6第六章方差分析

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1、第六章方差分析 为什么要进行方差分析 第五章中我们介绍了如何进行检验来确定两个总体之间是否有显著差异 实际中还会遇到检验多个总体参数 如检验多个总体均值是否相等的问题 当然也会遇到检验多个总体的多个变量之间是否相等的问题等等 这时我们就要用到方差分析 例 某饮料生产企业研制出一种新型饮料 饮料的颜色共有四种 橘黄色 粉色 绿色和无色透明 这四种饮料的营养含量 味道 价格 包装等可能影响销售量的因素全部相同 现从地理位置相似 经营规模相仿的五家超市上收集了该种饮料的销售情况 什么是方差分析 该饮料在五家超市的销售情况 什么是方差分析 检验饮料的颜色对销售量是否有影响 也就是检验四种颜色饮料的平均

2、销售量是否相同这一问题归结为一个检验问题 即 检验饮料颜色对销售量是否有影响 2 设 1为无色饮料的平均销售量 2粉色饮料的平均销售量 3为橘黄色饮料的平均销售量 4为绿色饮料的平均销售量 也就是检验下面的假设H0 1 2 3 4H1 1 2 3 4不全相等检验上述假设所采用的方法就是方差分析 方差分析的原理 从方差分析的目的看 是要检验四种颜色的饮料的销售均值是否相等 我们可用方差比较的方法来判断 销售的差异的产生来自两个方面 一方面是由不同颜色的差异造成的 既不同的饮料颜色对销售量产生了影响另一方面是由于抽选样本的随机性而产生的差异 即各颜色内的随机误差 如相同颜色的饮料在不同的商场销售量

3、也不同 方差分析的原理 这两个方面产生的差异可以用两个方差来计量 一个称为水平之间 组间 方差 组间平方和除以自由度 r 1 r为组数 一个称为水平内部 组内 方差 组内平方和除以自由度 n 1 n为样本容量总数 水平之间的方差既包括系统性因素 也包括随机性因素 水平内部方差仅包括随机性因素 组内方差因素的同一水平 同一个总体 下样本数据的方差比如 无色饮料A1在5家超市销售数量的方差组内方差只包含随机误差组间方差因素的不同水平 不同总体 下各样本之间的方差比如 A1 A2 A3 A4四种颜色饮料销售量之间的方差组间方差既包括随机误差 也包括系统误差 方差分析的基本思想和原理 随机误差在因素的

4、同一水平 同一个总体 下 样本的各观察值之间的差异比如 同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响 或者说是由于抽样的随机性所造成的 称为随机误差系统误差在因素的不同水平 不同总体 下 各观察值之间的差异比如 同一家超市 不同颜色饮料的销售量也是不同的这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的 也可能是由于颜色本身所造成的 后者所形成的误差是由系统性因素造成的 称为系统误差 10 该饮料在五家超市的销售情况 首先 四种颜色的销售情况可看作为分为四个组 方差分析的原理 如果不同的水平 饮料颜色 对结果没有影响 那么在水平之间的方差中 就仅仅有随机因素的差

5、异 而没有系统性差异 它与水平内部方差就应该近似 两个方差的比值就会接近于1 方差分析的原理 反之 水平之间的方差就会大于水平内的方差 当这个比值达到某个程度 或者说达到某临界点 就可做出判断 既不同的水平之间存在着显著差异 因此 方差分析就是通过不同方差的比价 做出拒绝原假设或不能拒绝原假设的判断 方差分析的原理 水平间的方差和水平内方差之比是一个统计量 这个统计量服从F分布 自由度为 3 20 和 50 20 的F 分布密度曲线图 方差分析的种类 单因素的方差分析分析一个变量时One WayANOVA多因素的方差分析Univariate分析多个变量时 称为多元方差分析Multivariat

