的 向量欧拉方程 或
14、 向量欧拉方程 向量欧拉方程 可写成标量方程组 例2 6 求泛函满足边界条件的极值函数 思考 能否利用MATLAB符号工具箱求解微分方程组 当极值曲线x t 的端点变化时 要使泛函达到极小值 x t 首先应当满足欧拉方程 若端点固定 可以利用端点条件 确定欧拉方程中的两个待定的积分常数 问题 若端点可变 如何确定这两个积分常数 2 2无约束最优化问题 2 无约束自由端点泛函极值必要条件 横截条件 图形分析 都固定 图a 即 即 固定 自由图b 即 因为自由所以 终端仅在上滑动 求出最优 许多状态轨线 自由 固定 图c则横截条件变为 始端仅在上滑动 端点变动的情况 自由端点 无约束条件的变分 如
15、图 始点在曲线上变动 终点在曲线上变动 问题描述 假定极值曲线的始端A t0 x0 是固定的 而终端B tf xf 是可变的 并沿着给定的曲线 现在的问题是 需要确定一条从给定的点A t0 x0 到给定的曲线上的某一点B tf xf 的连续可微的曲线x t 使得泛函 达到极小值 变动 如右下图所示 横截条件 定理2 7若曲线x t 由一给定的点 t0 x0 到给定的曲线x tf tf 上的某一点 tf xf 则泛函 达到极值的必要条件是 x t 满足欧拉方程 和横截条件 其中x t 应有连续的二阶导数 则至少应是二次连续可微的 而 t 则应有连续的一阶导数 证明略 若极值曲线的始端不是固定的
16、并沿着曲线 变动 则同样可以推导出始端的横截条件 定理2 7扩展 根据定理2 7和上式 可得到端点可变时 Lagrange问题的解 除有欧拉方程外 还有横截条件 1 始端 终端可变 即x t0 t0 x tf tf 则横截条件为 2 当t0 tf可变 而x t0 与x tf 固定时 则横截条件为 3 当t0 tf固定 而x t0 与x tf 可变时 即始端与终端分别在t t0 t tf上滑动 则横截条件为 横截条件总结 定理2 7和以上几种情况的横截条件 都可以将其推广到n维函数向量X t x1 t x2 t xn t T的泛函的情形 定理2 8在n维函数空间中 若曲线X t x1 t x2 t xn t T的始端X t0 x1 t0 x2 t0 xn t0 T是固定的 而终端X tf x1 tf x2 tf xn tf T是可变的 且在曲面X tf tf 上变动 则泛函 达到极值的必要条件是 曲线X t 满足向量欧拉方程 和横截条件 若曲线X t x1 t x2 t xn t T的始端不是固定的 而是可变的 并在给定的曲面 上变动 其中 则同样可以推导出始端的横截条件为 例2 7 泛
