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1、学 海 无 涯 动点的轨迹方程的求法 孝感一中 邓格人教版数学必修2第四章的习题4.1 B组3个习题（P124）都是求动点的轨迹方程，可见轨迹方程的求法这一知识点的重要性，从近几年高考命题来看，求动点的轨迹方程是常考题型，主要以解答题的形式出现，并且轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合，着重考查分析问题，解决问题的能力，对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求，我们从教材中这3个习题入手，来探究动点的轨迹方程的求法.来源:学&科&网1、 定义法 习题1 等腰三角形的顶点A的坐标是（4，2），底边一个端点B的坐标是（3，5），求另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形.【数
2、学必修2习题4.1B组T1】解：由题意，等腰ABC的另一个端点C在以A（4，2）为圆心，经过点B（3，5）的圆上，且除去点B以及点B关于点A对称的点B设与点B（3，5）关于A（4，2）对称的点是B(x，y)，则有 ， 解得:x=5, y=-1 所以点B关于点A的对称点是B（5，-1） 又|AB|=顶点C的轨迹是圆，除去两点B（3，5），B（5，-1）即顶点C的轨迹方程是,且 习题2 长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程。【数学必修2习题4.1B组T2】 解：设线段AB的中点为M,点M运动时，到原点的距离为定长，即RtAOB的斜边上的中线长，因为A
3、B =2a,即点,所以点M的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆，根据圆的标准方程，点M的轨迹方程为： 习题1和习题2都是用到定义法求动点的轨迹方程，即运用解析几何中一些常用定义（例如圆，椭圆，双曲线等的定义），从曲线定义出发直接写出轨迹方程。定义法要求对圆锥曲线定义所包含的几何意义理解得很透彻。2、直接法习题3 已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为，求点M的轨迹方程。【数学必修2习题4.1B组T3】 解：设点M的坐标为(x,y)，根据题设条件有 困为O（0，0）,A(3,0)所以有 化简，得所以，点M的轨迹方程为 习题3用的是直接法求点的轨迹方程，直接法是求轨迹方程最基本的方法
4、，如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，就可以直接设动点坐标为，列出动点P所满足的关系式，化简整理即可。定义法与直接法相比计算更简单,因为它最大限度地减少了直接法中化简和整理方程的运算量，但是定义法仅适用于已知轨迹是什么曲线的情况，而直接法有更广泛的适用范围，教材习题的编写也体现出对基本方法的重视。3、相关点法用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件，然后再将条件代数化,但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难，这就需要我们探讨求轨迹方程问题的新方法，转移法就是一种很重要的方法，也叫相关点法。用动点Q的坐标
5、表示相关点P的坐标,然后代入点P的坐标所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q的轨迹方程来源:学科网例1 已知点P是直线上的一个动点,定点,Q是线段PM延长线上的一点,且,则Q点的轨迹方程是（ ）【高考优化方案课时作业P23，T2】A. B.C. D.解：设Q，由题意可得M为PQ中点又 则P为又P点是直线上的动点，将P点坐标代入直线方程，得： 即： 所以选D.例2 设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且，当P点在y轴上运动时，求点N的轨迹方程. 【高考优化方案P136例3】解：设M（x0,0）,P（0，y0）,设N(x,y)为轨迹上任意一点.由,得 （x-x0,y）=2(-x0,y0)所
6、以 即又因为所以 （x0,-y0）(1,-y0)=0所以 x0+y02=0所以 即y2=4x故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.相关点法的关键是分析出轨迹上的动点是由什么样的点所控制的，也就是找到相关点，有时候相关点并不像例1、例2中那样直接在题目条件中出现，而是需要我们结合平面几何等知识寻找或作出.例3 如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 【金太阳考案P106例2】 分析 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方
7、程 本题 欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程， 解： 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 4、参数法 如果动点的坐标之间的关系很难直接找出，并
8、且也没有发现明显的相关点，但是动点的坐标（x.y）中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们就可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，再通过消去参数得到x与y的关系，这就是参数法.例4 如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程 【2004福建高考T22（1）】 解：（）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x10，y10，y20.由y=x2， 得y=x.过点P的切线的斜率k切= x1，直线l的斜率kl=-=-，直线l的方程为y-x12=- (x-x1)， 解法一：联立消去y，得x2
9、+x-x12-2=0.M是PQ的中点 x0=-， y0=x12-(x0-x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).解法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1-y2=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2)，则x0=kl=-，x1=-，来源:学科网将上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，参数法的关键是选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化。参数的选取不同，求解过程的难易也会不同，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点
10、的坐标等，另外还要注意消参前后保持范围的等价性.例5 设点A和B为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 【2000年北京高考】解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x0)直线AB的方程为x=my+a由OMAB，得m=由y2=4px及x=my+a，消去x,得y24pmy4pa=0所以y1y2=4pa, x1x2=所以，由OAOB，得x1x2 =y1y2所以故x=my+4p,用m=代入，得x2+y24px=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p
11、为半径的圆，去掉坐标原点 解法二： 设OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得AB的方程为，过定点，由OMAB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法三： 设M(x,y) (x0)，OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得由OMAB，得M既在以OA为直径的圆 上，又在以OB为直径的圆 上（O点除外），+得 x2+y24px=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉
12、坐标原点 来源:学科网5、交轨法在求两动曲线的交点轨迹问题时常用交轨法，首先引入参数来建立两动曲线的参数方程，然后直接联立方程消参数，就得到两动曲线交点的轨迹方程，交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况. 例6 一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点。求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程； 【2010年广东高考T20(1)】 解：由为双曲线的左、右顶点知， 两式相乘得： 而点在双曲线上，所以，即 故，即为所求轨迹方程。来源:学科网 求轨迹方程经常采用的方法除了直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法之外，有时还用到向量法，涉及到中点问题时还可以用点差法. 例7.
13、已知圆0的方程为x2+y2=9, 求过点A（1，2）所作的弦的中点的轨迹方程。【高中数学优秀教案P252 例3】解法一：直接法（利用平面几何知识）设弦的中点为P（x,y），由垂径定理知OPPA x2+y2+(x-1)2+(y-2)2=12+22 化简，得：x2+y2-x-2y=0即所求的弦的中点的轨迹方程为x2+y2-x-2y=0解法二：定义法设弦的中点为P，由垂径定理知OPPA故P点的轨迹是以AO为直径的圆，圆心为线段AO的中点（，1）.直径为线段AO的长. 所求的弦的中点的轨迹方程为上面两种方法都用到平面几何知识，一般在解决直线与圆相交的相关问题时，参数法也是一种常规的方法.解法三：参数法设过A的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1),(k存在时)，P(x,y).则消去y，得（1+k2）x2+2k(2-k)x+k2-4k-5=0 x1+x2= y1+y2=k(x1+x2)+2(2-k) =由中点坐标公式，得： （k为参数）消去k,得P点的轨迹方程为当k不存在时，中点P(1,0)的坐标适合方程，因此所求的中点的轨迹方程为因为这题涉及到弦的中点问题，所以我们还可以考虑用点差法求轨迹方程.解法四：点差法设过点A的弦MN,M（x1,y1）,N(x2,y2) M,N在圆0上， 两式相减，得： 设P（x,y）,则x= 2x+又M、N、P