6、e 应用方差分析的条件 各组的观察数据 要看作是从服从正态分布的总体随机抽取的样本 各组的观察数据 是从具有相同方差的相互独立的总体中抽取得到的 一元单因素方差分析 单因素方差分析的数据结构 单因素方差分析的步骤提出假设构造检验统计量统计决策 提出假设 一般提法H0 m1 m2 mk 因素有k个水平 H1 m1 m2 mk不全相等对前面的例子H0 m1 m2 m3 m4颜色对销售量没有影响H0 m1 m2 m3 m4不全相等颜色对销售量有影响 构造检验的统计量 为检验H0是否成立 需确定检验的统计量构造统计量需要计算水平的均值全部观察值的总均值离差平方和均方 MS 23 SST SSE SSA

7、 构造检验的统计量 计算水平的均值 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本 第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数计算公式为 式中 ni为第i个总体的样本观察值个数xij为第i个总体的第j个观察值 构造检验的统计量 计算全部观察值的总均值 全部观察值的总和除以观察值的总个数计算公式为 构造检验的统计量 前例计算结果 构造检验的统计量 计算总离差平方和SST 全部观察值与总平均值的离差平方和反映全部观察值的离散状况其计算公式为 前例的计算结果 SST 26 5 28 695 2 28 7 28 695 2 32 8 28 695 2 115 9295 构造检验的

8、统计量 计算误差项平方和SSE 每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和反映每个样本各观察值的离散状况 又称组内离差平方和该平方和反映的是随机误差的大小计算公式为 前例的计算结果 SSE 39 084 构造检验的统计量 计算水平项平方和SSA 各组平均值与总平均值的离差平方和反映各总体的样本均值之间的差异程度 又称组间平方和该平方和既包括随机误差 也包括系统误差计算公式为 前例的计算结果 SSA 76 8455 构造检验的统计量 三个平方和的关系 总离差平方和 SST 误差项离差平方和 SSE 水平项离差平方和 SSA 之间的关系 SST SSE SSA 构造检验的统计量 三个平方和的

9、作用 SST反映了全部数据总的误差程度 SSE反映了随机误差的大小 SSA反映了随机误差和系统误差的大小如果原假设成立 即H1 H2 Hk为真 则表明没有系统误差 组间平方和SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会太大 如果组间均方显著地大于组内均方 说明各水平 总体 之间的差异不仅有随机误差 还有系统误差判断因素的水平是否对其观察值有影响 实际上就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小为检验这种差异 需要构造一个用于检验的统计量 构造检验的统计量 计算均方MS 各离差平方和的大小与观察值的多少有关 为了消除观察值多少对离差平方和大小的影响 需要将其平均 这就是

10、均方 也称为方差计算方法是用离差平方和除以相应的自由度三个平方和的自由度分别是SST的自由度为n 1 其中n为全部观察值的个数SSA的自由度为k 1 其中k为因素水平 总体 的个数SSE的自由度为n k 构造检验的统计量 计算均方MS SSA的均方也称组间方差 记为MSA 计算公式为 SSE的均方也称组内方差 记为MSE 计算公式为 构造检验的统计量 计算检验的统计量F 将MSA和MSE进行对比 即得到所需要的检验统计量F当H0为真时 二者的比值服从分子自由度为k 1 分母自由度为n k的F分布 即 构造检验的统计量 F分布与拒绝域 如果均值相等 F MSA MSE 1 统计决策 将统计量的值

11、F与给定的显著性水平 的临界值F 进行比较 作出接受或拒绝原假设H0的决策根据给定的显著性水平 在F分布表中查找与第一自由度df1 k 1 第二自由度df2 n k相应的临界值F 若F F 则拒绝原假设H0 表明均值之间的差异是显著的 所检验的因素 A 对观察值有显著影响若F F 则不能拒绝原假设H0 表明所检验的因素 A 对观察值没有显著影响 单因素方差分析表 基本结构 MSE 单因素方差分析 一个例子 例 为了对几个行业的服务质量进行评价 消费者协会在零售业 旅游业 航空公司 家电制造业分别抽取了不同的样本 其中零售业抽取7家 旅游业抽取了6家 航空公司抽取5家 家电制造业抽取了5家 然后

