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1、 第五章特征值与特征向量 5 1方阵的特征值与特征向量 引言 纯量阵lE与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律 即 lEn An An lEn lAn 矩阵乘法一般不满足交换律 即AB BA 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的 即l AB lA B A lB Ax lx 一 基本概念 定义 设A是n阶矩阵 如果数l和n维非零向量x满足Ax lx 那么这样的数l称为矩阵A的特征值 非零向量x称为A对应于特征值l的特征向量 例 则l 1为的特征值 为对应于l 1的特征向量 一 基本概念 定义 设A是n阶矩阵 如果数l和n维非零向量x满足Ax lx 那么这样的数l称为矩阵A的特征值 非零向量x称为A对应于特征
2、值l的特征向量 Ax lx lEx非零向量x满足 A lE x 0 零向量 齐次线性方程组有非零解系数行列式 A lE 0 特征方程 特征多项式 特征方程 A lE 0特征多项式 A lE 二 基本性质 在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值 重根按重数计算 设n阶矩阵A的特征值为l1 l2 ln 则l1 l2 ln a11 a22 annl1l2 ln A 例1 求矩阵的特征值和特征向量 解 A的特征多项式为所以A的特征值为l1 2 l2 4 当l1 2时 对应的特征向量应满足 即解得基础解系 kp1 k 0 就是对应的特征向量 例2 求矩阵的特征值和特征向量 A的特征多项式为所以A的特征值为l
3、1 2 l2 4 当l2 4时 对应的特征向量应满足 即解得基础解系 kp2 k 0 就是对应的特征向量 例3 求矩阵的特征值和特征向量 解 所以A的特征值为l1 1 l2 l3 2 例4 求矩阵的特征值和特征向量 当l1 1时 因为解方程组 A E x 0 解得基础解系 kp1 k 0 就是对应的特征向量 例5 求矩阵的特征值和特征向量 解 续 当l2 l3 2时 因为解方程组 A 2E x 0 解得基础解系 k2p2 k3p3 k2 k3不同时为零 就是对应的特征向量 二 基本性质 在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值 重根按重数计算 设n阶矩阵A的特征值为l1 l2 ln 则l1 l2 l
4、n a11 a22 annl1l2 ln A 若l是A的一个特征值 则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为l的全体特征向量的最大无关组 例6 设l是方阵A的特征值 证明 1 l2是A2的特征值 2 当A可逆时 1 l是A 1的特征值 结论 若非零向量p是A对应于特征值l的特征向量 则l2是A2的特征值 对应的特征向量也是p lk是Ak的特征值 对应的特征向量也是p 当A可逆时 1 l是A 1的特征值 对应的特征向量仍然是p 二 基本性质 在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值 重根按重数计算 设n阶矩阵A的特征值为l1 l2 ln 则l1 l2 ln a11 a22 annl1l2 ln A
5、 若l是A的一个特征值 则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为l的全体特征向量的最大无关组 若l是A的一个特征值 则j l a0 a1l amlm是矩阵多项式j A a0 a1A amAm的特征值 例7 设3阶方阵A的特征值为1 1 2 求A 3A 2E的特征值 解 A 3A 2E A A 1 3A 2E 2A 1 3A 2E j A 其中 A 1 1 2 2 设l是A的一个特征值 p是对应的特征向量 令则 定理 设l1 l2 lm是方阵A的特征值 p1 p2 pm依次是与之对应的特征向量 如果l1 l2 lm各不相同 则p1 p2 pm线性无关 例 设l1和l2是方阵A的两个不同的特征
