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1、21 1二次函数 第21章二次函数与反比例函数 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1 掌握二次函数的概念 重点 2 能识别一个函数是不是二次函数 重点 3 能根据实际情况建立二次函数模型 难点 雨后天空的彩虹 公园里的喷泉 跳绳等都会形成一条曲线 这些曲线能否用函数关系式表示 导入新课 图片引入 1 什么叫函数 一般地 在一个变化的过程中 如果有两个变量x与y 并且对于x的每一个确定的值 y都有唯一确定的值与其对应 那么我们就说x是自变量 y是x的函数 3 一元二次方程的一般形式是什么 一般地 形如y kx b k b是常数 k 0 的函数叫做一次函数 当b 0时 一次函数y kx就叫做
2、正比例函数 2 什么是一次函数 正比例函数 ax2 bx c 0 a 0 请用适当的函数表达式表示下列问题情境中的两个变量y与x之间的关系 1 圆的面积y 与圆的半径x cm 2 某商店1月份的利润是2万元 2 3月份利润逐月增长 这两个月利润的月平均增长率为x 3月份的利润为y 讲授新课 探究归纳 3 一个温室的平面图如图 温室外围是一个矩形 周长为120m 室内通道的尺寸如图 设一条边长为x m 种植面积为y m2 1 1 1 3 x 1 y x2 2 y 2 1 x 2 3 y 60 x 4 x 2 2x2 4x 2 x2 58x 112 上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的特征 经
3、化简后都具有y ax bx c a b c是常数 的形式 a 0 一般地 表达式形如y ax bx c 其中a b c是常数 a 0 的函数叫做二次函数 二次函数的一般式为y ax bx c 其中a b c是常数 a 0 其中a为二次项系数 ax2叫做二次项 b为一次项系数 bx叫做一次项 c为常数项 二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数 但是在实际问题中 自变量的取值范围应使实际问题有意义 如问题 3 中 2 x 56 归纳 1 下列函数中 哪些是二次函数 先化简后判断 是 不是 是 不是 把下列函数化成一元二次函数的一般式 1 y x 2 x 3 2 y x 2 x 2 2 x 1 2
4、 3 y 2 x 3 2 解 1 y x 2 x 3 x2 5x 6 2 y x 2 x 2 2 x 1 2 x2 4x 6 3 y 2 x 3 2 2x2 12x 18 3 1 正方形边长为x cm 它的面积y 是多少 2 矩形的长是4厘米 宽是3厘米 如果将其长增加x厘米 宽增加2x厘米 则面积增加到y平方厘米 试写出y与x的表达式 解 1 y x2 2 y 4 x 3 2x 例 关于x的函数是二次函数 求m的值 注意 二次函数的二次项系数不能为零 解 根据题意得m 1 0且m m 2 解得m 2 典例精析 1 函数 m为常数 1 当m 时 这个函数为二次函数 2 当m 时 这个函数为一次
5、函数 2 2 2 请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子 1 二次项系数是一次项系数的2倍 常数项为任意值 2 二次项系数为 5 一次项系数为常数项的3倍 y 2x2 x 3 答案不唯一 y 5x2 9x 3 答案不唯一 1 下列函数中 哪些是二次函数 1 y 3x 1 2 y 3x2 3 y 3x3 2x2 4 y 2x2 2x 1 5 y x 2 x 6 y x2 x 1 x 当堂练习 解 2 4 是二次函数 2 填空 1 一个圆柱的高等于底面半径 则它的表面积S与底面半径r之间的关系式是 2 n支球队参加比赛 每两队之间进行两场比赛 则比赛场次数m与球队数n之间的关系是 S 4