12、记录了一年中消费者对总共23家服务企业投诉的次数 结果如表 试分析这四个行业的服务质量是否有显著差异 0 05 单因素方差分析 一个例子 关系强度的测量 拒绝原假设表明因子 自变量 与观测值之间有显著关系组间平方和 SS组间 度量了自变量 超市位置 对因变量 销售额 的影响效应当组间平方和比组内平方和 SSE 大 而且大到一定程度时 就意味着两个变量之间的关系显著 大得越多 表明它们之间的关系就越强 反之 就意味着两个变量之间的关系不显著 小得越多 表明它们之间的关系就越弱 2008年8月 关系强度的测量 变量间关系的强度用自变量平方和 SS组间 占总平方和 SST 的比例大小来反映自变量平方

13、和占总平方和的比例记为R2 即其平方根R可以用来测量两个变量之间的关系强度 例题分析 R2 44 74 R 0 6689 表明超市位置 自变量 对销售额 因变量 的影响效应占总效应的44 74 尽管并不高 但超市位置对销售额的影响都已经达到了统计上显著的程度 R表明超市位置与销售额之间已达到中等以上的相关 方差分析中的多重比较 方差分析中的多重比较 作用 多重比较是通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异多重比较方法有多种 这里介绍Fisher提出的最小显著差异方法 简写为LSD 该方法可用于判断到底哪些均值之间有差异LSD方法是对检验两个总体均值是否相等的t检验方法的

14、总体方差估计加以修正 用MSE来代替 而得到的 方差分析中的多重比较 步骤 提出假设H0 mi mj 第i个总体的均值等于第j个总体的均值 H1 mi mj 第i个总体的均值不等于第j个总体的均值 检验的统计量为 若 t t 拒绝H0 若 t t 不能拒绝H0 方差分析中的多重比较 基于统计量 xi xj的LSD方法 通过判断样本均值之差的大小来检验H0检验的统计量为 xi xj检验的步骤为提出假设H0 mi mj 第i个总体的均值等于第j个总体的均值 H1 mi mj 第i个总体的均值不等于第j个总体的均值 计算LSD 若 xi xj LSD 拒绝H0 若 xi xj LSD 不能拒绝H0

15、方差分析中的多重比较 实例 根据前面的计算结果 x1 27 3 x2 29 5 x3 26 4 x4 31 4提出假设H0 mi mj H1 mi mj计算LSD 方差分析中的多重比较 实例 x1 x2 27 3 29 5 2 2 2 096颜色1与颜色2的销售量有显著差异 x1 x3 27 3 26 4 0 92 096颜色1与颜色4的销售量有显著差异 x2 x3 29 5 26 4 3 1 2 096颜色2与颜色3的销售量有显著差异 x2 x4 29 5 31 4 1 92 096颜色3与颜色4的销售量有显著差异 Spss单因素方差分析的多重比较检验 通过上面的检验 我们只能判断控制变量的

16、不同水平是否对观察变量产生了显著影响 我们还想进一步了解 究竟是哪一个水平对观察变量产生了显著影响 即那种颜色的饮料对销售量有显著影响 这就是单因素方差分析的多重比较检验 一元多因素方差分析 多因素方差分析 一个例子 例 有四个品牌的彩电在五个地区销售 为分析彩电的品牌 因素A 和销售地区 因素B 对销售量是否有影响 对每个品牌在各地区的销售量取得以下数据 见下表 试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响 一 不考虑交互作用 第三节双因子方差分析 双因子方差分析 two wayanalysisofvariance 分析两个因子 行因子Row和列因子Column 对实验结果的影响如果两个因子对实验结果的影响是相互独立的 分别判断行因子和列因子对实验数据的影响 这时的双因子方差分析称为无交互作用的双因子方差分析或无重复双因子方差分析 Two factorwithoutreplication 如果除了行因子和列因子对实验数据的单独影响外 两个因子的搭配还会对结果产生一种新的影响 这时的双因子方差分析称为有交互作用的双因子方差分析或可重复双因子方差分析 Two factorwithre