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1、学海无涯2013年华南师范大学附属中学高三综合测试数学（理） 2013.5.23第卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1. 已知是虚数单位，则复数所对应的点落在A. 第一象限； B. 第二象限； C. 第三象限； D. 第四象限 2. 已知全集，则A. ； B. ； C. ； D. 3. 公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则A. 4； B. 5； C. 6； D. 7 4. 若满足约束条件，则的取值范围是A. ； B. ； C. ； D. 5. 分别是正方体的棱的中点，如图是过和的两个截面截去两个角后所得的几何体
2、，则该几何体的主视图为6. 若将函数表示为，其中，为实数，则A. 10； B. 20； C. ； D. 7. 在中，已知向量，则的面积为A. ； B. ； C. ； D. 8. 对应定义域和值域均为的函数，定义：，方程的零点称为的阶不动点。 设，则的阶不动点的个数是A. ； B. ； C. ； D. 第卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必作题（913题）9. 双曲线的焦距是 10. 11. 已知，则的值为 12. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 则输出的结果是 13. 已知命题“，”是假命题， 则实数的取值范围是 （二）选作题（
3、请考生在以下两个小题中任选一题作答）14. （坐标系与参数方程选作题）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知圆的方程是，则它的圆心到直线（为参数）的距离等于 15. （几何证明选讲选作题）如图，已知是外一点，为的切线，为切点，割线经过圆心，若，则的半径长为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16. （满分12分）已知函数，的图像的一部分，如图所示。（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最大值与最小值及相应的的值 17.（满分12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气
4、污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表。 已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为， （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由； （3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为，求的分布列、数学期望以及方差。 下面的临界值表仅供参考： 18. （满分14分）数列是公差为正数的等差数列，、且是方程的两根，数列的前项和为，且，（1）求数列、的通项公式；（2）记，求数列的前项和19. （满分14分）如图，、为圆柱的母线，是底面圆的直径，分别是、的中点，平面，（1）证明：平面（2）若，求与平面所成角的正弦值 20. （满分14分）如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，（1）设直线的斜率分别为、，求证：为定值；（2）求线段的长的最小值；（3）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论。 21. （满分14分）已知函数，（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意的，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：，
