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1、第二节一元二次不等式及其解法 三年19考高考指数 1 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 2 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数 一元二次方程的关系 3 会解一元二次不等式 对给定的一元二次不等式 会设计求解的程序框图 1 以考查一元二次不等式的解法为主 兼顾二次方程的判别式 根的存在性及二次函数的图象与性质等知识 2 以集合为载体 考查一元二次不等式的解法及集合的运算 3 以函数 数列 解析几何为载体 以二次不等式的解法为手段 考查求参数的范围问题 4 以选择题 填空题为主 有时穿插于解答题中考查 难度中等 1 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 即时应用
2、 1 不等式x2 3x 2 0的解集为 2 设二次不等式ax2 bx 1 0的解集为 x 1 x 则ab的值为 3 函数的定义域是 解析 1 原不等式等价于 x 1 x 2 0 即1 x 2 2 由题意可知a 0 且 1 是方程ax2 bx 1 0的两个根 故解得 3 由x2 x 12 0 即 x 4 x 3 0 得x 4或x 3 答案 1 1 2 2 6 3 4 3 2 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解过程用程序框图表示为 即时应用 思考 上述不等式中a 0 若a 0时解集的情况又将如何 提示 若a 0 则一般先将不等式进行转化 使x2的系数转化为正后再求解 但一定要注意转
3、化过程中不等号的变化 0时解集为 0时解集为 x x1 x x2 一元二次不等式的解法 方法点睛 解一元二次不等式的一般步骤 1 变形 使一端为0且二次项系数大于0 2 计算相应的判别式 3 当 0时 求出相应的一元二次方程的根 4 根据对应二次函数的图象 写出不等式的解集 提醒 当不等式的系数为字母时 需要对字母进行分类讨论 例1 解下列不等式 1 x2 3x 4 0 2 3x2 2x 8 0 3 12x2 ax a2 a R 解题指南 1 先判断 而后获解 2 先将x2的系数转化为正数 而后因式分解求解 3 将不等式转化后进行因式分解 比较两根大小分类求解 规范解答 1 由 9 16 7
4、0 故不等式的解集为 2 原不等式等价于3x2 2x 8 0 x 2 3x 4 0 x 2或x 故不等式的解集为 2 3 原不等式可化为12x2 ax a2 0 4x a 3x a 0 令 4x a 3x a 0得 a 0时 此时不等式等价于 a 0时 不等式等价于x2 0 x 0 a 0时 此时不等式等价于 综上所述 当a 0时 不等式的解集为当a 0时 不等式的解集为 0 0 当a 0时 不等式的解集为 互动探究 若将本例 1 变为x2 3x 4 0 则不等式解集又将如何 解析 由 1 解析可知 7 0 故x2 3x 4 0恒成立 故不等式的解集为R 反思 感悟 1 对于本例 3 中分类讨
5、论后 在写不等式解集时 也可以将a 0的情况与a 0或a 0结合起来写 如可写为a 0时不等式的解集为a 0时不等式的解集为 2 含参数的不等式解法 解含参数的一元二次不等式 要把握好分类讨论的层次 一般按下面次序进行讨论 1 根据二次项系数的符号进行分类 2 根据根是否存在 即 的符号进行分类 3 在根存在时 根据根的大小进行分类讨论 讨论时对字母的范围需要做到不重不漏 变式备选 解下列不等式 1 10 x 1 25x2 2 1 ax 2 1 解析 1 原不等式等价于25x2 10 x 1 0 5x 1 2 0 只有当5x 1 0 即时 不等式成立 故不等式的解集为 2 由 1 ax 2 1
6、得a2x2 2ax 1 1 即ax ax 2 0 当a 0时 不等式转化为00 即 不等式的解集为 当a 0时 原不等式可化为x ax 2 0时 原不等式的解集为 一元二次不等式恒成立问题 方法点睛 恒成立问题及二次不等式恒成立的条件 1 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元 谁是参数 一般地 知道谁的范围 就选谁当主元 求谁的范围 谁就是参数 2 对于二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 3 一元二次不等式恒成立的条件 ax2 bx c 0 a 0 恒成立的充要条件是 a 0且b2 4a
7、c 0 x R ax2 bx c 0 a 0 恒成立的充要条件是 a 0且b2 4ac 0 x R 例2 已知不等式mx2 2x m 1 0 1 若对任意实数x不等式恒成立 求m的取值范围 2 若对一切m 2 2 不等式恒成立 求x的取值范围 解题指南 1 讨论m的情况 结合二次函数图象求解 2 变换主元将其看成关于m的一元一次不等式 利用其定义范围 2 2 求参数x的取值范围 规范解答 1 不等式mx2 2x m 1 0恒成立 即函数f x mx2 2x m 1的图象全部在x轴下方 当m 0时 不等式变为1 2x 0 对任意实数x不恒成立 故m 0不满足 当m 0时 函数f x mx2 2x
8、 m 1为二次函数 需满足图象开口向下且方程mx2 2x m 1 0无解 即则m无解 综上可知不存在这样的m 使不等式恒成立 2 设g m x2 1 m 1 2x 当x2 1 0时 即x 1 检验得x 1时符合题意 当x2 1时 则其为一个以m为自变量的一次函数 其图象是直线 由题意知该直线当 2 m 2时在x轴下方 解 得或解 得由 得且x 1 综上得x的取值范围为 反思 感悟 解决不等式恒成立问题 通常有两种思路 1 转化成含有参数的不等式 借助对应函数图象 找到满足题目要求的条件 构造含参数的不等式 组 求得参数范围 2 分离参数 通过求函数的最值 进而确定参数的范围 变式训练 已知f