6、值 对应的特征向量依次为p1和p2 证明p1 p2不是A的特征向量 当 2En A 0时 根据特征值的定义知道 2就是A的特征值 当 En A 0时 因为 En A 1 n En A 0 所以 1是A的特征值 例8 练习87 设A为n阶矩阵 且已知 则A必有一个特征值为 A B C D A 练习88 已知 求其特征值与特征向量 特征值 对于 解齐次线性方程组 基础解系为 对应的全部特征向量为 是任意非零常数 解 对于 解齐次线性方程组 基础解系为 对应的全部特征向量为 是任意非零常数 练习89 设A为n阶矩阵 k为正整数 且Ak O 证明A的特征值均为0 证明 设 是矩阵A的特征值 且存在向量
7、 0 使得A 由此可得Ak k 又因Ak O 故Ak 0从而 k 0 而 0 所以 k 0 即 0因此A的特征值均为0 练习90 设A为3阶矩阵 若A的三个特征值分别为1 2 3 则 A 6 A 1 2 3 6 5 2方阵的相似变换 定义 设A B都是n阶矩阵 若有可逆矩阵P满足P 1AP B 则称B为矩阵A的相似矩阵 或称矩阵A和B相似 对A进行运算P 1AP称为对A进行相似变换 称可逆矩阵P为把A变成B的相似变换矩阵 定理 若n阶矩阵A和B相似 则A和B的特征多项式相同 从而A和B的特征值也相同 证明 根据题意 存在可逆矩阵P 使得P 1AP B 于是 B lE P 1AP P 1 lE
8、P P 1 A lE P P 1 A lE P A lE 定理 若n阶矩阵A和B相似 则A和B的特征多项式相同 从而A和B的特征值也相同 推论 若n阶矩阵A和B相似 则A的多项式j A 和B的多项式j B 相似 证明 设存在可逆矩阵P 使得P 1AP B 则P 1AkP Bk 设j x cmxm cm 1xm 1 c1x c0 那么P 1j A P P 1 cmAm cm 1Am 1 c1A c0E P cmP 1AmP cm 1P 1Am 1P c1P 1AP c0P 1EP cmBm cm 1Bm 1 c1B c0E j B 定理 设n阶矩阵L diag l1 l2 ln 则l1 l2 l
9、n就是L的n个特征值 证明 故l1 l2 ln就是L的n个特征值 定理 若n阶矩阵A和B相似 则A和B的特征多项式相同 从而A和B的特征值也相同 推论 若n阶矩阵A和B相似 则A的多项式j A 和B的多项式j B 相似 若n阶矩阵A和n阶对角阵L diag l1 l2 ln 相似 则从而通过计算j L 可方便地计算j A 若j l A lE 那么j A O 零矩阵 可逆矩阵P 满足P 1AP L 对角阵 AP PL Api lipi i 1 2 n A的特征值 对应的特征向量 其中 定理4 n阶矩阵A和对角阵相似当且仅当A有n个线性无关的特征向量 推论 如果A有n个不同的特征值 则A和对角阵相
10、似 设 求 为任意正整数 例9 解 先求出A的特征值和特征向量 属于特征值的特征向量满足 可取特征向量 属于特征值的特征向量满足 可取特征向量 将这两个线性无关的特征向量拼成可逆矩阵则有矩阵等式 其中是以A的特征值为对角元的对角矩阵 据此就可以求出 练习91 与矩阵相似的对角矩阵为 解 有相同特征值的同阶对称矩阵一定 正交 相似 A的特征值为1和3 与A相似的对角矩阵为 练习92 与矩阵A 相似的是 A B C D 解 有相同特征值的同阶对称矩阵一定 正交 相似 A 练习93 设三阶方阵A的特征值分别为 且B与A相似 则 16 解 定理 若n阶矩阵A和B相似 则A和B的特征多项式相同 从而A和
11、B的特征值也相同 练习94 已知矩阵A与对角矩阵D 相似 则 A AB DC ED E 解 存在 使 C 练习95 19 已知3阶矩阵的特征值为 且矩阵与相似 则 解 定理 若n阶矩阵A和B相似 则A和B的特征多项式相同 从而A和B的特征值也相同 的特征值为 4 5 3向量内积和正交矩阵 向量的内积 定义 设有n维向量令 x y x1y1 x2y2 xnyn 则称 x y 为向量x和y的内积 说明 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 内积可用矩阵乘法表示 当x和y都是列向量时 x y x1y1 x2y2 xnyn xTy 定义 设有n维向量令则称 x y 为向量x和y的内积 向量的