6、r2 2 它是一次函数 3 它是正比例函数 1 它是二次函数 3 函数y ax bx c 其中a b c是常数 当a b c满足什么条件时 a 0 a 0且b 0 a 0 b 0且c 0 4 写出下列各函数关系 并判断它们是什么类型的函数 1 写出正方体的表面积y 与正方体棱长x cm 之间的函数关系 2 写出圆的面积y 与它的周长x cm 之间的函数关系 3 菱形的两条对角线的和为26cm 求菱形的面积y 与一对角线长x cm 之间的函数关系 定义中应该注意的几个问题 1 定义 一般地 形如y ax bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做x的二次函数 y ax bx c a b c是
7、常数 a 0 的几种不同表示形式 1 y ax a 0 b 0 c 0 2 y ax c a 0 b 0 c 0 3 y ax bx a 0 b 0 c 0 2 定义的实质是 ax bx c是整式 自变量x的最高次数是二次 自变量x的取值范围是全体实数 课堂小结 21 2二次函数的图象和性质 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1 二次函数y ax 的图象和性质 1 正确理解抛物线的有关概念 重点 2 会用描点法画出二次函数y ax 的图象 概括出图象的特点 难点 3 掌握形如y ax 的二次函数图象的性质 并会应用 难点 问题1我们学过哪些函数 研究这些函数是从哪几个方面入手的 我们要研
8、究二次函数应该从哪几个方面入手呢 问题2函数图象的画法是什么 一般步骤有哪些 导入新课 回顾与思考 o 9 解 1 列表 2 根据表中x y的数值在坐标平面中描点 x y 3 3 3 6 9 0 1 4 9 1 4 9 3 如图 再用平滑曲线顺次连接各点 就得到y x2的图象 画二次函数y x2的图象 3 3 6 x y 讲授新课 3 3 o 3 6 9 当取更多个点时 函数y x2的图象如下 x y 二次函数的图象形如物体抛射时所经过的路线 我们把它叫做抛物线 这条抛物线关于y轴对称 y轴就是它的对称轴 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点 例 画二次函数的图象 描点和连线 画出图象在y轴右
9、边的部分 再利用对称性画出y轴左边的部分 解 列表 2 4 2 4 2 4 这样我们得到了的图象 如图 x y o 观察图的图象跟实际生活中的什么相像 的图象很像掷铅球时 铅球在空中经过的路线 2 4 2 4 2 4 x y o 以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系 x轴的正向水平向右 y轴的正向竖直向上 则可以求出铅球在空中经过的路线是形式为的图象的一段 2 4 2 4 2 4 x y o 1 y x2是一条抛物线 2 图象开口向上 3 当x 0时 y随x的增大而增大 当x 0时 y随x的增大而减小 4 图象关于y轴对称 5 顶点 0 0 6 图象有最低点 观察图象y x2 说
10、说它有哪些特点 2 2 2 4 6 4 4 8 相同点 开口都向上 顶点是原点而且是抛物线的最低点 对称轴是y轴 不同点 a越大 抛物线的开口越小 归纳 x y o 1 画出函数的图象 并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点 2 2 2 4 6 4 4 8 相同点 开口都向下 顶点是原点而且是抛物线的最高点 对称轴是y轴 不同点 a的绝对值越大 抛物线的开口越小 归纳 2 在同一坐标系中 画出函数y x2 y 2x2 y x2的图象 并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点 x y o 例 一个二次函数 它的图象的顶点是原点 对称轴是y轴 且经过点 1 1 求这个二次函数的解析式 2 画出这个二次函
11、数的图象 3 根据图象指出 当x 0时 若x增大 y怎样变化 当x 0时 若x增大 y怎样变化 4 当x取何值时 y有最大 或最小 值 其值为多少 典例精析 1 求这个二次函数的解析式 解 设这个二次函数解析式为 y ax2 将 1 代入得y x2 2 画出这个二次函数的图象 3 根据图象指出 当x 0时 若x增大 y怎样变化 当x 0时 若x增大 y怎样变化 4 当x取何值时 y有最大 或最小 值 其值为多少 解 当x 0时 y有最小值为0 当x 0时 y随x增大而增大 当x 0时 y随x增大而减小 二次函数y 3x2 1 图象的开口向 对称轴是 顶点是 顶点坐标是 图象有最 点 2 当x
