最新无锡市2020届高三数学上学期期末试卷附答案详析

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1、1 无锡市 2020 届高三数学上学期期末试卷 一 填空题 1 集合 21 Ax xkkZ 1 2 3 4 B 则AB 2 已知复数 zabi a bR 且满足 9izi 其中i为虚数单位 则ab 3 某校高二 4 班统计全班同学中午在食堂用餐时间 有 7 人用时为6 分钟 有 14 人用时 7 分钟 有 15 人用时为8 分钟 还有4 人用时为10 分钟 则高二 4 班全体同学用餐平均用时为 分钟 4 函数 1 3 x f xa 1 2 aa过定点 5 等差数列 n a 公差不为0 其中 1 a 2 a 6 a成等比数列 则这个等比数列的公比为 6 小李参加有关 学习强国 的答题活动 要从4

2、 道题中随机抽取2 道作答 小李会其中的三道题 则抽 到的 2 道题小李都会的概率为 7 在长方体1111 ABCDA B C D中 1AB 2AD 1 1AA E为BC的中点 则点A到平面 1 A DE 的距离是 8 如图所示的流程图中 输出n的值为 9 圆 22 1 2 4Cxy 关于直线21yx的对称圆的方程为 10 正方形 ABCD的边长为2 圆O内切于正方形ABCD MN为圆O的一条动直径 点P为正方形 ABCD边界上任一点 则PMPN 的取值范围是 2 11 双曲线 22 1 43 xy C的左右顶点为 A B 以 AB 为直径作圆 O P为双曲线右支上不同于顶点B的 任一点 连接

3、 PA交圆O于点 Q 设直线 PB QB的斜率分别为 12 k k 若 12 kk 则 12 对于任意的正数 a b 不等式 222 2 443abakbaba恒成立 则k的最大值为 13 在直角三角形ABC中 C为直角 45BAC 点 D在线段BC上 且 1 3 CDCB 若 1 tan 2 DAB 则BAC的正切值为 14 函数 22 1 9f xxxkx 在区间 0 3 内有且仅有两个零点 则实数 k的取值范围是 二 解答题 15 在 ABC 中 角 A B C所对的分别为 a b c 向量 23 3 mabc 向量 cos cos nBC 且 mn 1 求角 C的大小 2 求sin 3

4、sin 3 yAB的最大值 16 在四棱锥PABCD中 底面ABCD是平行四边形 O为其中心 PAD 为锐角三角形 且平面 PAD 底面 ABCD E 为PD的中点 CDDP 1 求证 OE平面 PAB 2 求证 CD PA 3 17 已知椭圆 22 22 1 xy C ab 0 ab的左右焦点分别为12 FF 焦距为 4 且椭圆过点 5 2 3 过点 2F 且不平行于坐标轴的直线 l交椭圆与 P Q两点 点Q关于x轴的对称点为 R 直线 PR交x轴于点 M 1 求 1PF Q的周长 2 求 1 PF M面积的最大值 18 一酒企为扩大生产规模 决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆 发

5、酵馆内有一个无盖长方 体发酵池 其底面为长方形ABCD 如图所示 其中ADAB 结合现有的生产规模 设定修建的发酵池 容积为 450 米 3 深 2 米 若池底和池壁每平方米的造价分别为200 元和 150 元 发酵池造价总费用不超过 65400 元 1 求发酵池AD边长的范围 2 在建发酵馆时 发酵池的四周要分别留出两条宽为4 米和b米的走道 b为常数 问 发酵池的边长 如何设计 可使得发酵馆占地面积最小 4 19 已知 na nb均为正项数列 其前n项和分别为nS n T 且 1 1 2 a 11b 22b 当2n nN 时 1 12 nn Sa 22 1 1 11 2 2 nn nn n