9、x x2 2ax 2 a R 当x 1 时 f x a恒成立 求a的取值范围 解析 方法一 f x x a 2 2 a2 此二次函数图象的对称轴为直线x a 当a 1 时 f x 在 1 上单调递增 f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得 3 a 1 当a 1 时 f x min f a 2 a2 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2 a2 a 解得 1 a 1 综上所述 a的取值范围为 3 1 方法二 令g x x2 2ax 2 a 由已知得x2 2ax 2 a 0在 1 上恒成立 即 4a2 4 2 a 0 即a2
10、 a 2 0 得 2 a 1 或即得 3 a 2 综上得 3 a 1 即实数a的取值范围是 3 1 一元二次不等式的实际应用 方法点睛 解不等式应用题的一般步骤 例3 汽车在行驶中 由于惯性的作用 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住 我们称这段距离为 刹车距离 刹车距离是分析事故的一个重要因素 在一个限速为40km h的弯道上 甲 乙两辆汽车相向而行 发现情况不对 同时刹车 但还是相碰了 事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m 乙车的刹车距离略超过10m 又知甲 乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km h 之间分别有如下关系 s甲 0 1x 0 01x2 s乙 0 05x 0 00
11、5x2 问 甲 乙两车有无超速现象 解题指南 由题意只需利用刹车距离与车速的关系 与实际刹车距离构建不等关系求解即可 规范解答 由题意知 对于甲车 有0 1x 0 01x2 12 即x2 10 x 1200 0 解得x 30 或x 40 不合实际意义 舍去 这表明甲车的车速超过30km h 但根据题意刹车距离略超过12m 由此估计甲车车速不会超过限速40km h 对于乙车 有0 05x 0 005x2 10 即x2 10 x 2000 0 解得x 40 或x 50 不合实际意义 舍去 这表明乙车的车速超过40km h 超过规定限速 反思 感悟 不等式应用题多是解决现实生活 生产 科技中的最优化
12、问题 本题即是利用一元二次不等式解决现实生活中常见的交通事故责任调查与取证的问题 其关键是正确确定不等关系 变式训练 国家原计划以2400元 吨的价格收购某种农产品m吨 按规定 农户向国家纳税为 每销售收入100元纳税8元 称税率为8个百分点 即8 为了减轻农民负担 决定降低税率 根据市场规律 税率降低x x 0 个百分点 收购量能增加2x个百分点 试确定x的范围 使税率调低后 国家此项税收总收入不低于原计划的78 解析 设税率调低后的税收总收入为y元 则y 2400m 1 2x 8 x 由题意知 0 x 8 要使税收总收入不低于原计划的78 有y 2400m 8 78 整理得x2 42x 8
13、8 0 解得 44 x 2 又0 x 8 0 x 2 所以x的取值范围是 0 2 变式备选 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律 每生产产品x 百台 其总成本为G x 万元 其中固定成本为2万元 并且每生产100台的生产成本为1万元 总成本 固定成本 生产成本 销售收入R x 满足假定该产品产销平衡 那么根据上述统计规律 1 要使工厂有盈利 产品数量x应控制在什么范围 2 工厂生产多少台产品时盈利最大 此时每台产品的售价为多少 解析 依题意得G x x 2 设利润函数为f x 则f x R x G x 所以 1 要使工厂有盈利 则有f x 0 因为或5 x 8 2 1
14、 x 5或5 x 8 2 1 x 8 2 所以要使工厂盈利 产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内 2 0 x 5时 f x 0 4 x 4 2 3 6故当x 4时 f x 有最大值3 6 而当x 5时 f x 8 2 5 3 2所以当工厂生产400台产品时 盈利最大 又x 4时 万元 百台 240 元 台 故此时每台产品的售价为240元 创新探究 一元二次不等式在二元二次方程中的应用 典例 2011 浙江高考 若实数x y满足x2 y2 xy 1 则x y的最大值是 解题指南 本例可令x y t 利用直线与曲线必有交点 即联立消元后方程必有解可求 亦可利用基本不等式放缩后解不等式求
15、解 规范解答 方法一 令x y t 则y t x 代入x2 y2 xy 1 整理得 x2 tx t2 1 0 则方程必有实根 即 t2 4 t2 1 0 即解得故x y的最大值为方法二 由x2 y2 xy 1得1 x y 2 xy x y 2 1 xy 即故 x y的最大值为答案 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们可以得到以下创新点拨与备考建议 1 2011 广东高考 不等式2x2 x 1 0的解集是 A 1 B 1 C 1 2 D 1 解析 选D 由2x2 x 1 0得 x 1 2x 1 0 解得或x 1 从而得原不等式的解集为 2 2011 江西高考 若集合A x 1 2x 1 3 B 则A B A x 1 x 0 B x 0 x 1 C x 0 x 2 D x 0 x 1 解析 选B A x 1 x 1 B x 0 x 2 A B x 0 x 1 3 2011 安徽高考 函数的定义域是 解析 由6 x x2 0可得x2 x 6 0 即 x 3 x 2 0 所以 3 x 2 答案 3 2
