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1、1 1 87 结构动力学结构动力学 教师 刘晶波 助教 宝鑫 清华大学土木工程系 教师 刘晶波 助教 宝鑫 清华大学土木工程系 2016年秋年秋 2 87 结构动力学结构动力学 第5章 动力反应数值分析方法 第5章 动力反应数值分析方法 3 87 主要内容 主要内容 数值算法中的基本问题数值算法中的基本问题 分段解析法分段解析法 中心差分法中心差分法 一般时域逐步积分法的构造一般时域逐步积分法的构造 Newmark 法法 Wilson 法法 时域逐步积分算法的新发展时域逐步积分算法的新发展 结构非线性反应分析结构非线性反应分析 4 87 5 1 数值算法中的基本问题数值算法中的基本问题 2 5
2、 87 5 1 数值算法中的基本问题 前面介绍了二种结构动力反应分析方法 时域分析方法 Duhamel积分法 频域分析方法 Fourier变换法 这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题 当外荷载为解析函数时 采用这两种方法一般可以得 到体系动力反应的解析解 当荷载变化复杂时无法得 到解析解 通过数值计算可以得到动力反应的数值解 这两种分析方法的特点是均基于叠加原理 要求结构 体系是线弹性的 当外荷载较大时 结构反应可能进 入物理非线性物理非线性 弹塑性 或结构位移较大时 结构可 能进入几何非线性几何非线性 这时叠加原理将不再适用 此时 可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程 6 87 5
3、 1 数值算法中的基本问题 时域逐步积分法 Step by step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法 1 分段解析法 2 中心差分法 3 平均加速度法 4 线性加速度法 5 Newmark 法 6 Wilson 法 7 Houbolt 法 8 广义 法 时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研 究的课题 也是得到广泛应用的计算方法 7 87 5 1 数值算法中的基本问题 采用叠加原理的时域和频域分析方法 Duhamel积分 Fourier变换 假设结构在全部反应过程中都是线性 的 而时域逐步积分法 只假设在一个时间步距内是 线性的 相当于用分段直线来逼近实际的曲
4、线 时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值 例如位移 和速度为 而这种离散化正符合计算机存贮的特点 与运动变量的离散化相对应 体系的运动微分方程也不 一定要求在全部时间上都满足 而仅要求在离散时间 点上满足 这相当于放松了对运动变量的约束 1 2 iiii uu tuu ti 8 87 5 1 数值算法中的基本问题 采用等时间步长离散时 ti i t i 1 2 3 体系的运动微分方程仅要求在离散时间点上满 足 t 离散时间步长离散时间步长 离散的定义 离散的定义 3 9 87 5 1 数值算法中的基本问题 一种逐步积分法的优劣 主要由以下四个方面判断 收 敛 性 当 当 t 0时 数值解是否
5、收敛于精确解 时 数值解是否收敛于精确解 计算精度 截断误差与时间步长 截断误差与时间步长 t 的关系 若误差的关系 若误差 O tn 则称方法具有 则称方法具有n阶精度 阶精度 稳 定 性 随时间步数 随时间步数i的增大 数值解是否变得无穷 大 远离精确解 的增大 数值解是否变得无穷 大 远离精确解 计算效率 数值计算中所花费的计算时间的多少 数值计算中所花费的计算时间的多少 一个好的方法首先必须是收敛的 有足够的精度 例如2 阶精度 满足工程要求 良好的稳定性 较高的计算 效率 在发展逐步积分法中 也的确发展了一些高精度但很费 时的方法 在实际中得不到应用和推广 10 87 5 1 数值算
6、法中的基本问题 根据是否需要联立求解耦联方程组 逐步积分法可分为 两大类 隐式方法 逐步积分计算公式是耦联的方程组 需联立 求解 计算工作量大 通常增加的工作量与自由度的 平方成正比 例如Newmark 法 Wilson 法 显式方法 逐步积分计算公式是解耦的方程组 无需联 立求解 计算工作量小 增加的工作量与自由度成线 性关系 如中心差分方法 无阻尼时 下面先介绍分段解析算法 然后重点介绍两种常用的时 域逐步积分法 中心差分法和Newmark 法 同时也 介绍Wilson 法 最后介绍非线性问题分析方法 11 87 5 2 分段解析法分段解析法 Piecewise Exact Method
7、12 87 5 2 分段解析法 分段解析算法假设 在ti t ti 1时段内 分段解析法对外荷载的离散 1 ii iiii pp ppt p t pi pi 1 ti 插值荷载 p 实际荷载 titi 1 如果荷载p t 采用 计算机采样 即 离散数值采样 则以上定义可认 为是 精确 的 4 13 87 5 2 分段解析法 在ti t ti 1时段内体系的运动方程 初值条件 运动方程的特解 运动方程的通解 ii ppkuucum 00 ii uuuu c k p k u i iip 2 1 sincos DDc BAeu n p t pi pi 1 ti 插值荷载 p 实际荷载 titi 1
8、14 87 5 2 分段解析法 将全解 代入边界 初始 条件确定系数A B 最后得 其中 DD nn eAeAAAusincos 3210 0120321 21 iii iin nD p AAAuAAuAA kkk DnD DnD n n eAA eAAAu sin cos 32 231 pc uuu 15 87 5 2 分段解析法 当 ti时 得到 其中系数A D 是结构刚度k 自振频率 n 阻尼比 和 时间步长 t的函数 上式给出了分段解析法根据i时刻运动及外力计算i 1时刻 运动的递推计算公式 如果结构是线性的 并采用等时间步长 则A D 均 为常数 其计算效率非常高 在p t 为离散采