12、内积 练习96 设向量 则向量 的内积 10 解 内积为 x y x1y1 x2y2 xnyn xTy 内积具有下列性质 其中x y z为n维向量 l为实数 对称性 x y y x 线性性质 lx y l x y x y z x z y z 当x 0 零向量 时 x x 0 当x 0 零向量 时 x x 0 施瓦兹 Schwarz 不等式 x y 2 x x y y x y x1y1 x2y2 xnyn xTy 内积具有下列性质 其中x y z为n维向量 l为实数 对称性 x y y x x y x1y1 x2y2 xnyn xTy 内积具有下列性质 其中x y z为n维向量 l为实数 对称性
13、 x y y x 线性性质 lx y l x y x y z x z y z x y x1y1 x2y2 xnyn xTy 内积具有下列性质 其中x y z为n维向量 l为实数 对称性 x y y x 线性性质 lx y l x y x y z x z y z 当x 0 零向量 时 x x 0 当x 0 零向量 时 x x 0 x x x12 x22 xn2 0 x y x1y1 x2y2 xnyn xTy 内积具有下列性质 其中x y z为n维向量 l为实数 对称性 x y y x 线性性质 lx y l x y x y z x z y z 当x 0 零向量 时 x x 0 当x 0 零向量
14、 时 x x 0 施瓦兹 Schwarz 不等式 x y 2 x x y y 回顾 线段的长度 x1 x2 x1 x2 x3 P x1 x2 O P O 若令x x1 x2 T 则 若令x x1 x2 x3 T 则 x x x12 x22 xn2 0 向量的长度 定义 令称 x 为n维向量x的长度 或范数 当 x 1时 称x为单位向量 向量的长度具有下列性质 非负性 当x 0 零向量 时 x 0 当x 0 零向量 时 x 0 齐次性 lx l x 向量的长度 定义 令称 x 为n维向量x的长度 或范数 当 x 1时 称x为单位向量 向量的长度具有下列性质 非负性 当x 0 零向量 时 x 0
15、当x 0 零向量 时 x 0 齐次性 lx l x 三角不等式 x y x y 向量的正交性 施瓦兹 Schwarz 不等式 x y 2 x x y y x y 当x 0且y 0时 定义 当x 0且y 0时 把称为n维向量x和y的夹角 当 x y 0 称向量x和y正交 结论 若x 0 则x与任何向量都正交 定义 两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组 定理 若n维向量a1 a2 ar是一组两两正交的非零向量 则a1 a2 ar线性无关 证明 设k1a1 k2a2 krar 0 零向量 那么0 a1 0 a1 k1a1 k2a2 krar k1 a1 a1 k2 a1 a2 kr a1 a
16、r k1 a1 a1 0 0 k1 a1 2从而k1 0 同理可证 k2 k3 kr 0 综上所述 a1 a2 ar线性无关 例10 已知3维向量空间R3中两个向量正交 试求一个非零向量a3 使a1 a2 a3两两正交 分析 显然a1 a2 解 设a3 x1 x2 x3 T 若a1 a3 a2 a3 则 a1 a3 a1Ta3 x1 x2 x3 0 a2 a3 a2Ta3 x1 2x2 x3 0 得从而有基础解系 令 练习97 下列向量中与正交的向量是 A B C D D 解 内积为零的两个向量正交 练习98 已知向量与向量正交 则 2 解 内积为零的两个向量正交 练习99 已知向量正交 则 解 内积为零的两个向量正交 练习100 已知向量与向量正交 则 1 解 内积为零的两个向量正交 练习101 已知向量与向量正交 则 A 2B 0C 2D 4 D 解 内积为零的两个向量正交 定义 n维向量e1 e2 er是向量空间中的向量 满足e1 e2 er是向量空间V中的一个基 最大无关组 e1 e2 er两两正交 e1 e2 er都是单位向量 则称e1 e2 er是V的一个规范正交基 例 是