6、n TT bT bb 1 求数列 n a n b的通项公式 2 设 2 2 nn n nn ba c bb 求数列 n c的前n项和 n P 20 设函数 lnf xxax aR 0a 1 求函数 f x的单调区间 2 若函数 0f x有两个零点 1 x 2 x 12 xx i 求a的取值范围 ii 求证 12 xx随着 2 1 x x 的增大而增大 21 已知 Ra b 矩阵 a b c d A 若矩阵 A属于特征值 5 的一个特征向量为 1 1 点2 1P在 A对 应的变换作用下得到点1 2P 求矩阵 A 22 已知曲线1 C 4cos 4sin x y 其中为参数 以坐标原点 O为极点

7、x轴的正半轴为极轴 建立极 坐标系 曲线 2 C的极坐标方程为cos 2 3 3 设曲线 1 C与曲线 2 C交于 A B两点 求 AB 的长 5 23 如图 矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB O为 AB 的中点 90AEB 30EAB 2 3AB 3AD 1 求异面直线 OC与DE 所成角的余弦值 2 求二面角 ADEC的正弦值 24 对于任意的 1x nN 用数学归纳法证明 1 n xx e n 解析 无锡市 2020 届高三数学上学期期末试卷 一 填空题 1 集合 21 Ax xkkZ 1 2 3 4 B 则AB 答案 1 3 解析 分析出集合A 为奇数构成的集合 即可求得交集 详

8、解 因为21 kkZ表示为奇数 故AB 1 3 故答案为 1 3 点睛 此题考查求集合的交集 根据已知集合求解 属于简单题 2 已知复数 zabi a bR 且满足9izi 其中 i为虚数单位 则ab 答案 8 6 解析 计算出 2 izaibibai 两个复数相等 实部与实部相等 虚部与虚部相等 列方程组求 解 详解 2 izaibibai 所以1 9ab 所以 8ab 故答案为 8 点睛 此题考查复数的基本运算和概念辨析 需要熟练掌握复数的运算法则 3 某校高二 4 班统计全班同学中午在食堂用餐时间 有7 人用时为6 分钟 有14 人用时 7 分钟 有 15 人用时为8 分钟 还有4 人用

9、时为10 分钟 则高二 4 班全体同学用餐平均用时为 分钟 答案 7 5 解析 分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数 详解 76 147 158410 7 5 714154 故答案为 7 5 点睛 此题考查求平均数 关键在于准确计算出所有数据之和 易错点在于概念辨析不清导致计算出错 4 函数 1 3 x f xa 1 2 aa过定点 答案 0 2 解析 令 0 x 0 132f 与参数无关 即可得到定点 详解 由指数函数的性质 可得0 x 函数值与参数无关 所有 1 3 x fxa过定点 0 2 故答案为 0 2 点睛 此题考查函数的定点问题 关键在于找出自变量的取值使函数值与参数

10、无关 熟记常见函数的定点可以节省 解题时间 5 等差数列 n a 公差不为0 其中 1 a 2 a 6 a成等比数列 则这个等比数列的公比为 答案 4 解析 根据等差数列关系 用首项和公差表示出 2 216 aa a 解出首项和公差的关系 即可得解 详解 设等差数列 n a的公差为d 由题意得 2 216 aa a 则 2 111 5 ada ad整理得 1 3da 211 4aada 所以 2 1 4 a a 7 故答案为 4 点睛 此题考查等差数列基本量的计算 涉及等比中项 考查基本计算能力 6 小李参加有关 学习强国 的答题活动 要从4 道题中随机抽取2 道作答 小李会其中的三道题 则抽

11、 到的 2 道题小李都会的概率为 答案 1 2 解析 从四道题中随机抽取两道共6 种情况 抽到的两道全都会的情况有3 种 即可得到概率 详解 由题 从从4 道题中随机抽取2 道作答 共有 2 4 6C种 小李会其中的三道题 则抽到的2 道题小李都会的情况共有 2 33C 种 所以其概率为 2 3 2 4 1 2 C C 故答案为 1 2 点睛 此题考查根据古典概型求概率 关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数 7 在长方体1111ABCDA B C D中 1AB 2AD 11AA E 为BC的中点 则点 A到平面 1 A DE 的距离是 答案 6 3 解析 利用等体