9、样的定义 下是精确解 如果是非线性问题 则A D 均为变量 计算效率会 大为降低 11 11 iiiii iiiii pDpCuBuAu DpCpuBAuu p t pi pi 1 ti 插值荷载 p 实际荷载 titi 1 16 87 5 2 分段解析法 分段解析法 计算公式中 的系数 tteA DD t n cossin 1 2 teB D D t n sin 1 t t t t e tk C D n D D t n n cos 2 1sin 1 2121 2 2 t t t t e tk D D n D D t n n cos 2 sin 122 1 1 2 teA D nt n sin
10、 1 2 tteB DD t n sin 1 cos 2 t t t t e tk C DD nt n cos 1 sin 11 11 22 tte tk D DD t n cossin 1 1 1 2 1 1 1 1 iii ii iii ii uAuBu CpDp uA uB u C pD p 5 17 87 5 2 分段解析法 分段解析法的误差仅来自对外荷载的假设 而在 连续时间轴上严格满足运动微分方程 一般的时域逐步积分法将进一步放松要求 仅要 求在离散的时间点上满足运动方程 即放松了 对运动的约束 18 87 5 3 中心差分法中心差分法 Central Difference Met
11、hod 19 87 5 3 中心差分法 中心差分方法用有限差分代替位移对时间的求导 即速度 和加速度 如果采用等步长 ti t 则i时刻速度和 加速度的中心差分近似为 t uu u ii i 2 11 2 11 2 t uuu u iii i ii iiiii pku t uu c t uuu m 2 2 11 2 11 iiii tptkutuctum ii ii ii ii tpp tuu tuu tuu 11 222 2 22 iiii mcmmc upkuu ttttt 20 87 5 3 中心差分法 多自由度体系的中心差分法逐步计算公式为 11 222 2 22 iiii mcmmc
12、 upkuu ttttt i i i i i i i i uu t uu t uu t pp t 11 211 1 2 1 2 iii iiii uuu t uuuu t 21 221 11 2 211 2 i iii MCu tt pKMuMCu ttt 6 21 87 5 3 中心差分法 单步法和多步法的概念 单步法 单步法 采用时域逐步积分法计算某一时刻的运动时 仅需已知前一时刻的运动 多步法 多步法 需要前两个或两个以上时刻的运动 中心差分法在计算ti 1时刻的运动ui 1时 需要已知ti和ti 1 两个时刻的运动ui和ui 1 因此 中心差分法属于两步 法 而分段解析法仅需要已知ti
13、时刻的运动 因此为单步法 11 222 2 22 iiii mcmmc upkuu ttttt 11 11 iiiii iiiii pDpCuBuAu DpCpuBAuu 22 87 5 3 中心差分法 时域逐步积分法计算中起步的概念 用两步法进行计算时存在起步问题 因为仅根据已知的 初始位移和速度 并不能自动进行运算 而必需给出 两个相邻时刻的位移值 方可开始逐步计算 在初始时刻需要建立两个起步时刻 即i 0 1 的位移 值 这即是逐步积分的起步问题 11 222 2 22 iiii mcmmc upkuu ttttt 23 87 中心差分方法计算中的起步处理方法 初始条件为 0 0 00
14、uuuu t uu u 2 11 0 2 101 0 2 t uuu u 0 2 001 2 u t u tuu 1 0000 kuucp m u 11 222 2 22 iiii mcmmc upkuu ttttt 24 87 中心差分法计算步骤 1 基本数据准备和初始计算 2 计算等效刚度和中心差分计算公式中的系数 3 根据i及i以前时刻的运动 计算i 1时刻的运动 4 下一步计算用i 1代替i 重复 2 至 3 中的计算步骤 已知和 00 uu 2 000 2 001 kuucp m t u tuu 11 11 2 2 2 ii i iii i uu u t uuu u t 222 2
15、22 mcmmc kakb ttttt 1 1 iiii ii ppaubu upk 11 222 2 22 iiii mcmmc upkuu ttttt 7 25 87 5 3 中心差分法 中心差分法的精度和数值稳定性 以上给出的中心差分逐步积分公式具有如下特 点 是收敛的 具有2阶精度 即误差 O t2 是有条件稳定 稳定条件 t Tn 具有较高的计算效率 26 87 中心差分法的数值稳定性 t Tn 稳定性的含义 当满足稳定性条件时 计算值稳定性的含义 当满足稳定性条件时 计算值u为有限 值 当不满足稳定性条件时 随着 为有限 值 当不满足稳定性条件时 随着t u 27 87 中心差分法
16、的数值稳定性证明 设体系为无阻尼 并设外荷载p 0 算法的稳定性与外荷载无关 则中心差逐步积分法的递推公式可以写成如下形式 令i时刻位移为 代入运动方程 得到 从ui A i 可直观看出 为保证 i 即t 时 ui有界 要求 1 仅当 2 4时 1 其余情况均有 1 则稳定性条件要求 niii tuuu 2 1 2 1 i i Au 01 2 22 4 2 2 1 222 2 iitstsi i st AeAAetiuuAetu 11 222 2 22 iiii mcmmc upkuu ttttt 28 87 中心差分法的数值稳定性证明中心差分法的数值稳定性证明 稳定性表达式为 虽然中心差分逐步积分法是有条件稳定的 但由于其所 具有计算效率高的优点 在很多情况下得到广泛的应 用 例如 大坝在地震作用下的动力反应分析 核电 站和人防结构在冲击荷载下的动力反应问题计算等 n t 2 n n T t 2 8 29 87 为构造有阻尼体系动力分析的显式中心差分法 Clough 给出了如下形式的逐步积分计算格式 并不加证明地给出其稳定性 条件为 Clough格式的 实际稳定性条件如右图所示 2
