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1、学 海 无 涯经典易错题会诊与2012届高考试题预测（十）考点10空间直线与平面空间直线与平面的位置关系空间角空间距离简单几何体利用三垂线定理作二面角的平面角求点到面的距离折叠问题经典易错题会诊命题角度1空间直线与平面的位置关系1（典型例题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB于点F.（1）证明：PA/平面EDB；（2）证明：BP平面EFD；（3）求二面角CPDD的大小.考场错解第（2）问证明：PD=DC，E为PC的中点，DEPC，DF在平面PBC上的射影为EF，又由已知EFPB，所以根据三垂线定理可得：DFPB，又E
2、FPB，PB平面EFD。专家把脉直线在平面上的射影的概念理解错误，只有DEPC，不能得出EF为DF在面PBC上的射影，应先证明DE平面PBC，才能得出EF为DF在面PBC上的射影，再利用三垂线定理。对症下药（1）如图，连接AC、AC交BD于O，连接EO。底面ABCD为正方形，O为AC的中点，在PAC中，EO是中位线，PA/EO，又EO平面EDB，且PA平面EDB，所以PA/平面EDB；（2）PD平面ABCD，平面PDC平面ABCD，又底面ABCD为正方形，BCCD，BC平面PCD，BCDE，又DEPC，DE平面PBC，DF在平面PBC上的射影为EF，又EFPB，DFPB，又PBEF，PB平面D
3、EF；（3）由（2）知，PBDF，故EFD是二面角CPBD的平面角。由（2）知，DEEF，PDDB，设正方形ABCD的边长为a则PD=DC=a，BD=a，PB=a，PC=a,DE=PC=,在RtPDBk ,OF=.在RtEFD中，sinEFD=,EFD=所以二面角CPBD的大小为2（典型例题）下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l面MNP的图形的序号是_.(写出所有符合要求的图形序号)考场错解由于l在MN、NP、MP所在的面内的射影分别为各面正方形的对角线，由正方形的性质可得lMN，lMP，lNP，（1）中l面MNP；（2）中l在下底面的射影与
4、MP垂直，lMP，l面MNP；（3）中取AB的中点E，连接ME、NE，l在下底面的射影垂直于EN，lEN，l面MEN，lMN，同理lMP，l面MNP；（4）中l在面ADD1A1上的射影与MP垂直，lMP，l面MNP；（5）中取AA1中点E，连接ME，EP，l在面ADD1A1、面ABB1A1内的射影分别与ME，EP垂直，lME，l面MP，得l面MPN；综合知，本题的答案是（1）、（2）、（3）、（4）、（5）专家把脉直线与平面垂直的判定有误，证一条直线与一个面垂直，应该证明这条直线与该平面内的两条相交直线垂直，而错解中只证一条垂直，所以出错。对症下药（1）中l在面ADD1A、A1B1C1D1，内
5、的射影分别为AD1，B1D1，而AD1MN，B1D1MP，lMN，lMP, l面MNP；（2）中若lMN,则取AA1的中点E，连接ME、NE，l在面ADD1A1内的射影为AD1而AD1ME，lME，结合lMN，得l面MEN，lNE,这显然不可能，l与MN不可能垂直，l与面MNP不垂直；（3）类似（2）的证明，可得l与面MNP不垂直；（4）中lMP易证，而MNAC，lAC，lMN，l面MNP；（5）中取AA1中点E，连接ME，PE，可证得l面MEP，lMP，同理可证lNP，l面MNP，综上知，本题的正答案是（1）、（4）、（5）。3（典型例题）如图10-4所示，在正三棱锥ABCD中，BAC=30
6、，AB=a，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于E、F、G、H。（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由；（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC平面EFGH，请给出证明。考场错解（1）AD平面EFGH，又平面ACD平面EFGH=HG，ADHG，同理ADEF，EFHG，同理EHFG，四边形EFGH为平行四边形；（2）取AD中点P，连接BP、CP，ABCD为正棱锥，所以BPAD，CPAD，AD面BCP，又由（1）知HGAD，HG面BCP，P为所求，此时AP=.专家把脉正三棱锥的性质不熟悉而出错，正三棱锥的相对的棱互相垂直；正三棱锥的三个侧面是等腰三角形不是等
7、边三角形。对症下药（1）AD面EFGH，面ACD面EFGH=HG，ADHG，同理EFAD，所以HGEF，同理EHFG，EFGH为平行四边形。又ABCD为正三棱锥，A在底面BCD上的射影O是BCD的中心，DOBC，根据三垂线定理，ADBC，HGEH，四边形EFGH为矩形；（2）作CPAD于P点，连接BP，ADBC，AD面BCP，HGAD，HG面BCP，又HG面EFGH，面BCP面EFGH，在RtAPC中，CAP=30，AC=a, AP=.专家会诊解线面位置关系的题目，首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质，其次解题时应将判定与性质结合起来，多用分析法，如要证a则过a作一平面，使=b，再证ab；第
