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1、学 海 无 涯基础过关第2课时 等差数列1等差数列的定义： d（d为常数）2等差数列的通项公式： ana1 d anam d3等差数列的前n项和公式：Sn 4等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b 5数列an是等差数列的两个充要条件是： 数列an的通项公式可写成anpnq(p, qR) 数列an的前n项和公式可写成Snan2bn (a, bR)6等差数列an的两个重要性质： m, n, p, qN*，若mnpq，则 数列an的前n项和为Sn，S2nSn，S3nS2n成 数列典型例题例1. 在等差数列an中，(1)已知a1510，a4590，求a60；(2)已知S12
2、84，S20460，求S28；(3)已知a610，S55，求a8和S8解：(1)方法一：a60a159d130 方法二：，由anam(nm)da60a45(6045)d9015130(2)不妨设SnAn2Bn， Sn2n217nS28228217281092(3)S6S5a651015，又S615即a15而da8a62 d16S8变式训练1.在等差数列an中，a53，a62，则a4a5a10 解：da6a55，a4a5a10例2. 已知数列an满足a12a，an2a（n2）其中a是不为0的常数，令bn 求证：数列bn是等差数列 求数列an的通项公式解： an2a (n2) bn (n2) bn
3、bn1 (n2) 数列bn是公差为的等差数列 b1故由得：bn(n1)即： 得：ana(1)变式训练2.已知公比为3的等比数列与数列满足，且， （1）判断是何种数列，并给出证明；（2）若，求数列的前n项和解：1），即 为等差数列。（2）。例3. 已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列前n项和。求Tn解：设an首项为a1公差为d，由 Sn Tn变式训练3两等差数列an、bn的前n项和的比，则的值是 （ ）A B C D解：B 解析：。例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元问： 从第几年开始，第二
4、种方案比第一种方案总共加的工资多？ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？解： 设工作年数为n（nN*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2则：S11000110002100031000n 500(n1)nS23001300230033002n 300(2n1)n由S2S1，即：300(2n1)n500(n1)n解得：n2 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多 当n10时，由得：S1500101155000S2300
5、102163000 S2S18000 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元 若第二种方案中的300美元改成a美元则an(2n1) nN* a250250变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解：(1)设中低价房面
6、积形成数列an,由题意可知an是等差数列, 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n, 令25n2+225n4750,即n2+9n-1900,而n是正整数, n10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列bn,由题意可知bn是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400(1.08)n-10.85. 由题意可知an0.85 bn,有250+(n-1)50400(1.08)n-10.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6. 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.归纳小结1欲证an为等差数列，最常见的做法是证明：an1and(d是一个与n无关的常数)2a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁3对等差数列an的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为d的等差数列进行求和4遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题