12、积法求解点到平面的距离 详解 由题在长方体中 1 111 2 1 1 323 AADE V 22 1115 2 3ADDEEAA AAE 所以 222 11 A DDEA E 所以 1 DEAE 1 16 23 22 A DE S 8 设点 A到平面 1 A DE的距离为 h 1 161 323 AA DE Vh 解得 6 3 h 故答案为 6 3 点睛 此题考查求点到平面的距离 通过在三棱锥中利用等体积法求解 关键在于合理变换三棱锥的顶点 8 如图所示的流程图中 输出n的值为 答案 4 解析 根据流程图依次运行直到 1S 结束循环 输出n 得出结果 详解 由题 2 1 1 1 1log0 2

13、 11 SnSn 22 22 0loglog 3 213 Sn 222 232 logloglog1 4 3314 Sn 1S 结束循环 输出4n 故答案为 4 点睛 此题考查根据程序框图运行结果求输出值 关键在于准确识别循环结构和判断框语句 9 圆 22 1 2 4Cxy 关于直线21yx的对称圆的方程为 9 答案 22 3 4xy 解析 求出圆心关于直线的对称点 即可得解 详解 22 1 2 4Cxy的圆心为 1 2 关于21yx对称点设为 x y 则有 21 21 22 21 12 yx y x 解得 3 0 x y 所以对称后的圆心为 3 0 故所求圆的方程为 22 3 4xy 故答案

14、为 22 3 4xy 点睛 此题考查求圆关于直线的对称圆方程 关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标 10 正方形 ABCD的边长为2 圆O内切于正方形ABCD MN为圆O的一条动直径 点P为正方形 ABCD边界上任一点 则 PMPN 的取值范围是 答案 0 1 解析 根据向量关系表示PMPNPOOMPOOM 222 1POOMPO 只需求出 PO 的取值范围即可得解 详解 由题可得 0OMON 1 2PO PMPNPOOMPOONPOOMPOOM 2 22 0 11 POOMPO 故答案为 0 1 点睛 此题考查求平面向量数量积的取值范围 涉及基本运算 关键在于恰当地对向量进行转换 便于计

15、算解题 11 双曲线 22 1 43 xy C的左右顶点为 A B 以 AB 为直径作圆 O P为双曲线右支上不同于顶点B的 任一点 连接 PA交圆O于点Q 设直线 PB QB的斜率分别为 12 k k 若 12 kk 则 答案 3 4 解析 根据双曲线上的点的坐标关系得 2 000 2 000 3 2424 PAPB yyy xx kk x PA交圆O于点Q 所 10 以PAQB 建立等式1 PAQB kk 两式作商即可得解 详解 设 00 2 02 0P xyAB 22 00 1 43 xy 2 220 00 3 314 44 x yx 2 000 2 000 3 2424 PAPB yy

16、y xx kk x PA 交圆O于点Q 所以PAQB 易知 3 3 4 4 1 PAPB PB QB PAQB kk k k kk 即 1 2 3 4 k k 故答案为 3 4 点睛 此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系 涉及双曲线中的部分定值结论 若能熟记常见二级结 论 此题可以简化计算 12 对于任意的正数 a b 不等式 222 2 443abakbaba恒成立 则k的最大值为 答案 2 2 解析 根据 a b均为正数 等价于 222 22 34442 3 22 aabbbab k aabaab 恒成立 令 0bxa x 转 化为 2 42 3 0 21 xx kx x 恒成立 利用基本不等式求解最值 详解 由题 a b均为正数 不等式 222 2 443abakbaba恒成立 等价于 222 22 34442 3 22 aabbbab k aabaab 恒成立 令 0bxa x则 2 422 321 2121 xx kx xx 11 2 2122 21 x x 当且仅当 2 21 21 x x 即 21 2 x 时取得等号 故k的最大值为 2 2 故答案为 2 2 点