8、三要善于转化，如两条羿面直线是否垂直，要用三垂线定理将其转化为两相交直线是否垂直。线面的位置关系是立体几何的基础，学习时应予以重视。考场思维训练1 如图10-5 所示的四个正方体图形中，A、B为正方体的四个项点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是_.(写出所有符合要求的图形序号)答案： 解析：中平面MNP/平面AB， AB/平面 MNP；中取下底面中心O，MP的中点C，连接NO， NC，则由已知AB/NO，ABNCAB面MNP； 中AB/MP,AB/平面MNP；中AB面MNP填2 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中点。 （1）
9、求证：平面A1EC平面AA1C1C；答案：连接A1C与AC1交于点F，则由条件可得EC1=EA1，则EFAC1，同理EC1=EA，则EFA1C所以EF上平面AA1C1C，而EF平面A1EC，所以平面A1EC平面AA1C1C.（2）若把平面A1EC与平面A1B1C1所成锐二面角为60时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由。答案：延长CE交C1B1的延长线于点H，则有C1B1=B1H=A1R1,故HA1C1=90且CA1H=90，所以CA1C为平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角的平面角，若此棱柱为“黄金棱柱”，则 CA1=60, 应有CC1=与条件AB
10、=AA1矛盾此三棱柱不为“黄金棱柱”（3）设AB=a，求三棱锥A-A1EC的体积。答案： VA1-A1EC=VE-AA1C=EFAA1AC 3 已知正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，G是侧面PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=BC，F是PB上一点， 且PF=PB，如图（1）求证：GF平面PBC；答案：连接BG并延长交AP于M，由C为APAB的重心，则MG=BM，又由PF=，GF/MP APBP,APCPAP平面PBC， GF平面PBC（2）求证：EFBC；答案：在侧面PBC内作FD/PC交BC于DPF=PB,DC=BC.又BE=BC,DE=BC.故BE=DE，E为BD的中点，由PB
11、C为等腰三角形，得FBD也为等腰三角形FB=FD EFBC（3）求证：GE是异面直线PG与BC的公垂线。答案：GF平面PBC，且EFBC，GEBC，连PG交AB于H，则GH=PH，过C作GN/AB交PB于N，则BN= PBPHAB，PGAB，PGGN BN=PB，BE=BC，NE/PC，而PC上平面PAB，NE平面PAB，又PG面PAB，NEPG，又PGGN，PG平面GEN，而GEC平面GENPGGE，又由GEBC，GE是异面直线PG与BC的公垂线命题角度 2空间角1（典型例题）如图10-8，在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB
12、、SB的中点。 （1）证明：ACSB； （2）求二面角NCMB的大小； （3）求点B到平面CMN的距离。 考场错解 第（2）问：过N作NFCM，过F作FECM交BC于E点，则NFE为二面角NCMB的平面角。（此题只做到此处，因为不知E、F的位置，NFE等于多少计算不出来）。 专家把脉 求二面角的大小时，只顾用定义作出二面角的平面角，给计算千百万麻烦或根本就算不出来，所以一般用三垂线定理来作二面角的平面角，就是便于计算。对症下药 （1）如图10-9，取AC中点D，连接SD，DB，SA=SC，AB=BC，ACSD，且ACBD，AC平面SDB。又SB 平面SDB，ACSB。（2）取BD的中点E，连接
13、NE，过E作EFCM于F，连续NF，平面SAC平面ABCD，SDAC，SD面ABCD，又N、E分别为SB、BD的中点，NESD，NE面ABC，又EFCM，NFCM，NFE为二面角NCMB的平面角。NE=SD=，在正ABC中，由平面几何知识可求得EF=MB=，在RtNEF中，tanNEF=,二面角NCMB的大小是arctan2；（3）在RtNEF中，NF=SCMN=CMNF=，SCMB=BMCM=2.设点B到平面CMN的距离为h, VBCMN=VN-CMB,NE平面CMB，SCMNh=SCMBNE，h=即点B到平面CMN的距离为。2（典型例题）在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=4，A
14、D=3，AA1=2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1。 （1）求二面角CDEC1的正切值 （2）求直线EC1与FD1所成角的余弦值。 考场错解 第（2）问：D1FDE，C1ED为EC1与FD1所成的角，DE=3，C1D=2，C1E=，cosC1EE=EC1与FD1所成角的余弦值为。 专家把脉 缺少空间想象能力，题中的D1F与DE不平行，实际上D1F与DE是异面直线。 对症下药 正解一：（1）如图过C作CGDE，垂足为G，连接C1G。CC1平面ABCD，CG是C1G在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得DEC1G。 CGC1是二面角CDEC1的平面角。 在ADE中，AE=AD=3，DAE=90，ADE=45，得CDG=45，CG=CDsinCDG=2 tanCGC1= 二面角CDEC1的正切值为 （2）延长BA至点E1，使AE1=1，连接DE1有D1C1E1E，D1C1=E1E，四边形D1E1EC1是平行四边形。E1D1EC1，于是E1D1F为E