12、时 y随x的增大而增大 3 当x 时 y随x的增大而减小 4 当x 时 函数y有最 值 下 y轴 原点 0 0 0 0 高 0 大 0 1 画出下列函数图象 1 y 2x2 2 y x2 2 2 下列函数中 当x 0时 y值随x值增大而减小的是 A y B y x 1C D y 3x2 当堂练习 解 画图略 D 3 解 1 由题意知m 0 m2 1 2 得m 1或1 2 当m 1时 图象有最低点 最低点的坐标为 0 0 此时 当x 0时 y随x的增大而增大 3 当m 1时 函数有最大值 最大值是0 此时 x的值为0 当x 0时 y随x的增大而减小 当x 0时 y随x的增大而增大 1 一般地 抛
13、物线y ax2的对称轴是y轴 顶点是原点 2 当a 0时 抛物线开口向上 顶点是抛物线的最低点 当a 0时 抛物线开口向下 顶点是抛物线的最高点 3 对于抛物线y ax2 a 0 当x 0时 y随x取值的增大而增大 当x 0时 y随x取值的增大而减小 4 对于抛物线y ax2 a 越大 抛物线的开口越小 课堂小结 0 0 向上 向下 a 越大 开口越小 a 越小 开口越大 有最小值0 有最大值0 当x 0时 y随x的增大而增大 当x 0时 y随x的增大而减小 当x 0时 y随x的增大而增大 当x 0时 y随x的增大而减小 21 2二次函数的图象和性质 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 2
14、 二次函数y ax bx c的图象和性质 第1课时二次函数y ax k的图象和性质 1 会用描点法画出二次函数y ax k的图象 2 掌握形如y ax k的二次函数图象的性质 并会应用 重点 3 理解y ax 与y ax k之间的联系 难点 问题1二次函数y ax2的图象是什么 问题2它具有怎样的图象特征和性质 问题3你是怎么研究的 导入新课 回顾与思考 在下列平面直角坐标系中 作出y 2x2的图象 问题4 它与二次函数y x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 y x 2 6 4 8 10 O 2 2 4 y x2 y 2x 4 问题 类比y ax2的研究内容和
15、研究方法 画出二次函数y 2x2 1 y 2x2 1的图象 并思考它们的图象有什么相同与不同 讲授新课 动手验证一下你的想法 你是怎么想的 y x 2 6 4 8 0 2 4 2 4 2 一般地 当a 0时 抛物线y ax2 k的对称轴是y轴 顶点是 0 k 开口向上 顶点是抛物线的最低点 a越大 抛物线的开口越小 当x 0时 y随x的增大而减小 当x 0时 y随x的增大而增大 归纳 二次函数y 3x2 y 3x2 的图象与二次函数y 3x2的图象有什么关系 问题引导 二次函数y 3x2 是由二次函数y 3x2的图象向上平移个单位得到的 二次函数y 3x2 是由二次函数y 3x2的图象向下平移
16、个单位得到的 探究归纳 二次函数y ax2 a 0 的图象与y ax2 k a 0 的图象有什么异同 拓广探索 y ax2 k的图象是由y ax2的图象上下平移得到的 当k 0时 向上平移k个单位 当k 0时 向下平移 k 个单位 y ax 及y ax k a 0 的图象和性质 规律方法 抛物线 a 0向上 a 0向下 y轴 0 0 抛物线 a 0向上 a 0向下 y轴 0 k 二次函数和y 3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 先想一想 如果需要 作草图看一看 二次函数和呢 当堂练习 解 二次函数的图象是由y 3x2的图象向上平移个单位得到的 它是轴对称图形 对称轴为y轴 开口方向向上 顶点坐标为 0 二次函数的图象是由的图象向上平移3个单位长度得到的 它是轴对称图形 对称轴为y轴 开口方向向下 顶点坐标为 0 3 1 y ax2 k的图象是一条抛物线 2 其顶点坐标是 0 k 3 对称轴是y轴 也可写作直线x 0 4 当a 0时 开口向上 当a 0时 开口向下 随着 a 的增大 开口将越来越小 1 y ax2 k a 0 的图象的特征
